北京市朝陽區2023~2024學年度第一學期期末質量檢測高一數學（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分第一部分（選擇題共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，結合集合交集的概念，即可求解.【詳解】由集合，集合B由，所有偶數構成，集合A中只有-2,2兩個偶數，故.故選：B.2.命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，都有 D.，都有【答案】A【解析】【分析】根據全稱命題的否定知識即可求解.【詳解】由“，使得”的否定為“，使得”，故A正確.故選：A.3.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，以及特例法，結合指數函數的單調性，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，例如，此時滿足，但，所以A錯誤；對于B中，當時，，所以B不正確；對于C中，由指數函數為單調遞增函數，因為，可得，所以C正確；對于D中，例如，此時滿足，但，所以D不正確.故選：C.4.設R，則“＞1”是“＞1”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件考點：充分條件與必要條件5.已知是函數的一個零點，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷出單調性，根據是函數的一個零點求出的值域可得答案.【詳解】因為為上的單調遞增函數，所以為上的單調遞增函數，又因為是函數的一個零點，所以時，時，若，則.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據冪函數和對數函數的單調性比較大小即可.【詳解】因為冪函數在上單調遞增，，所以，即，因為對數函數在單調遞減，，所以，即，所以，故選：C.7.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合三角函數的周期性求，利用特殊點的相位求的值.【詳解】由圖可知：，由.由.故選：B8.函數是（）A.奇函數，且最小值為 B.奇函數，且最大值為C.偶函數，且最小值為 D.偶函數，且最大值為【答案】D【解析】【分析】根據題意，結合函數的奇偶性，判定A、B不正確；再結合三角函數的圖象與性質，求得函數的最大值和最小值，即可求解.【詳解】由函數，可得其定義域，關于原點對稱，且，所以函數為偶函數，因為，所以為的一個周期，不妨設，若時，可得，因為，可得，當時，即時，可得；當時，即時，可得；若，可得，因為，可得，當時，即時，可得；當時，即時，可得，綜上可得，函數的最大值為，最小值為.故選：D.9.已知函數的圖象是在上連續不斷的曲線，在區間項上單調遞增，且滿足，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過條件分析函數具有的性質，再把函數不等式轉化為代數不等式求解.【詳解】由得：的圖象關于點對稱；；又在上連續不斷，且在上單調遞增，所以在上單調遞增..故選：B10.在一定通風條件下，某會議室內的二氧化碳濃度c隨時間t（單位：）的變化規律可以用函數模型近似表達．在該通風條件下測得當時此會議室內的二氧化碳濃度，如下表所示，用該模型推算當時c的值約為（）t0510cA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意知建立方程組分別求出，，從而可求解.【詳解】由題意得：當時，，當時，，當時，，由得，由得，由得，所以，由得，解得，所以當時，，故C正確.故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.函數的定義域為_________________.【答案】【解析】【分析】根據對數的真數大于零，列出不等式解出即可.【詳解】由得，則函數的定義域為.故答案為:12.若，則的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當且僅當即時取等號，∴時取得最小值3.故答案為：3．13.在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，若角的終邊經過點，角的終邊與角的終邊關于原點對稱，則__________，__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據角終邊經過點，從而可求出，，再根據角的終邊與角的終邊關于原點對稱，從而可求解.【詳解】對空：由點在角的終邊上，所以，.對空：由角的終邊與角的終邊關于原點對稱，所以.故答案為：；.14.已知函數的圖象過原點，則__________；若對，都有，則m的最大值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據函數過原點，從而求出的值；對于，只需求出，從而可求解.【詳解】對空：由函數過原點，即，得；對空：由函數在定義域上單調遞增，且恒成立，所以的最大值為.故答案為：；.15.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象．若函數的圖象關于y軸對稱，則的一個取值為__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據圖象平移變換得到的解析式，結合圖象關于y軸對稱，令，求出的值.【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則，因為函數的圖象關于y軸對稱，則，即，所以，即，，所以的一個取值為,故答案為：（答案不唯一）.16.已知函數，為偶函數，且當時，，記函數，給出下列四個結論：①當時，在區間上單調遞增；②當時，是偶函數；③當時，有3個零點；④當時，對任意，都有．其中所有正確結論的序號是__________．【答案】①③【解析】【分析】根據題意，結合函數的解析式，利用函數的新定義，結合函數的圖象、函數的零點的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】因為為偶函數，且當時，，當時，可得，所以，對于①中，當時，，令，解得，如圖所示，，結合圖象，可得函數在區間上單調遞增，所以①正確；對于②中，當時，可得，令，即，解得或，當時，可得；當時，可得；當時，可得，即，其中，所以，所以當時，函數不是偶函數，所以②不正確；對于③中，當時，令，即，解得，當時，令，即，解得，當時，令，即，解得或，若時，函數有三個零點，分別為，和；若時，即時，函數有三個零點，分別為，和；若時，即時，函數有三個零點，分別為，和；綜上可得，當時，函數有三個零點，所以③正確；對于④中，當時，令，即，解得，將點代入函數，可得，解得，如圖所示，當時，函數，所以④不正確.故答案為：①③.三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17.已知集合．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，直接利用并集運算求解即可；（2）化簡集合，根據交集運算結果求解參數.【小問1詳解】由題知，，，因為，所以，所以.【小問2詳解】因為，且，，所以.18.已知為銳角，．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先根據同角三角函數平方關系求出，再根據商數關系和兩角和正切公式化簡得結果；（2）根據二倍角公式得，，再根據兩角和余弦公式得，最后根據范圍求結果.【小問1詳解】因為為銳角，，所以，所以，又因為，所以，【小問2詳解】因為為銳角，，所以，解得，所以，，所以，又因為為銳角，所以，所以.19.設函數．（1）當時，求的值；（2）判斷在區間上的單調性，并用函數單調性的定義證明你的結論；（3）當時，的最小值為3，求m的值．【答案】（1）2（2）在區間上的單調遞增，證明見解析（3）7【解析】【分析】（1）求出函數的解析式，進而求出的值；（2）利用函數單調性的定義證明單調性；（3）由（2）的單調性，可得，求出的值.【小問1詳解】當時，，所以.【小問2詳解】在區間上的單調遞增，證明如下：在上任取，且，則，因，，所以，所以，即，所以，即，所以，即在區間上單調遞增.【小問3詳解】時，由（2）可得在上單調遞增，所以，所以.20.設函數，且．（1）求的值；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值及的零點．條件①：是奇函數；條件②：圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是；條件③：在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）選擇①，不存在；選擇②，，；選擇③，，【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡函數，根據，即可求解；（2）根據奇函數性質、三角函數圖象的性質以及三角函數的單調性，即可逐個條件進行判斷和求解.【小問1詳解】，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，選擇①：因為是奇函數，所以與已知矛盾，所以不存在.選擇②：因為圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是，所以，，，則，令，解得.即零點為.選擇③：對于，，令，，解得，，即增區間為，減區間為，因為在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以時符合，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以且，解得，則，所以令，解得，即零點為.21.已知集合，其中且，非空集合，記為集合B中所有元素之和，并規定當中只有一個元素時，．（1）若，寫出所有可能的集合B；（2）若，且是12的倍數，求集合B的個數；（3）若，證明：存在非空集合，使得是的倍數．【答案】21.，，，22.423.證明見詳解【解析】【分析】根據條件，可列出（1）（2）中所有滿足條件的；對（3），分情況討論，尋找使是倍數的集合.小問1詳解】所有可能的集合為：，，，.【小問2詳解】不妨設：，由于，且，所以.由題意，是12的倍數時，或.當時，因為，所以當且僅當時，成立，故符合題意.當時，若，則，故或符合題意；若，則，故符合題意；若，則，無解.綜上，所有可能的集合為，，，.故滿足條件的集合的個數為.【小問3詳解】（1）當時，設，則，這個數取個值，故其中有兩個數相等.又因為，于是，從而互不相等，互不相等，所以存在，使得.又因，故.則，則，結論成立（2）當時，不妨設，則（），在這個數中任取3個數，.若與都是的倍數，，這與矛盾