考點24空間幾何中的垂直

知識理解

一.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義：

直線1與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線1與平面?；ハ啻怪?/p>

(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：

文字語言圖形語言符號語言

1。，bua、

判定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直aC\b=O

定理線都垂直，則該直線與此平面垂直刁ILa

l±b，

ab

性質(zhì)17aLa\

垂直于同一個平面的兩條直線平行

定理b±a\

二.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

判定一個平面過另一個平面的垂線，則

屋Mly

定理這兩個平面垂直

aLp、

性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直b

…>=>/±a

定理于交線的直線與另一個平面垂直aC\fi=a

/_Ld，

三.證明線線垂直的思路

f平行四邊形：正方形、菱形、矩形

圖形

三角形：等腰（等邊）三角形一取中點

正余弦定理

邊關(guān)系或邊長＜

勾股逆定理

線面垂直的定義

面面垂直的性質(zhì)

考向分析

考向一線面垂直

【例”3.（2021?江西吉安市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐尸—ABCO中，底面A8CO為直角梯形，

。為正三角形，為的中點，求證：

AD//BC,ZADC=90°fAD=DC=2BC=2,△FAQAOADL

平面「8。

【舉一反三】

1.（2321?河南信陽市節(jié)選）如圖所示，四棱錐S-ABCO中，AB//CD,AD±DC,

CD=2AD=2AB=2SD=4,SD_L平面A8CD，求證：8C_L平面S3。

AB

rr

2.（2021?江西贛州市節(jié)選）如圖，已知三棱柱ABC-A4G的所有棱長均為2,=證明：B.C1

平面A8C

3.（2020?山東德州市節(jié)選）如圖，四棱錐P—A5CD中，四邊形43CO是邊長為2的正方形，△小。為

等邊三角形，耳廠分別為PC和8。的中點，且b_LCO,證明：C￡>_L平面P4O

考向二面面垂直

21（20214可南高三期末節(jié)選）如圖，直四棱柱ABC。-的底面4BCO為平行四邊形，40=3,

3

4B=5,cosZBAD=-tBD=DD.,E是CG的中點，求證：平面。3E_L平面

【舉一反三】

【例3】（2021?江西宜春市?高安中學(xué)節(jié)選）如圖，四棱錐尸一ABCD的底面A8c。是邊長為2的菱形,

N84D=60，已知尸3=尸￡>=2,PA=Jd,K為Q4的中點，求證PC_L3￡>

【舉一反三】

1.（2321?江蘇南通巾?高二期末節(jié)選）如圖，在四棱錐A-8CD石中，BCUDE,BC=2DE=2,

BC1CD,尸為4B的中點，BCLEF,求證：AC_L8C

2.（2020?山東德州市節(jié)選）如圖，已知四棱錐P—ABC。中，底面A8CO為菱形，NABC=60。,PA_L

平面ABCD,E,尸分別為BC,PA的中點.

（1）求證：AE_LP￡>;

（2）求證：EF//平面PCD.

3.（2321?山東棗莊市節(jié)選）如圖，四棱錐尸一A5co的側(cè)面△PAO是正三角形，底面ABCO是直角梯

形，NBA。=ZA￡）C=90，AD-AB-2CD-2,M為8C的中點，求證：PM±AD

強化練習(xí)

1.（2021?山東泰安市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐尸—ABC。中，底面A3CO是菱形，ZBAD=600,

PB=PD，尸為PC上一點，過A尸作與60平行的平面4MG,分別交PO,PB于點E,G,證明：EG1

平面「4c

D

2.（2321?浙江金華市?高三期末節(jié)選）在三棱錐尸-ABC中，平面B4C_L平面小

正4二28=48=>/￡4。=&3。，）證明：PCJ■平面4%

3.（2021?河南焦作市節(jié)選）如圖，四棱維P-ABC。的底面為正方形,PA_L底面ABC。，E,F,H

分別為AB,PC,8c的中點，求證：DE_L平面B4”

4.（2321?浙江溫州市節(jié)選）如圖，已知三棱錐P—ABC.PCA.AB,是邊長為2G的正三角

形，PB=4樞，NP8C=6（y,點尸為線段AP的中點，證明：PC_L平面A8C

5.（2C21?陜西咸陽市?高三一模節(jié)選）如圖，在三棱錐P-48C中，平面B4C_L平面ABC,PC±AC,

BC1AC,AC=PC=2,CB=4,M是HA的中點，求證：“A_L平面MBC

6.（2321?浙江金華市節(jié)選）如圖，在四棱錐尸一A5C。中，底面A8CD為矩形，PD=AB=6BC，

平面PCO_L平面ABCO,若￡為尸。的中點，求證：OE_L平面PBC

7.（2321?西安市鐵一中學(xué)節(jié)選）如圖，在底面為菱形的四棱錐ABC。中,

PE

NA8C=60°,PA=AC=l,尸8=尸。二及，點E在尸力上，且二二2,求證：PA_L平面ABCD

ED

8.（2321?河南高三期末節(jié)選）如圖，直四棱柱A6c。-A4G。的底面ABCO為平行四邊形,

3

4。=3,48=5工05/區(qū)4。=1,3￡>=D口，七是。。1的中點，求證：平面QBEJ"平面4DR

9.（2321?江蘇南通市節(jié)選）如圖，四面體48a>中，。是3。的中點，點G、￡分別在線段力。和回上,

BE=2EC,AG=2GO,CA=CB=CD=BD=2,A8=AO="

（2）求證：平面A3。_L平面BCD.

10.（2021?山西呂梁市?高三一模節(jié)選）如圖，四棱錐S—ABCZ）中，AB//CD,BC1CD,側(cè)面SCD

為等邊三角形，AB=BC=4,8=2,SB=25求證：BCLSD

11.（2021?云南高三期末）如圖所示，在正方體A3CD—AECZ）'中，點M為線段B77的中點.

（1）求證：DD'-LAC；

（2）求證：3知//平面人。。'.

12.（2021?江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選）如圖，己知四棱錐S—ABCD,其中AO〃6C,AB±AD,N8CO=45'，

BC=2AD=2,側(cè)面SBC_L底面48CO,E是SB上一點,且△反。是等邊三角形，求證：CE_L平

面S4B

13.（2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中）如圖，在三棱柱中，平面A4CG_L平面ABC,

A

45=BC=2,NACB=3O‘,AA,=3,BCXA^C,E為AC的中點.

A

(1)求證：44〃平面GE3；

(2)求證：AC_L平面CEB.

14.(2021?陜西咸陽市)在三棱錐A-BCD中，E、尸分別為A。、OC的中點，且叢=%>,平面A8OJ_

平面從DC.

(1)證明：EF〃平面ABC；

(2)證明：BELCD.

15.(2021?全國)已知四棱錐尸一ABCD中，平面PABJ_平面ABCD,APAB為等邊三角形，底面ABCD

為直角梯形，ND48=90。且AB=2CQ,點M為PB的中點、,求證：PBLDM.

p.

16.（2020?全國）如圖，矩形ABC。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是CO上異于C，D的點.

（1）證明：平面平面3MC；

（2）若P點是線段AM的中點，求證：，V/C〃平面尸血）.

17.（2021?全國高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的正方形ABCO所在的平面與半圓弧。。所在平面垂直,

M是CO上異于C,。的點.證明：平面_L平面BMC.

M

18.（2020?全國高三專題練習(xí)）己知四棱錐尸—A5CD中，平面尸A5J_平面ABC。，△P45為等邊三

角形，底面ABC。為直角梯形，/公45=90。且A/B=2C￡>,點M為PB的中點,求證：DMPB.

19.（2020?江蘇蘇州市?高三三模）如圖，在三棱柱ABCi-ABC中，AB=AC,D為BC中點、,平面

ABC_L平面3CCM，BCJBQ.

(1)求證：A?！ㄆ矫鍭耳。;

(2)求證：AB.1BC].

參考答案

考向一線面垂直

【例1】3.（2021?江西吉安市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCO為直角梯形，

ADUBC,NADC=9O。，AD=DC=2BC=2,△24。為正三角形，Q為AO的中點，求證：AD1

平面尸8。

【答窠】證明見解析

【解析】為正三角形，。為AD的中點，

?:ADHBC，AD=DC=2BC，。為A力的中點.，四邊形6C。。為平行四邊形，.?.8Q〃CO.

又NADC=900..?.N4Q8=90。，即3Q_LAD.又尸QC|BQ=Q,，4）1,平面PBQ.

【舉一反三】

1.（2321?河南信陽市節(jié)選）如圖所示，四棱錐S—ABCZ）中，AB//CD,AD1DC,

CD=2AD=2AB=2SD=4,SO_L平面A3CO,求證：3C_L平面S3。

M

【答案】證明見解析

【解析】證明：?；ABHCD,AD1DC,AB=AD=2,..BD=2夜,BC=2&，

又?.?CD=4,1.CD2=BD2+BC2,故

又QSO_L平面ABCD,BCu平面ABCD，,BC工SD,

又???SDnBD=D,..BC上平面SBD.

2.（2021?江西贛州市節(jié)選）如圖，已知三棱柱ABC-A/IG的所有棱長均為2,/耳84=（,證明：1

平面ABC

【答案】證明見解析

【解析】證明：如圖取A8中點O,連接用加，CD.

因為四邊形5CG4為菱形，所以qCJ.8a

又因為三棱柱的所有樓長均為2,4B\BA=?

所以AABC和△ABB】是等邊三角形，所以用D_LAB,CD1AB

因為4。，CDu平面&CO,B】DcCD=D,

所以A8_L平面8co

所以4C_LA8,而SGCIAB二B,

所以4cd.平面4BG

3.（2020?山東德州市節(jié)選）如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形A8CD是邊長為2的正方形，"AD為

等邊三角形，EF分別為PC和8￡＞的中點，且EF_LCD,證明：CD_L平面AAO

【答案】證明見解析

【解析】如圖所示，連接AC,由A3CD是邊長為2的正方形，

因為尸是BO的中點，可得AC的中點，

在△PAC中，因為反尸分別是尸CAC的中點，可得EF//PA，

又因為所_LCD，所以PA_LCD,

乂由人O_LCD,且A￡）nAP=A,所以。。_1平面PAD.

考向二面面垂直

【例21（2021洞［南高三期末節(jié)選）如圖，直四棱柱4BCO-AqGA的底面48co為平行四邊形，AD=3,

3

AB=5,cosZBAD=-,BD=DD,,￡是CG的中點，求證：平面。8E_L平面從。9

【答案】證明見解析

【解析】由題意可得BD?=A￡>2+Ag2—2ABxAOcosN8A￡)=16，

所以4。2+3。2=AB?，因此4Q_L8Z)

在直四棱柱ABC?！狝MGO中，

。馬，平面A8CO，成><=平面45?！?gt;,所以O(shè)R_L8D

又因為4?？?。。1=。，AO,OAu平面A。。，所以8。_L平面A。。，

因為BOu平面DBE，所以平面DBE工平面ADD,.

【舉一反三】

1.(2021?河南焦作市節(jié)選)如圖所示，在四棱錐夕—A88中，底面A3。是菱形，B4J_平面ABC。,

點Q為線段PC的中點，求證:平面BOQ_L平面R4C

【答案】證明見解析

【解析】因為四邊形A8CD是菱形，所以

因為RA_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以3。_LPA,

又因為PAcAC=A,所以8。J.平面PAC,

因為u平面BDQ,所以平面BDQ_L平面PAC.

2.（2Q21?山東青島市?高三期末節(jié)選）如圖，在直角梯形ABED中，BEHAD,DE±AD,BC±AD,

AB=4,8E=2jL將矩形8EQC沿BC翻折，使得平面ABC_L平面BCDE,若BC=BE,證明：

平面A5￡）_L平面ACE

【答案】證明見解析

【解析】證明：連接80,因BC=%;所以8￡）_LCE

因為平面A8C_L平面BCDE,平面平面5COE=3C,4。_18（?所以4。_1_平面8。?！?/p>

因為3Du平面BCDE,所以AC_L8￡>

因為ACDCE=C,所以8。J_平面ACE

因為BDu平面ABD，所以平面ABD_L平面ACE

3.（2321?安徽馬鞍山市節(jié)選）如圖，BE,切為圓柱的母線，△ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，必為8C

的中點，證明：平面力&平面8aB

【解析】根據(jù)題意可得，AM2.BC.

又???5E為圓柱的母線，.?.跳:_L平面ABC.

.\BE±AM，QBCIBE=B.

/.AM_L平面BCDE.

又?：AMu平面人，

???平面A臼0J_平面BCDE.

考向三線線垂直

【例3】（2021?江西宜春市?高安中學(xué)節(jié)選）如圖，四棱錐尸一A3C￡＞的底面48C。是邊長為2的菱形,

/84。=60，已知PB=PD=2,PA=瓜,￡為24的中點，求證尸C_L8￡）

【答案】證明見解析

【解析】ACBD交點、為0,連接尸

vABCD是邊長為2的菱形，ACJ_8。,。是AC,3。的中點，

,;PB=PD,;.PO上BD.

又尸Ou平面尸OC,ACu平面POC,POC|4C=O，.?.8力_1_平面P。。，

???尸。＜=平面尸。。，.?.瓦）_1_尸。.

【舉一反三】

1.（2321?江蘇南通市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐A—8CDE中，BC//DE,BC=2DE=2,

BC1CD,尸為A8的中點，BC1EF,求證：ACLBC

E

【答案】證明見解析

【解析】取力。中點明連接掰DM,

，.,￡修分別為力8,AC中點，：.FM"、BC,

=2

DE[^-BCy:.FMl/DE,

.,.四邊形頌V是平行四邊形，「.DM//即，

???EFLBC,，DM工BC,

???CQ_LOM,CZ）,￡>Mu平面力微CDcDM=D,

5。_1_平面⑦M,ACu平面⑦加/.BC±AC：

2.（2020?山東德州市節(jié)選）如圖，已知四棱錐P—ABCO中，底面A8CO為菱形，NA3C=60。,尸A_L

平面ABCD,E,F分別為BC,PA的中點.

（1）求證：AE±PD.

（2）求證：EF//平面par

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

證明：(1)連AC，

QZABC=60%底面A8CO為菱形,

「.△ABC是等邊三角形，

?.?BE=EC,

:.AE±BC,

又BCMAD，

:.AE±AD^

又PA_1_面ABCD,AEu面ABCD,

:.PA±AEf

PAr,AD=A,

A￡_L面PAD,尸。u面PAD，

:.AEYPD

(2)取尸。的中點M，連尸M,MC,

■:PF=FA、

所以尸M/JAR月0=，A。,

22

又EC//LAD,EC=>AD,

22

:.FM//EC,FM=EC,

四邊形FECM是平行四邊形，

:.EF//MC，

又EFe面PCD,MCu面PCD,

;.EF〃面PCD.

3.（2321?山東棗莊市節(jié)選）如圖，四棱錐P—A3C。的側(cè)面△PAD是正三角形，底面A3CO是直角梯

形，ZBAD=ZADC=90，AD=AB=2CD=2,M為BC的中點，求證：PM1AD

p

【答案】（1）證明見解析；（2）立.

7

【解析】證明：取A。中點N,連PN,NM,

因為△24。是正三角形，所以?N八4）.又M是中點，所以NM//AB.

因為/84￡>=90‘，即AB_LAD.所以Mf_LAZ）,因為NMcPN=N,NM、PNu平而PMN,

1.（2021?山東泰安市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐P—A3CO中，底面43co是菱形，440=60。，

PB=PD，尸為PC上一點，過A尸作與8。平行的平面人七陽，分別交P￡）,PB于點E，G,證明：EG_L

平面R4C

p

F

【答案】證明見解析

【解析】證明：連接30,交AC于點0,連接尸0.

???8乃〃平面平面P8Z）n平面gU=EG,BDu平面PBD,，EG〃BD.

:底iEABC。是菱形，???AC_L8O,且。為AC,BD中點,

又PB=PD、：.POtBD,又ACp\P0=0,HC,P0u平面尸AC,

:.BD_L平面PAC,???EG_L平面PAC.

2.（2321?浙江金華市?高三期末節(jié)選）在三棱錐P—A8c中，平面B4C_L平面力比；

PA=P8=A8=Ji4C=JL?。，）證明：PCJ■平面月砥

【答案】證明見解析；

【解析】證明：取4?中點。，連接勿，DC

'：PA=PB，AC=BC^則ABIDC^

而PZ)cDC=Z)./.ABJ■平面PDC,

因為PCu平面POC,故ABJ_PC.

在△ABC中，AB=yfiAC=6BC,故482=4。2+8。2,.?BCJ^AC

又???平面PAC_L平面ABC，且交線為“；BCu平面ABC,

???8C_L平面PAC,因為PCu平面RAC,故3C_LPC.

因為A8c8C=B,??.PC_L平面ABC.

3.（2021?河南焦作市節(jié)選）如圖，四棱錐尸一A8CD的底面為正方形，Q4_L底面ABC。，E,F,H

分別為AB,PC,8C的中點，求證：DE_L平面P4H

【答案】證明見解析

【解析】因為P4_1_底面A8CQ,￡>Eu底面A8CQ,

所以P4_LOE，因為E，H分別為正方形488的邊AB，8c的中點，

AB=DA,BH=AE,?HBA?EAD,

所以放所以NK4H=NADE,由NA￡O+NA0￡=9O

所以NBA”+NAEO=90,所以O(shè)E_LA7/，

因為如u平面PAH，AHu平面PAH,PAnAH=A^

所以O(shè)EL平面PAH.

4.（2321?浙江溫州市節(jié)選）如圖，已知三棱錐P—A3C,PC1AB,△A3C是邊長為的正三角

形，PB=4也，ZP8C=60"點產(chǎn)為線段A尸的中點，證明：PC_L平面A5C

R

【答案】證明見解析

【解析】在△/（7中，PB=A6BC=Z5NPBC=60，

由余花定理可得PC?=24+BC2-2PB?BCcos/PBC=36，/.PC2+BC2=PB1，

:.PC1BC,???PCJ_A3，ABcBC=B，/.PCJ_平面ABC；

5.（2C21?陜西咸陽市?高三一模節(jié)選）如圖，在三棱錐P—A3c中，平面PAC_L平面48C,PCIAC,

BC1AC,AC=PC=2,CB=4,M是BA的中點，求證：PAJ_平面M8C

【答案】證明見解析

【解析】平面R4C_L平面A3C,平面R4CD平面ABCMG3Cu平面ABC,BCLAC,

???8c，平面PAC,

???R4u平面PAC,

??.BC±PA,

VAC=PC,"是抬的中點，

???CM1PA,

-CM^BC=C,CM,8Cu平面M6C,

R4_L平面MHC.

6.（2321?浙江金華市節(jié)選）如圖，在四棱錐尸—A3c。中，底面ABC。為矩形，PD=AB=EBC，

平面PCD_L平面ABC。，若E為PC的中點,求證：。石_L平面尸8c

【答案】證明見解析

【解析】因為平面PCD_L平面A8CQ，且平面尸80平面A3CQ=CO,底面A3CO為矩形，所以

BC1CD,又CDu平面尸￡）C，所以BC_L平面P0C,又OEu平面PDC，所以8CJ_DE；

因為PD=A3=QC,所以△PDC為等腰三角形，〃為PC的中點，所以0￡_LCP，因為CPn8C=C,

8。,?！福?面尸8。，所以。E_L面P3C

7.（2321?西安市鐵一中學(xué)節(jié)選）如圖，在底面為菱形的四棱錐P-48C。中,

PE

ZABC=60°,PA=AC=[,PB=PD=j2,點E在尸。上，且一=2,求證：PA_L平面ABCO

ED

【答案】證明見詳解

【解析】因為底面A8CD是菱形，ZABC=60\

所以AB=AC=AO=1，

在△PA8中，PA=\,PB=y[i，

由尸+=尸82，可得PALAB.

同理，PAIAD^又A5c4）=A所以R4_L平面A5CZ）.

8.（2321?河南高三期末節(jié)選）如圖，直四棱柱A3cO-A4Gol的底面ABC。為平行四邊形,

3

4。=3,43=5,（：05/84。=一，3。=乃。1,￡1是。4的中點，求證：平面。?石JL平面A3R

【答案】證明見解析

【解析】由題意可得BO?=A￡>2+A82—2ABXA￡>COSNBAZ>=16，

所以4。2+3力2=A*,因此AZ）_L8Z），

在直四棱柱ABC。—AgGA中，。01_平面43。。，所以O(shè)R_L8D,

又因為A￡>nOR=。，所以8。1平面A。。，

因為5。u平面OBE，所以平面短8石_1平面4。2.

9.（2321?江蘇南通市節(jié)選）如圖，四面體A8CZ）中，。是5。的中點，點G、￡分別在線段力。和力上,

BE=2EC?AG=2GO，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=V2-

（1）求證：GE〃平面ACO；

（2）求證：平面ABD_L平面BCD.

【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析.

【解析】證明：（1）連接5G并延長，交AD于連接MC,

在△A3。中，。為劭中點，G在力。上，AG=2GO,

2

:.G為△ABD的重心，----二—

GM1

pBE2BGBE

又---——--=——:,GEHMC,

EC1GMEC

???GE（z平面ACO，ACu平面AC。，

???GE〃平面ACO；

（2）在中，0為BD中點、,BD=2,A8=AO=夜,

：?AO1BD/.AO=>)AB2-BO-=1?

在△BCD中，BC=CD=BD=2,。為BD中點,連接OC,則OC=JL

又C4=2,???。42+0。2=02,.??A。_LOC

由AO_LOC，AOIBD^OC[}BD=O,OC,8Ou平面3CQ,

得AOJ■平面BCD,

又AOu平面ABO,

，平面ABO_L平面BCD

10.（2021?山西呂梁市?高三一模節(jié)選）如圖，四棱錐S—ABCZ）中，AB//CD,BCA.CD,側(cè)面SCD

為等邊三角形，AB=BC=4,CD=2,S8=26，求證：BC1SD

【答案】證明見解析

【解析】由已知3C=4,SC=2,SB=2如得,

SB2=BC；SC2,所以NBCS=90。，所以BC_LCS，

又8CJLCD,COnCS=C,所以8C_L平面SC。，

又SOu平面SCD,所以BCLSD.

11.（2021?云南高三期末）如圖所示，在正方體ABCD-AB'CZ>'中，點時為線段377的中點.

（1）求證：OQ'JLAC；

（2）求證：〃平面ACD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）在正方體ABS-AECTT中，

?：DD工AD，DD'ICD,且。?？?力=。，

:."X_L平面ACO，ACu平面ACD.

:.Diy±AC

（2）如圖所示，連接30.交AC；N；連接DN.

B

由題設(shè)得：BN=MD',BN/iMD'，

???四邊形BMDN為平行四邊形.

：.BM//ND,.

又M）'u平面AC。'，平面AC。，

???勵1//平面48'.

12.（2021?江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選）如圖，已知四棱錐S—ABCD,其中AO〃8C,AB±AD，N8CD=45°，

BC=2AD=2,側(cè)面SBC_L底面ABC。，E1是SB上一點，且△EC。是等邊三角形，求證：。七_1平

面加B

【答案】證明見解析

【解析】?:ADHBC、ABYAD.s.ABLBC^

???側(cè)面S3C_L底面A3CO,側(cè)面S8CI底面ABCD=3C,ABI平面ABC。，

AB_L平面SBC,

???CEu平面SBC,:.CE±AB,

如下圖所示，取6c的中點尸，連接。尸、EF，

vBC=2AD,且b為5C的中點，則A￡>=B/，

QBC//AD，貝UAQ//M，所以，四邊形48FQ為平行四邊形，則"7/A3，

.?.OF_L平面S8C,

EF、BCu平面S3C,DF1BC,

???△ECD為等邊三角形,諷EF=」DE2-DF?=yJCD?-DF?=CF=BF，

所以，&BE=ZBEF，ZFCE=ZCEF,

兀

由NFBE+/BEF+NFCE+NCEF=2/BEC=乃，???NBEC=—,即CEJ.S6,

2

-SBC\AB=B,因此，。七_1平面$45；

13.（2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中）如圖，在三棱柱ABC—44G中，平面A/CG，平面ABC,

AB=BC=2,ZACB=3O，M=3,8。1八A。，E為AC的中點.

（1）求證：A4〃平面GE8；

（2）求證：從。，平面。也8.

【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析.

【解析】（1）如下圖所示，連接人與、B。,設(shè)旦。086二尸，連接所,

R

在三棱柱A3C-A&G中，四邊形34CC為平行四邊形，

因為4Cp|BG=尸，在點F為4c的中點，又因為點石為AC的中點，，瓦

???人丹?平面弓硝，成U平面GE3,所以，A8"平面。|所：

（2）\AB=BC^E為AC的中點，.?.BE_LAC，

因為平面A4CG，平面ABC,平面AACGc平面ABC=AC,BEu平面ABC,

.?.8E_L平面4ACG，

,/AjCu平面A}ACC},/.A}C±BE,

vBC,1\C,BECBG二B,A。，平面REB.

14.（2021,陜西咸陽市）在三棱錐A—BCD中，E、尸分別為A￡＞、的中點，且44=皿），平面A8￡）J_

平面AOC.

（1）證明：EF〃平面ABC；

（2）證明：BELCD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）在△AOC中，E、尸分別是A。、OC的中點，.?.17/AC.

?.?EFu平面ABC,ACu平面ABC^瓦7/平面ABC；

（2）在/XABO中，BA=BD,E為AO的中點，.?.鹿_LAD,

又,?,平面A%）_L平面ADC，平面A3Qc平面A￡）C=AO,3Eu平面AB￡＞，

.?.BE_L平面ADC.

15.（2021?全國）已知四棱錐P—ABC。中，平面B48J_平面ABCD,為等邊三角形，底面ABCD

為直角梯形，/943=90。且48=2。。，點M為P8的中點，求證：PBA.DM.

【答案】證明見解析.

【解析】因為△PA3為等邊三角形，M為P3的中點，所以

因為平面K4B_L平面48CD,平面E43c平面A5C￡）=48,DA-LABrD4u平面4BCD，

所以加，平面R4/，

因為PBu平面PA8,所以D4_LPB，

因為DAcAM=A，所以P8J_平面ADM，

因為。Mu平面ADW,所以

16.(2020?全國》如圖，矩形A3C。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是CO上異于。，力的點.

(1)證明：平面AMD_L平面8MC；

(2)若尸點是線段AM的中點，求證：，3C〃平面PBQ.

【答案