更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學函數的概念及其表示27種常見考點考點1函數關系的判斷1．（24-25高一上·全國·隨堂練習）下列對應關系中是A到B的函數的是（

）A．，，B．，，對應關系如圖：C．，，f：D．，，f：【答案】B【分析】利用函數的定義求解即可.【詳解】對于A，，一個可以對應兩個，不屬于函數，故A錯誤；對于B，集合中每一個在集合中都有唯一對應的，符合函數的定義，故B正確；對于C，中，，而，故集合中的元素2在集合中沒有對應的函數值，故C錯誤；對于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中沒有對應的函數值，故D錯誤.故選：B2．（2024·四川雅安·模擬預測）已知是集合A到集合B的函數，如果集合，那么集合A可能情況為（填一種滿足條件的即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由題意轉化為求集合的非空子集即可.【詳解】依題意，是集合A到集合B的函數，令，得，令，得，令，得，因此集合是集合的非空子集，所以集合A可能情況為.故答案為：3．（2024·山東·二模）如圖所示，是半圓的直徑，點從點出發，沿弧的路徑運動一周，設點到點的距離為，運動時間為，則下列圖象能大致地刻畫與之間的關系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】點在段運動時和點在上運動時，，之間是線性關系，點在弧上運動時，（定值），即可結合選項求解.【詳解】當點在段運動時，隨的增大而勻速增大，點在弧上運動時，（定值），點在上運動時，隨著的增大而減?。蔬x：C．4．（2024·內蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系如圖，那么點P所走的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由點在第二條邊上運動時，的單調性可排除A，由圖象的對稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對于D，當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.【詳解】對于A，點在第一條邊上時，，但點在第二條邊上運動時，是隨的增大先減小（減到最小時即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，對比圖象可知，A錯誤；對于B，y與x的函數圖形一定不是對稱的，B錯誤；對于C，一開始與的關系不是線性的，C錯誤；對于D，因為函數圖象對稱，所以D選項應為正方形，不妨設邊長為，點在第一條邊上時（即時），，點在第二條邊上運動時（即時），，依然單調遞增，點在第三條邊上運動時（即時），，單調遞減，點在第四條邊上運動時（即時），，單調遞減，且已知與的圖象關于（其中）對稱，D正確.故選：D.考點2求函數值5．（2024高二下·福建泉州·階段練習）已知函數，則（

）A．?7 B． C． D．【答案】D【分析】直接代入計算即可.【詳解】.故選：D.6．（2024高一·全國·專題練習）已知函數滿足，，則.【答案】-2【分析】根據已知條件求出函數的周期，利用周期性對所求函數值進行化簡，進而得出結論.【詳解】由題意可得，，所以，則是周期函數，且一個周期是8.

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故答案為：－2.7．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知函數，．(1)求，，，；(2)求．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）代入即可求解，（2）整體代入即可求解.【詳解】（1）．，∵，∴．∵，∴．（2）∵，∴．8．（2024高一上·遼寧沈陽·開學考試）已知函數y=f(x)的對應關系如下表所示，函數的圖象是如圖所示的曲線，則的值為（

）x123230

A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】運用圖象得到，再由對應關系得到即可【詳解】由圖可知，所以.故選：D.考點3已知函數值求自變量或參數9．（2024高二上·安徽六安·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法求出解析式，再代入計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以，解得.故選：D10．（2024·全國·模擬預測）設，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意可得，代入結合對數運算求解.【詳解】因為，因為，可得，解得．故選：C.11．（2024·內蒙古包頭·三模）已知函數是定義在R上的奇函數，且，則．【答案】/【分析】由已知，得，又，可得，則，即可求得.【詳解】因為函數是定義在R上的奇函數，所以，所以，又，所以，解得，經檢驗符合題意，所以，則.故答案為：.12．（25-26高三上·上?！卧獪y試）已知函數，其中，且，則．【答案】－1【分析】將函數利用積的導數原則進行求導，代值列出方程，解之即得.【詳解】由，求導得，，則由，可解得．故答案為：.考點4區間13．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意結合交集運算分析求解.【詳解】因為，，所以.故選：B.14．（24-25高一上·全國·課堂例題）用區間表示下列集合：①；②；③.【答案】【分析】由區間的概念結合一元一次不等的解法即可求解.【詳解】，，.15．（24-25高一上·全國·課后作業）已知區間，則實數a的取值范圍為．（用區間表示）【答案】【分析】根據區間的定義得到，解不等式即可．【詳解】由，得．即.故答案為：．考點5具體函數的定義域16．（2024·河北·三模）設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡集合A，求定義域化簡集合B，然后進行補集和交集的運算即可.【詳解】因為，或，則,所以，故選：A.17．（2024高一上·河北唐山·階段練習）函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數有意義得出不等式組，解之即得函數定義域.【詳解】由有意義，等價于，解得，即函數的定義域為.故選：D.18．（2024·河南·三模）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使函數有意義，即得關于的不等式組，解之即得函數定義域.【詳解】函數有意義，等價于，解得，，故函數的定義域為.故選：A.19．（2024·北京平谷·模擬預測）函數的定義域是【答案】【分析】根據分數和對數有意義的條件即可求解.【詳解】函數有意義的條件是，解得且，所以函數定義域為.故答案為：.考點6抽象函數的定義域20．（2024·湖北武漢·二模）已知函數的定義域為，則函數的定義域為.【答案】【分析】借助函數定義域的定義計算即可得.【詳解】由函數的定義域為，則有，令，解得.故答案為：.21．（2024·全國·模擬預測）設函數，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求的定義域，再利用復合函數求的定義域.【詳解】由題意得，，解得函數滿足，解得，即函數的定義域為.故選:A22．（2024高一上·湖北·階段練習）已知函數的定義域是，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數定義域的概念及復合函數定義域的求解方法運算求解即可.【詳解】因為函數的定義域是，所以，所以，所以函數的定義域為，所以要使函數有意義，則有，解得，所以函數的定義域為.故選：A.考點7實際問題中的定義域23．（2024·上海奉賢·二模）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個頂點A、及的中點處．km，km．為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域內（含邊界）且與A、等距的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道，，．記鋪設管道的總長度為ykm．(1)設（弧度），將表示成的函數并求函數的定義域；(2)假設鋪設的污水管道總長度是km，請確定污水處理廠的位置．【答案】(1)(2)位置是在線段的中垂線上且離的距離是km【分析】（1）依據題給條件，先分別求得的表達式，進而得到管道總長度y的表達式，再去求其定義域即可解決；（2）先解方程，求得，再去確定污水處理廠的位置.【詳解】（1）矩形中，km，km，，，則，則（2）令則又，即，則，則此時所以確定污水處理廠的位置是在線段的中垂線上且離的距離是km24．（2024高一上·江蘇鹽城·期中）為了增強生物實驗課的趣味性，豐富生物實驗教學內容，某校計劃沿著圍墻（足夠長）劃出一塊面積為100平方米的矩形區域修建一個羊駝養殖場，規定的每條邊長均不超過20米.如圖所示，矩形為羊駝養殖區，且點，，，四點共線，陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設（單位：米），養殖區域的面積為（單位：平方米）.(1)將表示為的函數，并寫出的取值范圍；(2)當為多長時，取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)，(2)當為時，取得最大值，最大值為本號資料全部來源于微信#公眾號：數學第六感【分析】（1）根據題意表示出的面積，并根據的每條邊長均不超過20米確定好的取值范圍.（2）對（1）中的結果，利用基本不等式求最大值.【詳解】（1）因為，所以，，因為，，所以.（2）當且僅當，即時，等號成立，所以當為時，取得最大值，最大值為.25．（2024高一上·全國·課后作業）年月日，王兵買了一輛手動擋的家庭汽車，該種汽車燃料消耗量標識是：市區工況：；市郊工況：；綜合工況：.王兵估計：他的汽車一年的行駛里程約為，汽油價格按平均價格元來計算，當年行駛里程為時燃油費為元.(1)判斷是否是關于的函數，如果是，求出函數的定義域和解析式；(2)王兵一年的燃油費估計是多少？【答案】(1)是，定義域是，(2)元【分析】（1）根據函數的概念可判斷出是關于的函數，結合題意可得出該函數的解析式以及定義域；（2）將代入函數解析式計算可得結果.【詳解】（1）解：根據函數的概念可知，是關于的函數，因為王兵的汽車一年的行駛里程約為，故該函數的定義域為，函數解析式為，其中.（2）解：當時，（元），所以王兵一年的燃油費估計是元.考點8已知函數的定義域求參數26．（2024·浙江·模擬預測）若分式不論x取何值總有意義，則點關于x軸的對稱點在第象限．【答案】一【分析】先通過分式的分母恒不為零求出的范圍，根據的范圍可得點所在象限，進而可得其關于x軸的對稱點所在象限.【詳解】分式不論x取何值總有意義，即方程無解所以，解得，所以，所以點在第四象限，其關于x軸的對稱點在第一象限.故答案為：一.27．（24-25高一上·上?！るS堂練習）若函數中的取值范圍為R，則的取值范圍是．【答案】【分析】把函數中的x的取值范圍為R，轉化為對任意實數恒成立．然后對分類討論得答案．【詳解】由已知恒成立，當時符合題意，當時，，，綜上所述，故答案為：．28．（24-25高一上·上海·單元測試）函數（且）的定義域為，則．【答案】/【分析】根據函數的定義域列不等式，結合指數函數和對數運算等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，當時，，與已知矛盾.當時，，函數的定義域為，所以，，兩邊平方得.故答案為：29．（25-26高一上·全國·課后作業）函數的定義域為，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】時直接代入；時利用可得答案．【詳解】因為函數的定義域為，所以關于的方程無實數解，當時，顯然無解，符合題意；當時，則，解得．綜上可得．故選：D．考點9常見（一次函數、二次函數、反比例函數等）的函數值域30．（2024高二下·廣西玉林·期末）已知函數滿足，當屬于時，求的值域（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數的單調性求值域即可.【詳解】在上單調遞增，所以的值域為：.故選：A31．（24-25高三·上?！るS堂練習）函數在區間的值域為．【答案】【分析】求導得到，令得到的單調遞增區間，令得到的單調遞減區間，從而得到最大值和最小值，進而得到在上的值域.【詳解】因為，令得，令得，所以在上單調遞增，令得，所以在上單調遞減，所以，，所以的值域為.故答案為：.32．（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列函數的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根據給定的自變量值求出函數值即可.（2）利用二次根式的意義求出值域.（3）利用二次函數的性質求出值域.（4）利用分式函數，結合分離常數的思想求出值域.【詳解】（1），且，則．所以函數的值域為.（2）函數的定義域為，由，得，本號資料全部來源于微信公眾#號：數學第六感所以的值域為.（3）函數圖象的對稱軸為，而，當時，，當時，，所以函數的值域為．（4）函數的定義域為，，所以函數的值域為．33．（2024高一·上海·課堂例題）求下列函數的值域：(1)，x∈0,+∞(2)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求的范圍，再求的范圍；（2）根據二次函數單調性求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以原函數的值域為.（2）因為的對稱軸為，且圖象開口向上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為x=0時，；x=1時，，所以.終上所述，原函數的值域為.考點10復雜（根式型、分式型等）函數的值域34．（2024·陜西·模擬預測）函數的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】令，則，設，再結合三角函數的性質即可得解.【詳解】函數的定義域為，令，則，設，可得，當時，有最大值為2，所以函數的最大值為2.故選：D.35．（2024·北京懷柔·模擬預測）已知函數，則對任意實數x，函數的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用不等式的性質求出函數值域得解.【詳解】依題意，，顯然，則，于是，所以函數的值域是.故選：C36．（2024高一·全國·專題練習）求函數的值域【答案】【分析】先分離常數，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.故函數的值域為.37．（24-25高一上·全國·課后作業）求下列函數的值域：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分離常數法可得解；（2）換元，令，，，再由二次函數的性質即可得解.【詳解】（1），顯然，所以，故函數的值域為：（2）設，則，且，所以，，

結合函數的圖象可得原函數的值域為.考點11抽象函數的值域38．（2024高二下·上海寶山·期末）若函數的值域是，則函數的值域是.【答案】【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對勾函數性質即可得解.【詳解】因函數的值域是，從而得函數值域為，函數變為，，由對勾函數的性質知在上遞減，在上遞增，時，，而時，，時，，即，所以原函數值域是.故答案為：39．（2024高一上·河北石家莊·階段練習）給出定義：若(其中為整數)，則叫做離實數最近的整數，記作，即，例如：，．在此基礎上給出下列關于函數的四個命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個數是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據定義可以得到，，，，進而求得各個函數值，然后判定，根據，可以得到，即得的值域，從而判定．【詳解】因為，，,，所以，，，，∴，①正確；，②錯誤；因為，，所以，故③正確；的定義域是R，因為，所以，即，∴值域是，故④錯誤．綜上，正確的命題個數為2個，故選：B．考點12復合函數的值域40．（2024·廣東·一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過計算函數定義域求出集合，計算函數值域求出集合，最后通過交集運算即可求解.【詳解】由，有，即，所以；由令，根據二次函數的性質有，所以，又因為，所以，；所以.故選：D41．（2024高一下·安徽合肥·期末）函數的最小值為．【答案】/【分析】利用對數的運算法則與換元法得到，結合配方法即可得解.【詳解】因為，令，則，則，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.42．（2024高一上·吉林·期末）已知函數，.(1)時，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設可將原函數轉化為二次函數，結合二次函數性質計算即可得；（2）設可將原函數轉化為二次函數，對的取值進行分類討論，結合二次函數性質計算即可得.【詳解】（1）由題意得，，，令，，，當時，，，在上單調遞增，故，故的值域為；（2）由（1）得，，對稱軸，①當時，在上單調遞增，，解得；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，無解，舍去；③當時，在上單調遞減，，解得，舍去；綜上所述，.考點13根據值域求參數的值或者范圍43．（2024高三上·河北滄州·階段練習）已知函數，若的值域為R，則實數的取值范圍是（

）A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【答案】A【分析】借助的值域為R可得要取遍所有的正數，對進行分類討論即可得.【詳解】若函數的值域為R，則要取遍所有的正數．所以或，解得，即實數的取值范圍是0,1.故選：A．44．（2024·上海青浦·一模）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】先求解出時的值域，然后根據分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當時，，此時，當且時，，此時，且，所以不滿足；當且時，，由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，此時，若要滿足的值域為，只需要，解得；當且時，因為均在上單調遞增，所以在上單調遞增，且時，，時，，所以此時，此時顯然能滿足的值域為；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.45．（2024·全國·模擬預測）使函數的值域為的一個a的值為．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指數函數值域性質求解【詳解】令，由題意得的值域為，又的值域為，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：.(答案不唯一)考點14根據函數的值域求定義域46．（2024高一上·河南開封·期末）已知函數的值域為，則的定義域可以是【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到范圍，寫出符合題意的定義域即可.【詳解】令，解得或，則的定義域可以是，故答案為：（答案不唯一）.47．（2024·廣東廣州·三模）已知函數的值域為，則的定義域可以是．(寫出一個符合條件的即可)【答案】（答案不唯一）【分析】利用導數求出函數的單調性，再求出時所對應的自變量，即可求解.【詳解】，令可得，所以當或時，，當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，且，由此可知定義域可以是，故答案為：（答案不唯一）48．（2024高一上·江蘇連云港·期中）若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，那么函數解析式為，值域為的“同族函數”共有個.【答案】【分析】求出使得函數的值域為的定義域的個數，即可得解.【詳解】由，可得；由，可得；由，可得.所以，使得函數的值域為的定義域中至少含、中的一個，至少含、中的一個，至少含、中的一個，而、的放法種數等價于集合的非空子集個數，即、的放法種數為種，同理可知，、的放法種數為，、的放法種數為，因此，數解析式為，值域為的“同族函數”共有個.故答案為：.考點15已知函數類型求解析式49．（2024高一·全國·專題練習）已知一次函數滿足，，求.【答案】【分析】利用待定系數法即可得解.【詳解】依題意，設，由條件得，解得，故.50．（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知是二次函數，且，，則．【答案】【分析】由題意設，通過待定系數法得出關于的方程組即可求解.【詳解】因為，是二次函數，所以設，又因為，所以，所以，解得.故答案為：.51．（24-25高一上·全國·課后作業）若指數型函數，滿足，，則．【答案】【分析】由，，代入函數解析式，結合指數型函數的性質，解出的值即可得.【詳解】指數型函數，有且，由，解得，所以.故答案為：.52．（2024高一上·云南曲靖·階段練習）已知冪函數與一次函數的圖象都經過點，且.(1)求與的解析式；(2)求函數在上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設出函數解析式，代入點的坐標，求出函數解析式；（2）寫出函數?x【詳解】（1）設，，，則，解得，則，；（2）由（1）知，，令，，則，記，當時，，當或1時，，故?x在上的值域為.考點16已知f（g（x））求解析式53．（2024高二下·廣東深圳·期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法可得答案.【詳解】令，則，所以，即.故選：B.54．（2024高二下·遼寧本溪·期末）已知函數滿足，則.【答案】【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.【詳解】由①，得②，由①②得，則，令，則，所以，故.故答案為：.55．（2024高一·全國·專題練習）已知，求的解析式．【答案】【分析】可由配湊法等式右邊用表達或換元法令求解；【詳解】法一：把的右邊配成的表達式，即，然后整體換成，得：，故的解析式為：．法二：令，得代入得：，然后t換成x即，故的解析式為：考點17求抽象函數的解析式56．（2024·陜西銅川·三模）已知函數是定義域為的偶函數，且為奇函數，寫出函數的一個解析式為.【答案】（答案不唯一）【分析】由為奇函數可得的圖象關于點1,0中心對稱，結合偶函數的性質可構造符合題意.【詳解】由為偶函數，知的圖象關于軸對稱；由為奇函數，知的圖象關于點1,0中心對稱，據此構造函數，則是偶函數；為奇函數，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.57．（2024·河南新鄉·一模）已知定義在上的函數滿足，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用賦值法求及，然后利用單調性解不等式即可.【詳解】令，得.令，得，解得，則不等式轉化為，因為是增函數，且，所以不等式的解集為.故選：A58．（2024高一下·黑龍江大慶·開學考試）已知函數的定義域為，且，若，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．函數是偶函數 D．函數是減函數【答案】C【分析】首先利用賦值法求得的值，再賦值，求得的解析式，即可判斷C，再根據函數的解析式，賦值判斷BD.【詳解】對于A，令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；對于C，令，則有，則，故函數是奇函數，故C錯誤；對于D，有，即，則函數是減函數，故D正確；對于B，由，令，有，故B正確.故選：C考點18函數方程組法求解析式59．（2024·全國·模擬預測）已知函數滿足，則的值為（

）本號資料全部來源#于微信公眾號：數學第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】將換成，得到即，聯立方程組求得的解析式，進而求得的值.【詳解】由，將換成，可得，即，聯立方程組，解得，所以.故選：B.60．（24-25高一上·全國·課堂例題）（1）已知，求；（2）已知為二次函數，且，求；（3）已知函數對于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用換元法或配湊法求解即可；（2）利用待定系數法，令，然后結合已知條件化簡列方程組可求出，從而可求出；（3）將已知等式中的用替換，得到另一個式子，與已知等式聯立可求出.【詳解】（1）方法一

（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二

（配湊法）：．因為，所以的解析式為．（2）設，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關于與的方程組，解得．61．（24-25高一上·全國·課后作業）（1）已知，求fx；（2）已知函數fx對于任意的x都有，求fx【答案】（1）；（2）【分析】應用換元法及方程組法求解析式即可.【詳解】（1），令，則，∴．（2）在中，以代替x可得，聯立得消去可得．考點19求解析式中的參數值62．（2024·江西南昌·模擬預測）函數的圖象經過點，則關于的不等式解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據圖象經過點得到解析式，再判斷函數單調性及奇偶性，由此求解不等式即可.【詳解】由函數的圖象經過點，得，則，函數在上單調遞減，在上單調遞減，則在R上單調遞減，又，即函數是奇函數，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：B63．（2024高一上·安徽安慶·階段練習）已知函數，且.(1)求函數的解析式；(2)證明：在上單調遞增.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據題意，由列出方程，代入計算，即可求得；（2）根據題意，由單調性的定義，帶入計算，即可證明.【詳解】（1）且，解得.所以函數的解析式為.（2）證明：，且，則因為，所以，又，所以，則，則，即，即所以函數在上單調遞增.考點20判斷兩個函數是否相等64．（24-25高三上·山西晉中·階段練習）下列函數與是相等函數的是（

）A． B．C．（且） D．（且）【答案】D【分析】可得，且定義域為R，根據函數相等逐項分析判斷.【詳解】因為，且定義域為R，對于選項A：，可知兩個函數的對應關系不同，所以函數不相等，故A錯誤；對于選項B：的定義域為，可知兩個函數的定義域不同，所以函數不相等，故B錯誤；對于選項C：的定義域為，可知兩個函數的定義域不同，所以函數不相等，故C錯誤；對于選項D：，且定義域為R，所以兩個函數是相等函數，故D正確；故選：D.65．（24-25高一上·上?！ふn后作業）下列四組函數中，同組的兩個函數是相同函數的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】B【分析】根據兩個函數的定義域以及對應關系是否相同，即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，的定義域為,而的定義域為，定義域不相同，故不是同一函數，A錯誤，對于B,與的定義域均為，且對應關系相同，故為相同函數，B正確，對于C，的定義域為,而的定義域為，定義域不相同，故不是相同函數,C錯誤，對于D，的定義域為，與的定義域為,定義域不相同，故不是相同函數,D錯誤，故選：B66．（2024高二下·海南?？凇て谀┫铝懈鹘M中的兩個函數為相同函數的是（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數#學第#六感A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】根據相同函數的判定方法逐項分析即可.【詳解】對A，的定義域為，的定義域為，則兩個函數不是相同函數，故A錯誤；對B，，且兩函數的定義域均為，則兩個函數相同函數，故B正確；對C，，則兩個函數不是相同函數，故C錯誤；對D，與，兩函數對應法則完全不同，故兩函數不是相同函數，故D錯誤.故選：B.67．（2024高一上·北京·期中）下列各組函數表示同一個函數的是.①，

②③

④【答案】①④【分析】通過判斷函數的定義域、對應關系是否相同來判斷是否是，從而得解.【詳解】對于①，，因為兩個函數的定義域都為，且對應關系也一樣，所以是同一個函數，故正確；對于②，因為的對應關系不一樣，本號資#料全部來源于微信公眾*號：數學第六感所以不是同一個函數，故錯誤；對于③，的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不一樣，故錯誤；對于④，所以兩個函數的定義域均為R，對應關系也相同，是同一個函數，故正確．故答案為：①④.考點21函數的表示方法68．（2024·山東·模擬預測）已知函數的對應值圖如表所示，則等于（

）函數的對應值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【詳解】由表可知，，所以故選：D．69．（24-25高一上·上?！ふn后作業）某移動公司采用分段計費的方法來計算話費，月通話時間（分鐘）與相應話費（元）之間的函數圖像如圖所示，則與之間的函數關系式為．【答案】【分析】根據函數圖象利用待定系數法求解即可.【詳解】由圖知，當時，設函數為，則，得，所以，當時，設函數為，則，解得，所以，綜上與之間的函數關系式為.故答案為：70．（2024·上海黃浦·一模）某展覽會有四個展館，分別位于矩形ABCD的四個頂點A、B、C、D處，現要修建如圖中實線所示的步道（寬度忽略不計，長度可變）把這四個展館連在一起，其中百米，百米，且.(1)試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長y（單位：百米）關于x的函數關系式；(2)求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.【答案】(1)答案見解析(2)18.39百米【分析】（1）若設百米，運用勾股定理表示、，進而寫出y與x的關系式；若設，運用三角函數表示、、，進而寫出y與x的關系式；（2）運用導數研究函數的最值即可.【詳解】（1）設直線EF與AD，BC分別交于點M，N，若設百米，則，所以，又因為，所以.若設，則，，，則，解得，又因為，所以，所以）.（2）設，，令，可得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，取得極小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長度約為18.39百米.設），，令，可得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，取得極小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長度約為18.39百米.71．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）如圖，邊長為1的正方形，其中邊在軸上，點與坐標原點重合，若正方形沿軸正向滾動，先以為中心順時針旋轉，當落在軸上時，再以為中心順時針旋轉，如此繼續，當正方形的某個頂點落在軸上時，則以該頂點為中心順時針旋轉．設頂點滾動時形成的曲線為y=fx，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據已知條件及函數的周期性即可求解．【詳解】由題意可知，是周期為的函數，所以.由題意可得，當時，點恰好在軸上，所以f3=0，本號資#料全部來源于微信公眾號：數*學第六感所以.故選：A.考點22求分段函數值72．（24-25高一上·全國·隨堂練習）已知函數則等于（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據分段函數解析式結合定義域求值即可.【詳解】.故選：A.73．（24-25高三上·北京·開學考試）定義在上的函數滿足，則的值為.【答案】【分析】當時，由，得到當時，成立，進而轉化，再由分段函數代入相應解析式求得.【詳解】由題意知，當時，①，當，即時，②，所以當時，將②代入①式化簡可得，故當，且時，即時，..故答案為：.74．（24-25高三上·四川南充·開學考試）若函數，則.【答案】/【分析】根據分段函數解析式，結合對數運算性質先計算的值，繼而計算的值，即得答案.【詳解】由題意可得，故，則.故答案為：考點23已知分段函數的值求參數或自變量75．（2024·北京大興·三模）已知，若，則.【答案】或【分析】根據分段函數解析式得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因為且，所以或，解得或.故答案為：或76．（2024·河南濮陽·模擬預測）已知函數，滿足，則實數的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】將的值依次代入解析式，解出的值即可求解.【詳解】，即，則.故選：.77．（2024·全國·模擬預測）設函數，若，則.【答案】2【分析】根據函數解析式，代入求值.【詳解】函數，有，則，解得.故答案為：278．（2024·全國·模擬預測）設函數，若，則（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【分析】由題意可得出在和上為增函數，則，由可得出，即可得求出的值.【詳解】易得在和上為增函數，，所以，由得，解得或（舍去），則，故選：D.考點24解分段函數不等式79．（2024·江西南昌·二模）已知，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別在條件下化簡不等式求其解可得結論.【詳解】當時，不等式可化為，所以，可得；當時，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.80．（2024·湖北·一模）已知函數，則關于x的不等式的解集為．【答案】【分析】根據分段函數的性質及對數函數的單調性解不等式可得結果.【詳解】當時，得，當時，，得，所以，綜上：的解集為，故答案為：.81．（2024高二下·陜西西安·期中）已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合二次函數性質判斷函數的單調性，再借助單調性求解不等式作答.【詳解】因為在上單調遞增，在上單調遞增，且連續不斷，可知函數在R上單調遞增，則，可得，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A.82．（2024高一上·安徽宿州·期中）已知函數若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論、，結合函數解析式列不等式求參數a的范圍即可.【詳解】由，若，則，即，解得，所以若，則，即，解得，所以，綜上，不等式的解為.故選：D考點25分段函數的定義域83．（2024高一上·山西太原·階段練習）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對分段函數的定義域的理解可得.【詳解】由，得函數的定義域為.故選：C.84．（2024高一·江蘇·專題練習）已知函數(1)求，，的值；(2)求函數的定義域、值域．【答案】(1)，，.(2)定義域為，值域為【分析】（1）根據分段函數的解析式求函數值；（2）作出分段函數的圖象，由圖象判斷函數的定義域、值域．【詳解】（1）由函數，，，.（2）作出圖象如圖所示．

利用數形結合易知的定義域為，值域為．85．（2024高一上·四川宜賓·期中）已知(1)求，的值；(2)求滿足的實數a的值；(3)求的定義域和值域．【答案】(1)，(2)(3)定義域為，值域為【分析】根據自變量所屬范圍，求分段函數求函數值；根據函數值，求自變量值；確定分段函數的定義域值域.【詳解】（1），.（2）由或，解得.（3）

的定義域為，值域為考點26分段函數的值域或最值86．（2024·廣西柳州·模擬預測）記實數的最小數為，若，則函數的最大值為．【答案】【分析】由題意在同一個坐標系中，分別作出三個函數的圖像，再按要求得到的圖象，結合圖像易得函數的最大值．【詳解】如圖所示，在同一個坐標系中，分別作出函數的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實紅線部分，要求的函數的最大值即圖中最高