3.2函數的基本性質

——單調性

(最大值/最小值)觀察:

函數f(x)＝-x2+1,定義域I=R對任意的x∈R,都有f(x)≤1;且存在

x0＝0∈R時,使得f(0)＝1.則稱1是函數f(x)＝-x2+1的最大值.

一般地,設函數y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:(1)對于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,稱M是函數y＝f(x)的最大值(簡寫成f(x)max).函數最大值概念觀察:

函數f(x)=(x-1)2-2,定義域I＝[-1,3].對任意x∈[-1,3],都有f(x)≥-2;且存在x0＝1∈[-1,3],使得f(1)＝-2.則稱-2

是函數f(x)＝(x-1)2-2的最小值.函數最小值概念

一般地,設函數y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:(1)對于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,稱M是函數y=f(x)的最小值(簡寫成f(x)min).函數最大(小)值概念

例4“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂,如果煙花距地面的高度h(m)與時間t(s)之間的關系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少?(精確到1m)知識應用

解:作出函數h(t)=-9t2+14.7t+18的圖象.如圖,顯然函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點,頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻t,縱坐標就是這時距地面的高度h.由二次函數的知識,對于函數

h(t)=-4.9t2+14.7t+18(0≤t≤3.93),

于是,煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時刻這時距地面的高度約為29m.練習2設f(x)是定義在區間[-6,11]上的函數.如果f(x)在區間[-6,-2]上遞減,在區間[-2,11]上遞增,畫出f(x)的一個大致的圖象,從圖象上可以發現

f(-2)是函數f(x)的一個________.函數最值與單調性的關系函數圖象最低點的縱坐標即為函數的最小值.

閉區間上單調的函數必然有最大值和最小值:(1)若函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,則函數f(x)的最大值為_____,最小值為_____;(2)若函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,則函數f(x)的最大值為_____,最小值為_____.函數最值與單調性的關系變式練習:已知函數y＝x2+2x-3,且x∈[-4,4),求函數的最值.例1已知函數y＝x2+2x-3,且x∈[-4,-2],求函數的最值.

注意:

求二次函數的最值一般要借助于函數的圖象即數形結合,一定要先確定函數的定義域.例題選講例1求函數f(x)=x2-2ax+3在[-2,2]上的最小值.

能力提升例2已知函數f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2]時,求函數f(x)的最大值.1.最值的概念;課堂小結2.應用圖象和單調性求最值的一般步驟.20xy-11問題1：已知函數y=x2+2x-3,且x,

求函數的最值．

f(x)在區間[0，2]上

單調遞增。解：因為由圖易知:對稱軸

x0=-1[0，2]答：函數的最小值為-3，最大值為5所以：ymin=f(0)=-3

ymax=f(2)=5[-3，-2][0，2]例3：二次函數在閉區間上的最值例三：二次函數在閉區間上的最值-20-1-3xy解：因為由圖易知:對稱軸

x0=-1[-3，-2]

f(x)在區間[-3，-2]上

單調遞減答：函數的最小值為-3，最大值為0.所以：ymin=f(-2)=-3ymax=f(-3)=0[-2，2]問題2：已知函數y=x2+2x-3,且x,

求函數的最值．[-3，-2]例三：二次函數在閉區間上的最值

解：因為由圖易知：對稱軸

x0=-1[-2，2]又因為：f(-2)=-3,f(2)=5答：函數的最小值為-4，最大值為5

所以ymin=f(-1)=-4;所以：ymax=f(2)=5.問題3:已知函數y=x2

+2x-3,且x,

求函數的最值.[-2，2]總結：要求最值，就要考察函數在區間上是否具有單調性，對于二次函數就要考察函數圖象的對稱軸與區間的位置關系。問題1問題2問題3抽象函數的單調性及最值

又∵x>0時，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是減函數．方法二

對于抽象函數的單調性的判斷仍然要緊扣單調性的定義