例題講解

【例1】如圖10,平行四邊形相切中，5,80=10,8。邊上得高/AM,￡

為比1邊上得一個動點(不與8、。重合).過￡作直線48得垂線，垂足為￡F

E與。。得延長線相交于點G,連結DE,DFO

(1)求證：ABEF^ACEG.

(2)當點￡在線段a1上運動時，△應'尸與△0%得周長之間有什么關系？并

說明您得理由.

(3)設2?E=x,△龍尸得面積為y,請您求出y與x之間得函數關系式,并求

出當x為何值時，y有最大值，最大值就是多少？

“D一

"(a>0)與坐標軸交于點ABC且OA=1

(1)求此二次函啰修析式.(2)寫出頂點坐標與對稱軸方程.

陸焉圖展上(點N在點M得右邊)且MN〃x軸求以

Mg為直徑直與切得圓增徑

D.v

］已知兩個關于得二次函數與當時，；且二次函數得

1唱象得對稱軸就是直線.

II(1)求得值；

擊----k-------%(2)求函數得表達式；

\/(3)在同一直角坐標系內，問函數得圖象與得圖象就

ly是否有交點?請說明理由.

【例4】如圖，拋物線與x軸分別相交于點B、0,它得頂點為A,

I連接AB,把AB所得直線沿y軸向上平移,使它經過原點0,得到直

線1,設P就是直線1上一動點、

(1)求點A得坐標；

(2)以點八、B、0、P為頂點得四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接

寫出這些特殊四邊形得頂點P得坐標；

(3)設以點人、B、0、P為頂點得四邊形得面積為S,點P得橫坐標為x,當時，求x得取

值范圍、

【例4］隨著綠城南寧近幾年城市建設得快速發展，對花木得需求量逐年提高。

某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木,根據市場調查與預測，種植樹木得利潤

與投資量成正比例關系，如圖①所示;種植花卉得利潤與投資量成二次函數關系,

如圖②所示(注:利潤與投資量得單位:萬元)

(1)分別求出利潤與關于投資量得函數關系式；

(2)如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉與樹木，她至少獲得多少利

潤？她能獲取得最大利潤就是多少？

【例5】如圖，已知，，現以A點為位似中心,相似比為9:4,將0B向右側放大,B

點得對應點為C.

(1)求C點坐標及直線BC得解析式；

(2)一拋物線經過B、C兩點,且頂點落在x軸正半軸上,求該拋物線得解析式

并畫出函數圖象；

(3)現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P,請找出拋物線上所有

滿足到直線AB距離為得點P.

【例6】如圖,拋物線交軸于A、B兩點，交軸于M點、拋物線向右平移2個單位后得到拋物

線,交軸于C、D兩點、

(1)求拋物線對應得函數表達式；

(2)拋物線或在軸上方得部分就是否存在點N,使以A,C,M,N為頂點得四邊形就是平行

四邊形、若存在，求出點N得坐標;若不存在,請說明理由；

(3)若點P就是拋物線上得一個動點(P不與點A、B重合)，那么點P關于原點得對稱

點Q就是否在拋物線上,請說明理由、

解析過程及每步分值

(2)存在.

令工?0,得y=3..,.M(0,3).

\,拋物線L2是L向右平移2個單位得到的，

點,N(2,3)在Lt上，且MN^2,MN//AC.

又：AC=2,；.MN=AC

四邊形ACNM為平行四邊形.

同理,〃上的點N'(-2,3)滿足N'M//AC,N'M=AC.

四邊形ACMN'是平行四邊形?

...N(2,3)，N'(-2,3)即為所求?

【例7】如圖,在矩形中，，，點就是邊上得動點(點不與點，點重合)，過點作直線,

交邊于點，再把沿著動直線對折,點得對應點就是點,設得長度為,與矩形重疊部

分得面積為.

(1)求得度數；

(2)當取何值時,點落在矩形得邊上？

(3)①求與之間得函數關系式；

②當取何值時,重疊部分得面積等于矩形面積得？

(備用圖2)

解析過程及每步分值

解：(1)如圖，四邊形就是矩形,.

又，，，

(2)如圖1,由軸對稱得性質可知,,

由(1)知，，

在中，根據題意得:，

解這個方程得：.

(3)①當點在矩形得內部或邊上時,

，，

，當時，

當在矩形得外部時(如圖2),,

在中，，

又,‘

在中,

當時,.

綜上所述,與之間得函數解析式就是

②矩形面積，當時，函數隨自變量得增大而增大，所以得最大值就是，而矩形面積得得

值，

而，所以，當時,得值不可能就是矩形面積得；

當時，根據題意，得：

，解這個方程，得，因為，

所以不合題意，舍去.

所以.

綜上所述,當時,與矩形重疊部分得面積等于矩形面積得.

第四章興趣練習

4、1代數部分

1、已知:拋物線與無軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.其中點A在x軸得負半軸上,

點。在y軸得負半軸上，線段。。得長(OA<OC)就是方程得兩個根，且拋物線得

對稱軸就是直線.

(1)求/、B、C三點得坐標；

(2)求此拋物線得解析式；

(3)若點。就是線段A8上得一個動點(與點/、6不重合)，過點D作交AC

于點E,連結C。，設得長為得面積為S,求S與相得函數關系式,

并寫出自變量功得取值范圍.S就是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D

點坐標;若不存在,請說明理由.

(3)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE,求四也形面用

2、已知，如圖1,過點作平行于軸得直線，拋物線上得兩點得橫坐標分別為1與4,直線交軸

于點，過點分別作直線得垂線，垂足分別為點、，連接.

(1)求點得坐標；

⑵求證:；

(3)點就是拋物線對稱軸右側圖象上得一動點，過點作交軸于點，就是否存在點使得與相

似?若存在，請求出所有符合條件得點得坐標;若不存在，請說明理由.

?3、已知矩形紙片得長為4,寬為3,以長所在得直線為軸，為坐標原點建

立平面直角坐標系;點就是邊上得動點(與點不重合)，現將沿翻折

得到,再在邊上選取適當得點將沿翻折，得到，使得

直線重合./

⑴若點落在邊上,如圖用，求點得符標，并求過此三點中拋物線得函數X系式；

(2)若點落時形紙片得扉如圖②，設當為何,時，取得最/值？

(3)在(1)得情況*,過點刃W拋物線上就是否存在%使就是明直角邊得直角三角形?若

不存在，說明理隊承分名/求出點得坐標._________________

4如圖,已知拋麻涌最A、8兩鬲交軸于點G%硒得對稱軸交軸于點E二點B

得坐標為(,0)/c,￡DICED

1/1)求拋物線得蝴軸及,&L得坐標;本〉備用圖

B

Cr-

CD中就是否存在點p,與三點構成一個平行四邊形？若存在,

請寫出點存在，請說明理由;

Q)連結CA導對稱觸交于點D,在拋物線府直線CM把

子藩不/在，請說明理

四邊衫分成息兩部分?若存在，請求出直線

I

由,。>\

PAx0PAx

*5、如圖①，已知拋物線(aW0)與軸交于點A(1,0)與點2(—3,0),與y軸袞于點C

(1)求拋物線得腳箭式;圖

(2)設拋物線得對稱軸與軸交于點M,問在對稱軸上就是否存在點使為等腰三

形？若存在，請直接寫出所有符合條件得點尸得坐標;若不存在，請I說明理由.

值，并求此時E點得坐標.

D

2

*二、動態幾何

6、如圖，在梯形中，厘/厘來照坡度動點從出發以覦娜得速度酒泉扇點位般動點°

度沿:加向點運動，兩個

從點出發以3厘米/秒得孤點同曬、出發，當其中一個瑜索到達終點

時，另一個動點也隨之便止.碳動點阜動得時間為秒.

M>

(1)求邊得長；——\QV>—O

(2)當為何值時，與相互平分；O'”x

(3)連結設得面積為探求與鰥數關系式，求為何值時，然M直？最大值就是多少？

7、已知:直線與軸交于A,與軸交于D,拋物?線與直線交于4、5兩點，與軸交于B、C兩點,

且B點坐標為(1,0).

(1)求拋物線得解析式；

(2)動點P在軸上移動，當就是直角三月形時，求點P得坐標.

(3)在拋物線得對稱軸上找一點使得值謾大，求出點跖標.

B

P

*8、已知:拋物線得對稱軸為與軸交于兩點，與軸交于點其中、\V1/

(1)求這條拋物線得函數表達式.\

(2)已知在對稱軸上存在一點P,使得得周長最小.請求出點。得坐自、

(3)若點就是線段上得一個動點(不與點0、點C重合).過點D?站迂點專的、.設隼長

為，得面積為.求與之間得函數關系式.試說明就是否存在最大管磊福宙錄輸大值；毒不

存在，請說明理由.

9、如圖1,已知拋物線經過坐標原點與軸上另一點，頂點得坐標為;矩形得雙中點重合，分

別在軸、軸上,且,.\：/

(1)求該拋物線所對應得函數關系式；\,

(2)將矩形以每秒1個單位長度得速度從圖1所示得位置沿軸箱即向勻逋平行喇同面

一動點也以相同得速度從點出發向勻速移動.設它們運動得時間為溝，直境與演械線得交

點為(如圖2所示).\：/

①當時，判斷點就是否在直線上，并說明理由；c

②設以為頂點得多邊形面積為，試問就是否存在最大值？若存在，求出這個最大&；若不存在,

請說明理由.

io、己知拋物線:.丫人yK

M

(1)求拋物線得頂點坐示.M

N

(2)將拋物線向沂落戶海位反向上平移1個單位“由物線金拋物線得解析式.

(3)如下圖，拋物線得引聲為P,軸占有一動點M在、這電周牛列線上?t是否存在點N,使

為不邊得平行四野的耳存在不

。(原點)、P、帽嗡昌構成以0奇點得坐標;若不

X

存在,請說明理由.m

_圖1、..圖2

【提示：拋物線0得對稱盤;就是頂點坐標就是】

11、如圖，已知拋物線G：得頂點為P,與x軸相交于A、2兩點（點A在點B得左邊），點B

得橫坐標就是1.

（1）求尸點坐標及。得值；（4分）

（2）如圖（1）,拋物線C與拋物線G關于x軸對稱，將拋物線。2向右平移，平移后得

拋物線記為。3,C3得頂點為〃，當點P、M關于點8成中心對稱時，求C3得解析式；（4分）

（3）如圖（2）,點Q就是x軸正半軸上一點，將拋物線j繞點Q旋轉180。后得到拋物

線.拋物線C4得頂點為N,與x軸相交于E、尸兩點（點E在點戶得左邊）,當以點P、N、F

為頂點得三角形就是直角三角形時，求點Q得坐標.（5分）

如圖,在六前直角坐標系中，已知矩形得三個頂點、、.線過兩點.

(if1

接寫出點得A；

（2）動甫從點自發聲2I?點運動，同時點從點出餞，沿線段向終點運動N均為每秒1

個單位運動時'回為秒.過呼交于點.

.一…年何甯寸，線段最90

①過點點，交.

②連接在叔揖動閡程中,判斷俞L個醉刻使得就是等齪三角考

請直接再出才口

匕c3

AF2P

■3、如圖1,已知正比例函數與反比例函數得圖像都經過點M-2,一項力雙曲線上

得一點為坐標嗣上一動點,P4垂直于無軸，QB垂直于y車|曝

分別就庶AB.

（1）寫出正比例函數與反比例函數得關系式；P1E

（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上就是否存在這樣得點，使得小。萬沿QAP面

積相等?如果存在，請求出點得坐標，如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2,當點Q在第一象限中得雙曲線上運動時，作以O網O

PC0,求平行四邊形OPCQ周長得最小值.'

喝2

14、如圖，矩形中,=6cm,4。=3cm，點E在邊。。上，且。萬=4cm.

動點。從點A開始沿著A-B—CTE得路線以2cm/s得速度移動，動點Q從點A開始沿

著NE以1cm/s得速度移動，當點。移動到點E時,點尸停止移動.若點尸、。從點力同時出

發，設點Q移動時間為f(s),P、Q兩點運動路線與線段PQ圍成得圖形面積為S(cm2)，求S與

/得函數關系式.

15、如圖,已知二次函數得圖串與軸相交于兩尹而得點

、，與軸得交點為.設得外接圓得圄心為點.

⑴求與軸得另一個交點D得坐標；

(2)如果恰好為得直徑，且得面積管/幽得值.

ApB

16、如圖,點坐標分別為(4,0)、(0,8),點就是線段上一動點，點在軸正半軸上，四邊形就

是矩形，且.設，矩形與重合部分得面積為.根據上述條件，回答下列問題：

(1)當矩形得頂點在直線上時，求得值；

(2)當時，求得值；v

(3)直接寫出與得函數關系式；(不必寫出解題過程)

(4)若，則______________.\

17、直線與坐標軸分別交于兩點，動點同時從點出發，同時到達點，運動停止*沿線段。運動,

速度為每秒1個單位長度，點沿路線一一運動.\

(1)直接寫出兩點得坐標；c__入

(2)設點得運動時間為秒，得面積為，求出與之間得函數關系式；———LX-——>

(3)當時,求出點得坐標，并直接寫出以點為頂點得平行四邊形得第四個頂外坐點.\"

18、如圖1,過△/6C得三個頂點分別作出與水平線垂直得三條直線,外側兩條直線之間得

距離叫△力6c得“水平寬”(a),中間得這條直線在內部得線段得長度叫△46。得

“鉛垂高”(血.我們可得出一種計算三角形面積得新方法:，即三角形面積等于水平寬與鉛

垂高乘積得一半.

解答下列問題：

如圖2,拋物線頂點坐標為點C(l,4),交x軸于點火3,0),交y

軸于點B.

(1)求拋物線與直線/萬得解析式；

(2)求△。臺得鉛垂高及；

(3)設點P就是拋物線(在第一象限內)上得一個動點，就是否存在一點已使SMAFSACAB,

若存在，

求出。點得坐標;若不存在,請說明理由.

*19、如圖，在平面直角坐標系中，點得坐標分別為點在軸上.已知某二次函數得圖象經

過、、三點，且它得對稱軸為直線點為直線下方得二次函數圖象上得一個動點(點與、不重合),

(1

(2表示線段得長.

(坐標.

I-

2(!米，.從初始時刻開始，點、同時從點出發，點以1厘米/

O

秒/秒得速度沿得方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止

運得面積為平方厘米(這里規定:點與線段就是面積為

得三角形),解答下Bx

(1)點、從出發到相嘲網寸,吸是.?秒;

(2)點、從開始運動到甲坤行程中，當就是等邊三角形時得值就是.秒;

(3)求與之間得函數關|系公

D._________f

21、定義一種畢耳)/線得到拋物線，使經過得頂點.設得對稱軸分別交于點，點就是點

關于直線得對稱,//\

(1)如圖1,若:，套跟換后，魂抖:，點得坐標為，則①得值等于;

②四邊形為(4Q--------

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如圖2,若:，經過變換后，點得坐標為，求得面積；

(3)如圖3,若:，經過變換后,，點就是直線上得動點,求點到點得距離與到直線得距離之與得最

小值.

y''Fi

2、如圖，歐口直線交坐標

于兩點，以線段為邊向上作正方形，迎點得拋物線線另三

''F,D

D

點聲坐標；

獅!物線得撕式;

°(部)著正方形座毒秒個單位長度得速澄沿射2

ih方

軸下方部分得面積為，求美.行時間得函數關系式，并寫出相應變量得r

OBx

OX

(圖1)(圖2)(S3)

取值范圍；

(4)在(3)得條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間得拋物線弧

所掃過得面積.

23、如圖,點坐標分別為(4,0)、(0,8),點就是線段上一動點，點在軸正半軸上，四邊形就是

矩形，且.設，矩形與重合部分得面積為.根據上述條件，回答下列問題：

(1)當矩形得頂點在直線上時，求得值；

(2)當時，求得值；

(3)直接寫出與得函數關系式;(不必寫出解題過程)V

(4)若，則_______________.治

24、如圖所示，某校計劃將一塊形狀為銳角三角形得空地進行生態環境工/事已知得邊長120

米，高長80米.學校計劃將它分割成、、與矩形四部分(如圖).其中矩形得一跳邊上，其余兩個

頂點、分別在邊、上.現計劃在上種草，每平米投資6元;在、上都種花,每平如投資10元;

在矩形上興建愛心魚池,每平方米投資4元.C—外

(1)當長為多少米時，種草得面積與種花得面積相等？——----->

(2)當矩形得邊為多少米時，空地改造總投資最小？最小值為多少？\'

25、已知:就是方程得兩個實數根，且，拋物線得圖象經過點.

(1)求這個拋物線得解析式；

(2)設點就是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形就是以為對角線得平行四邊形,求得面

積與之間得函數關系式,并寫出自變量得取值范圍；

(3)在(2)得條件下，當得面積為24時，就是否存在這樣得點，使為正方形？若存在，求

出點坐標；若不存在，說明理由.

三、說理題

26、如圖，拋物線經過三點.

(1)求出拋物線得解析式。

(2)P就是拋物線上一動點，逑工作軸,垂足為就是否存在P點,使得以為頂點得

三角形與相似？若存在，請求出符行條件得點P得坐標;若不存在,請說明理由；

(3)在直線AC上方得拋物線上；"?點￡>,使得得面積最大,求出點。得坐標.

A°x

P

27、如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1得圓得圓心在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于

四點.拋物線與軸交于點，與直線交于點，且分別與圓相切于點與點.

(1)求拋物線得解析式;

(2)拋物線得對稱軸交軸于點,連結，并延長交圓于，求得長.

(3)過點作圓得切線交得延長線于點，判斷點就是否在拋物線上，說明理由.

28、如圖1,己知:拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，經過兩點得直線就是,連結.

上金,拋物線得&數關系式為.

(1)兩點坐標分別為(..）、C

D

(2)判斷得形狀,并說明理由；

(3)若內部能否截出面積最大得矩形(頂點在各邊」)湃射洞在跳上得?形頂點得坐標;

若不能，請說明理由.Ax

［拋物線得頂點坐標就是］

*29、己知:如圖，在平面直角坐標系中，矩形夕么串辦04在y車由得正半軸上,0C在x

軸得正半軸上，0線鏟。=3.過原點。作得平分蠹交N2于點D,連接。C,過點。

(1)求過點及⑦、。得拋物線得解析式；

(2)將/aC繞旋轉后，角得一審.,鈾得正為利交尋點￡另一邊與線段

0C交于點G.痂"?粒物變交于另點他標為，那么EF=2G。就是

否成立?若成立，請正明;若不成立，請說明理由；(

(3)對于(2)中徼發伸位于第一象限內得該拋物級4就是否存在點。，使得直線G。與A6

得交點尸與點。、倒勾成得△PCG就是等腰三角噴2斯市，請求出點。得坐標;若不存在,

請說明理由.

Ty

*30、如圖所示，將矩形沿折疊，使點恰好落在上處，以為邊作正方形,延長至，使，再以、

為邊作矩形.A-------------，--------，B

(1)試比較、得大小，并說明理由.

(2)令,請問就是否為定值?若就是，請求出得值;若不就是，請說明孑!\

(3)在(2)得條件下，若為上一點且,拋物線經過、兩點，請求出舊畛血得解析式\

(4)在(3)得條件下，若拋物線與線段交于點，試問在直線上就是徐在點.吏得以,融頂點得x

三角形與相似?若存在，請求直線與軸得交點得坐標;若不存在隅說明理由.0

44V2幾何部分

H-------\G

經典難題F

1已知:如圖，。就是半圓得圓心,C、E就是圓上得兩點,|CDJ_AN：EIFXAB,$G±CO.

求證：CD=GF.(初二)

2、已知：如圖,P就是正方形ABCD內點,NPAD=/PD)

求證:APBC就是正三角形.(初二)-

如圖，已知四邊形ABCD、人出《21都就是正方形八2,85

3、2、

Bi、CCi、DDi得中點./

A1-------4B

求證：四邊形AzB2c2D2就是正方形.(初二)

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別就是1/德中關

B

B2

C得延長線交MN于E、F.

求證:NDEN=NF.

經典難題（二）

1、已知:AABC中,H為垂心（各邊高線得交點）,0為外心，且OMLBC于M.

（1）求證:AH=20M;A

（2）若NBAC=60°,求證：AH=AO.（初二）

2、設MN就是圓O外一直線，過。作OALMN于A,自A引圓得兩條直線,交圓子B、4及

D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.°G

求證:AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：

設MN就是圓0得弦，過MN得中點A任作兩弦BC、D忘

HP、Q.

求證:AP=AQ.（初二）C

、

4如圖,分別以△ABC得AC與BC為一邊，在^ABC得外側作正M】N

P

CBFG點P就是EF得中點.

求證：點P到邊AB得距離等于AB得一半.（初二）_0]B

經典難題（三）

1、如圖,四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,D相父于1.

求證:CE=CF.（初二）

D

2、如圖,四邊形ABCD為正方形，DE//AC,且CE=CA,直線上

求證:AE=AF.（初二）

A

3、設P就是正方形ABCD一邊聲1任一點，PF，AP,CF平7

求證:（初二）

PA=PF.A

4、如圖,PC切圓。于C,AC為圓得直徑,PEF為圓得割戔F與亶名

D.求證:AB=DC,BC=AD.（初三）

3A

經典難題（四）

1、已知:AABC就是正三角形,P就是三角形內一點，PA=3,PB=4

求：NAPB得度數.（初二）P

2、設P就是平行四邊形ABCD內部得一點，且NPBA=N

求證:NPAB=NPCB.（初二）

3、Ptolemy（托勒密）定理:設ABCD為圓內接凸四邊形，求證:AB-CD+

（初三）

4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別就是BC、AB上得一點,AE

AE=CF.求證:NDPA=NDPC.（初二）

經典難題（五）

1、設P就是邊長為1得正4ABC內任一點,1=PA+PB+PC,求證:Wl<2：

A

C

★重點★實數得有關概念及性質，實數得運算

☆內容提要☆

一、重要概念

1.數得分類及概念

數系表：

「正整數

說明：“分類”得原

整數0

,（有限或無限循環性數）I負整數則：1）相稱（不重、

工正分數

分數不漏）

實數v工負分數

I無理數（無限不循環小數）｛負嚏理事

2）有標準

2.整數非負數:正實數與零得統稱。（表為：x20）

「有理數｛常見得非負數有：

1

性「正數Jr■分數質：若干個非負數得與為0,

則［不拜"似為一切實數）每個非負擔數均為0。

-倒數：①定義及表示法

②性質:A、a￥1

/a（a#±l）;B、1/a中，aW0;C、0<a<1

1/a〉l;a>1時，1/a<1;D、積為1。

4.相反數：①定義及表示法

②性質:A、aWO時,a#—a;B、a與一a在數軸上得位置;C、與為

0,商為T。

5.數軸:①定義（“三要素”）

②作用:A、直觀地比較實數得大小；B、明確體現絕對值意義；C、建立點與

實數得一一對應關系。

6.奇數、偶數、質數、合數（正整數一自然數）

定義及表示：

奇數:2nT

偶數：2n（n為自然數）

7.絕對值:①定義（兩種）：

代數定義：ra（a>0）

幾何定義：數?一I=t_a（a<0）a得絕對值頂得幾何意義就是實數a在

數軸上所對應得點到原點得距離。

②Ia|'0,符號“||”就是“非負數”得標志；③數a得絕對值只有一個;

④處理任何類型得題目，只要其中有出現，其關鍵一步就是去掉

符號。

二、實數得運算

1.運算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）

2.運算定律（五個一加法［乘法］交換律、結合律；［乘法對加法得］

分配律）

3.運算順序:A、高級運算到低級運算;B、（同級運算）從“左”

到“右''（如5+X5）;C、（有括號時）由“小”到“中”到“大”。

三、應用舉例（略）

附:典型例題

1.已知:a、b、x在數軸上得位置如下圖,求證：|x-a|+|x—b|

a、___..________.a

2、已知:a-b=-2且ab〈0,（aWO,b"WO）,判斷a、b

得符號。

第二章代數式

★重點★代數式得有關概念及性質,代數式得運算

☆內容提要☆

一、重要概念

「籟比J單項式分類：

1、代數式與「有理式」走式I多項式有理式

用運算符號代數式匕理尸分式

把數或表示數得字母連結而成

得式子，叫做代數式。單獨

得一個數或字母也就是代數式。

整式與分式統稱為有理式。

2、整式與分式

含有加、減、乘、除、乘方運算得代數式叫做有理式。

沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母得有理式叫做整式。

有除法運算并且除式中含有字母得有理式叫做公式。

3、單項式與多項式

沒有加減運算得整式叫做單項式。（數字與字母得積一包括單獨得一個數或字母）

幾個單項式得與，叫做多項式。

說明：①根據除式中有否字母，將整式與分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單

項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，就是以所給得代數式為對象，而非以變形后得

代數式為對象。劃分代數式類別時，就是從外形來瞧。如，

=X,=IXI等。

4、系數與指數

區別與聯系:①從位置上瞧;②從表示得意義上瞧

5、同類項及其合并

條件：①字母相同；②相同字母得指數相同

合并依據:乘法分配律

6、根式

表示方根得代數式叫做根式。

含有關于字母開方運算得代數式叫做無理式。

注意:①從外形上判斷;②區別：、就是根式，但不就是無理式（就是無理數）。

7、算術平方根

⑴正數a得正得平方根（［aNO—與“平方根”得區別］）;

⑵算術平方根與絕對值

①聯系:都就是非負數，=Ia|

②區別：Ia|中，a為一切實數；中,a為非負數。

8、同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化

化為最簡二次根式以后，被開方數相同得二次根式叫做同類二次根式。

滿足條件：①被開方數得因數就是整數，因式就是整式；②被開方數中不含有開得盡方

得因數或因式。

把分母中得根號劃去叫做分母有理化。

9、指數

⑴a.a...a=（一暴，乘方運算）

①a>0時,〉0;②a<0時，>0（n就是偶數），<0（n就是奇

n個數）

⑵零指數：=l（a=0）

負整指數:=1/（aWO,p就是正整數）

二、運算定律、性質、法則

1,分式得加、減、乘、除、乘方、開方法則

2.分式得性質

⑴基本性質：=（mWO）

⑵符號法則：

⑶繁分式:①定義；②化簡方法（兩種）

3.整式運算法則（去括號、添括號法則）

4.累得運算性質:①?=；②+=;③十④個⑤

技巧：

5.乘法法則:⑴單X單;⑵單又多;（3）多義多。

6.乘法公式：（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

（a+b）=

7.除法法則:⑴單+單;⑵多小單。

8.因式分解:⑴定義;⑵方法:A、提公因式法；B、公式法；C、十字相乘法;D、分組分

解法;E、求根公式法。

9.算術根得性質:=;;（aNO,bNO）；（a^O,b>0）（正用、逆用）

10.根式運算法則：⑴加法法則（合并同類二次根式）；⑵乘、除法法則；⑶分母有理

化:A、；B、；C、、

11.科學記數法：（1Wa<10,n就是整數=

三、應用舉例（略）

四、數式綜合運算（略）

第三章統計初步

★重點★

☆內容提要介

一、重要概念

1、總體：考察對象得全體。

2、個體：總體中每一個考察對象。

3、樣本:從總體中抽出得一部分個體。

4、樣本容量:樣本中個體得數目。

5、眾數:一組數據中，出現次數最多得數據。

6、中位數:將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置得一個數（或最中間位置得兩

個數據得平均數）

二、計算方法

1、樣本平均數:⑴;⑵若,，…,，則（a一常數,，，???，接近較整得常數a）;⑶加權平均數：;

⑷平均數就是刻劃數據得集中趨勢（集中位置）得特征數。通常用樣本平均數去估計總體平

均數,樣本容量越大，估計越準確。

2.樣本方差:⑴；⑵若，，…,，則（a—接近、、…、得平均數得較“整”得常數）；若、、…、

較“小”較“整”，則；⑶樣本方差就是刻劃數據得離散程度（波動大小）得特征數，當樣本

容量較大時,樣本方差非常接近總體方差,通常用樣本方差去估計總體方差。

3.樣本標準差：

三、應用舉例（略）

第四章直線形

★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形得有關概念、判定、性質。

☆內容提要介

一、直線、相交線、平行線

1.線段、射線、直線三者得區別與聯系

從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數”、“基本性質”等方面加以分析。

2.線段得中點及表示

3.直線、線段得基本性質（用“線段得基本性質”論證“三角形兩邊之與大于第三邊”）

4.兩點間得距離（三個距離:點-點;點一線;線-線）

5.角（平角、周角、直角、銳角、鈍角）

6.互為余角、互為補角及表示方法

7.角得平分線及其表示

8.垂線及基本性質（利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”）

9.對頂角及性質

10.平行線及判定與性質（互逆）（二者得區別與聯系）

11.常用定理:①同平行于一條直線得兩條直線平行（傳遞性）；②同垂直于一條直線

得兩條直線平行。

12.定義、命題、命題得組成

13.公理、定理

14.逆命題

二、三角形

分類:⑴按邊分；

⑵按角分

1.定義（包括內、外角）

2.三角形得邊角關系:⑴角與角:①內角與及推論;②外角與;③n邊形內角與;④n邊形

外角與。⑵邊與邊：三角形兩邊之與大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊:在同一三

角形中,

3.三角形得主要線段小邊