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文檔簡(jiǎn)介
考點(diǎn)24空間幾何中的垂直
知識(shí)理解
一.直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義:
直線1與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線1與平面。互相垂直
(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理:
文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言
1。,bua、
判定一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直aC\b=O
定理線都垂直,則該直線與此平面垂直刁ILa
l±b,
ab
性質(zhì)17aLa\
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
定理b±a\
二.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言
判定一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則
屋Mly
定理這兩個(gè)平面垂直
aLp、
性質(zhì)兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直b
…>=>/±a
定理于交線的直線與另一個(gè)平面垂直aC\fi=a
/_Ld,
三.證明線線垂直的思路
f平行四邊形:正方形、菱形、矩形
圖形
三角形:等腰(等邊)三角形一取中點(diǎn)
正余弦定理
邊關(guān)系或邊長(zhǎng)<
勾股逆定理
線面垂直的定義
面面垂直的性質(zhì)
考向分析
考向一線面垂直
【例”3.(2021?江西吉安市?高三期末節(jié)選)如圖,在四棱錐尸—ABCO中,底面A8CO為直角梯形,
。為正三角形,為的中點(diǎn),求證:
AD//BC,ZADC=90°fAD=DC=2BC=2,△FAQAOADL
平面「8。
【舉一反三】
1.(2321?河南信陽(yáng)市節(jié)選)如圖所示,四棱錐S-ABCO中,AB//CD,AD±DC,
CD=2AD=2AB=2SD=4,SD_L平面A8CD,求證:8C_L平面S3。
AB
rr
2.(2021?江西贛州市節(jié)選)如圖,已知三棱柱ABC-A4G的所有棱長(zhǎng)均為2,=證明:B.C1
平面A8C
3.(2020?山東德州市節(jié)選)如圖,四棱錐P—A5CD中,四邊形43CO是邊長(zhǎng)為2的正方形,△小。為
等邊三角形,耳廠分別為PC和8。的中點(diǎn),且b_LCO,證明:C£>_L平面P4O
考向二面面垂直
21(20214可南高三期末節(jié)選)如圖,直四棱柱ABC。-的底面4BCO為平行四邊形,40=3,
3
4B=5,cosZBAD=-tBD=DD.,E是CG的中點(diǎn),求證:平面。3E_L平面
【舉一反三】
【例3】(2021?江西宜春市?高安中學(xué)節(jié)選)如圖,四棱錐尸一ABCD的底面A8c。是邊長(zhǎng)為2的菱形,
N84D=60,已知尸3=尸£>=2,PA=Jd,K為Q4的中點(diǎn),求證PC_L3£>
【舉一反三】
1.(2321?江蘇南通巾?高二期末節(jié)選)如圖,在四棱錐A-8CD石中,BCUDE,BC=2DE=2,
BC1CD,尸為4B的中點(diǎn),BCLEF,求證:AC_L8C
2.(2020?山東德州市節(jié)選)如圖,已知四棱錐P—ABC。中,底面A8CO為菱形,NABC=60。,PA_L
平面ABCD,E,尸分別為BC,PA的中點(diǎn).
(1)求證:AE_LP£>;
(2)求證:EF//平面PCD.
3.(2321?山東棗莊市節(jié)選)如圖,四棱錐尸一A5co的側(cè)面△PAO是正三角形,底面ABCO是直角梯
形,NBA。=ZA£)C=90,AD-AB-2CD-2,M為8C的中點(diǎn),求證:PM±AD
強(qiáng)化練習(xí)
1.(2021?山東泰安市?高三期末節(jié)選)如圖,在四棱錐尸—ABC。中,底面A3CO是菱形,ZBAD=600,
PB=PD,尸為PC上一點(diǎn),過(guò)A尸作與60平行的平面4MG,分別交PO,PB于點(diǎn)E,G,證明:EG1
平面「4c
D
2.(2321?浙江金華市?高三期末節(jié)選)在三棱錐尸-ABC中,平面B4C_L平面小
正4二28=48=>/£4。=&3。,)證明:PCJ■平面4%
3.(2021?河南焦作市節(jié)選)如圖,四棱維P-ABC。的底面為正方形,PA_L底面ABC。,E,F,H
分別為AB,PC,8c的中點(diǎn),求證:DE_L平面B4”
4.(2321?浙江溫州市節(jié)選)如圖,已知三棱錐P—ABC.PCA.AB,是邊長(zhǎng)為2G的正三角
形,PB=4樞,NP8C=6(y,點(diǎn)尸為線段AP的中點(diǎn),證明:PC_L平面A8C
5.(2C21?陜西咸陽(yáng)市?高三一模節(jié)選)如圖,在三棱錐P-48C中,平面B4C_L平面ABC,PC±AC,
BC1AC,AC=PC=2,CB=4,M是HA的中點(diǎn),求證:“A_L平面MBC
6.(2321?浙江金華市節(jié)選)如圖,在四棱錐尸一A5C。中,底面A8CD為矩形,PD=AB=6BC,
平面PCO_L平面ABCO,若£為尸。的中點(diǎn),求證:OE_L平面PBC
7.(2321?西安市鐵一中學(xué)節(jié)選)如圖,在底面為菱形的四棱錐ABC。中,
PE
NA8C=60°,PA=AC=l,尸8=尸。二及,點(diǎn)E在尸力上,且二二2,求證:PA_L平面ABCD
ED
8.(2321?河南高三期末節(jié)選)如圖,直四棱柱A6c。-A4G。的底面ABCO為平行四邊形,
3
4。=3,48=5工05/區(qū)4。=1,3£>=D口,七是。。1的中點(diǎn),求證:平面QBEJ"平面4DR
9.(2321?江蘇南通市節(jié)選)如圖,四面體48a>中,。是3。的中點(diǎn),點(diǎn)G、£分別在線段力。和回上,
BE=2EC,AG=2GO,CA=CB=CD=BD=2,A8=AO="
(2)求證:平面A3。_L平面BCD.
10.(2021?山西呂梁市?高三一模節(jié)選)如圖,四棱錐S—ABCZ)中,AB//CD,BC1CD,側(cè)面SCD
為等邊三角形,AB=BC=4,8=2,SB=25求證:BCLSD
11.(2021?云南高三期末)如圖所示,在正方體A3CD—AECZ)'中,點(diǎn)M為線段B77的中點(diǎn).
(1)求證:DD'-LAC;
(2)求證:3知//平面人。。'.
12.(2021?江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選)如圖,己知四棱錐S—ABCD,其中AO〃6C,AB±AD,N8CO=45',
BC=2AD=2,側(cè)面SBC_L底面48CO,E是SB上一點(diǎn),且△反。是等邊三角形,求證:CE_L平
面S4B
13.(2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中)如圖,在三棱柱中,平面A4CG_L平面ABC,
A
45=BC=2,NACB=3O‘,AA,=3,BCXA^C,E為AC的中點(diǎn).
A
(1)求證:44〃平面GE3;
(2)求證:AC_L平面CEB.
14.(2021?陜西咸陽(yáng)市)在三棱錐A-BCD中,E、尸分別為A。、OC的中點(diǎn),且叢=%>,平面A8OJ_
平面從DC.
(1)證明:EF〃平面ABC;
(2)證明:BELCD.
15.(2021?全國(guó))已知四棱錐尸一ABCD中,平面PABJ_平面ABCD,APAB為等邊三角形,底面ABCD
為直角梯形,ND48=90。且AB=2CQ,點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)、,求證:PBLDM.
p.
16.(2020?全國(guó))如圖,矩形ABC。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直,M是CO上異于C,D的點(diǎn).
(1)證明:平面平面3MC;
(2)若P點(diǎn)是線段AM的中點(diǎn),求證:,V/C〃平面尸血).
17.(2021?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCO所在的平面與半圓弧。。所在平面垂直,
M是CO上異于C,。的點(diǎn).證明:平面_L平面BMC.
M
18.(2020?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))己知四棱錐尸—A5CD中,平面尸A5J_平面ABC。,△P45為等邊三
角形,底面ABC。為直角梯形,/公45=90。且A/B=2C£>,點(diǎn)M為PB的中點(diǎn),求證:DMPB.
19.(2020?江蘇蘇州市?高三三模)如圖,在三棱柱ABCi-ABC中,AB=AC,D為BC中點(diǎn)、,平面
ABC_L平面3CCM,BCJBQ.
(1)求證:A。〃平面A耳。;
(2)求證:AB.1BC].
參考答案
考向一線面垂直
【例1】3.(2021?江西吉安市?高三期末節(jié)選)如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCO為直角梯形,
ADUBC,NADC=9O。,AD=DC=2BC=2,△24。為正三角形,Q為AO的中點(diǎn),求證:AD1
平面尸8。
【答窠】證明見(jiàn)解析
【解析】為正三角形,。為AD的中點(diǎn),
?:ADHBC,AD=DC=2BC,。為A力的中點(diǎn).,四邊形6C。。為平行四邊形,.?.8Q〃CO.
又NADC=900..?.N4Q8=90。,即3Q_LAD.又尸QC|BQ=Q,,4)1,平面PBQ.
【舉一反三】
1.(2321?河南信陽(yáng)市節(jié)選)如圖所示,四棱錐S—ABCZ)中,AB//CD,AD1DC,
CD=2AD=2AB=2SD=4,SO_L平面A3CO,求證:3C_L平面S3。
M
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明:?;ABHCD,AD1DC,AB=AD=2,..BD=2夜,BC=2&,
又?.?CD=4,1.CD2=BD2+BC2,故
又QSO_L平面ABCD,BCu平面ABCD,,BC工SD,
又???SDnBD=D,..BC上平面SBD.
2.(2021?江西贛州市節(jié)選)如圖,已知三棱柱ABC-A/IG的所有棱長(zhǎng)均為2,/耳84=(,證明:1
平面ABC
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明:如圖取A8中點(diǎn)O,連接用加,CD.
因?yàn)樗倪呅?CG4為菱形,所以qCJ.8a
又因?yàn)槿庵乃袠情L(zhǎng)均為2,4B\BA=?
所以AABC和△ABB】是等邊三角形,所以用D_LAB,CD1AB
因?yàn)?。,CDu平面&CO,B】DcCD=D,
所以A8_L平面8co
所以4C_LA8,而SGCIAB二B,
所以4cd.平面4BG
3.(2020?山東德州市節(jié)選)如圖,四棱錐P—ABCD中,四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為2的正方形,"AD為
等邊三角形,EF分別為PC和8£>的中點(diǎn),且EF_LCD,證明:CD_L平面AAO
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】如圖所示,連接AC,由A3CD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
因?yàn)槭荁O的中點(diǎn),可得AC的中點(diǎn),
在△PAC中,因?yàn)榉词謩e是尸CAC的中點(diǎn),可得EF//PA,
又因?yàn)樗鵢LCD,所以PA_LCD,
乂由人O_LCD,且A£)nAP=A,所以。。_1平面PAD.
考向二面面垂直
【例21(2021洞[南高三期末節(jié)選)如圖,直四棱柱4BCO-AqGA的底面48co為平行四邊形,AD=3,
3
AB=5,cosZBAD=-,BD=DD,,£是CG的中點(diǎn),求證:平面。8E_L平面從。9
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】由題意可得BD?=A£>2+Ag2—2ABxAOcosN8A£)=16,
所以4。2+3。2=AB?,因此4Q_L8Z)
在直四棱柱ABC。—AMGO中,
。馬,平面A8CO,成><=平面45。£>,所以O(shè)R_L8D
又因?yàn)?。口。。1=。,AO,OAu平面A。。,所以8。_L平面A。。,
因?yàn)锽Ou平面DBE,所以平面DBE工平面ADD,.
【舉一反三】
1.(2021?河南焦作市節(jié)選)如圖所示,在四棱錐夕—A88中,底面A3。是菱形,B4J_平面ABC。,
點(diǎn)Q為線段PC的中點(diǎn),求證:平面BOQ_L平面R4C
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛8CD是菱形,所以
因?yàn)镽A_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以3。_LPA,
又因?yàn)镻AcAC=A,所以8。J.平面PAC,
因?yàn)閡平面BDQ,所以平面BDQ_L平面PAC.
2.(2Q21?山東青島市?高三期末節(jié)選)如圖,在直角梯形ABED中,BEHAD,DE±AD,BC±AD,
AB=4,8E=2jL將矩形8EQC沿BC翻折,使得平面ABC_L平面BCDE,若BC=BE,證明:
平面A5£)_L平面ACE
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明:連接80,因BC=%;所以8£)_LCE
因?yàn)槠矫鍭8C_L平面BCDE,平面平面5COE=3C,4。_18(?所以4。_1_平面8。。£
因?yàn)?Du平面BCDE,所以AC_L8£>
因?yàn)锳CDCE=C,所以8。J_平面ACE
因?yàn)锽Du平面ABD,所以平面ABD_L平面ACE
3.(2321?安徽馬鞍山市節(jié)選)如圖,BE,切為圓柱的母線,△ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形,必為8C
的中點(diǎn),證明:平面力&平面8aB
【解析】根據(jù)題意可得,AM2.BC.
又???5E為圓柱的母線,.?.跳:_L平面ABC.
.\BE±AM,QBCIBE=B.
/.AM_L平面BCDE.
又?:AMu平面人,
???平面A臼0J_平面BCDE.
考向三線線垂直
【例3】(2021?江西宜春市?高安中學(xué)節(jié)選)如圖,四棱錐尸一A3C£>的底面48C。是邊長(zhǎng)為2的菱形,
/84。=60,已知PB=PD=2,PA=瓜,£為24的中點(diǎn),求證尸C_L8£)
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】ACBD交點(diǎn)、為0,連接尸
vABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,ACJ_8。,。是AC,3。的中點(diǎn),
,;PB=PD,;.PO上BD.
又尸Ou平面尸OC,ACu平面POC,POC|4C=O,.?.8力_1_平面P。。,
???尸。<=平面尸。。,.?.瓦)_1_尸。.
【舉一反三】
1.(2321?江蘇南通市?高三期末節(jié)選)如圖,在四棱錐A—8CDE中,BC//DE,BC=2DE=2,
BC1CD,尸為A8的中點(diǎn),BC1EF,求證:ACLBC
E
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】取力。中點(diǎn)明連接掰DM,
,.,£修分別為力8,AC中點(diǎn),:.FM"、BC,
=2
DE[^-BCy:.FMl/DE,
.,.四邊形頌V是平行四邊形,「.DM//即,
???EFLBC,,DM工BC,
???CQ_LOM,CZ),£>Mu平面力微CDcDM=D,
5。_1_平面⑦M(jìn),ACu平面⑦加/.BC±AC:
2.(2020?山東德州市節(jié)選)如圖,已知四棱錐P—ABCO中,底面A8CO為菱形,NA3C=60。,尸A_L
平面ABCD,E,F分別為BC,PA的中點(diǎn).
(1)求證:AE±PD.
(2)求證:EF//平面par
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
證明:(1)連AC,
QZABC=60%底面A8CO為菱形,
「.△ABC是等邊三角形,
?.?BE=EC,
:.AE±BC,
又BCMAD,
:.AE±AD^
又PA_1_面ABCD,AEu面ABCD,
:.PA±AEf
PAr,AD=A,
A£_L面PAD,尸。u面PAD,
:.AEYPD
(2)取尸。的中點(diǎn)M,連尸M,MC,
■:PF=FA、
所以尸M/JAR月0=,A。,
22
又EC//LAD,EC=>AD,
22
:.FM//EC,FM=EC,
四邊形FECM是平行四邊形,
:.EF//MC,
又EFe面PCD,MCu面PCD,
;.EF〃面PCD.
3.(2321?山東棗莊市節(jié)選)如圖,四棱錐P—A3C。的側(cè)面△PAD是正三角形,底面A3CO是直角梯
形,ZBAD=ZADC=90,AD=AB=2CD=2,M為BC的中點(diǎn),求證:PM1AD
p
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)立.
7
【解析】證明:取A。中點(diǎn)N,連PN,NM,
因?yàn)椤?4。是正三角形,所以?N八4).又M是中點(diǎn),所以NM//AB.
因?yàn)?84£>=90‘,即AB_LAD.所以Mf_LAZ),因?yàn)镹McPN=N,NM、PNu平而PMN,
1.(2021?山東泰安市?高三期末節(jié)選)如圖,在四棱錐P—A3CO中,底面43co是菱形,440=60。,
PB=PD,尸為PC上一點(diǎn),過(guò)A尸作與8。平行的平面人七陽(yáng),分別交P£),PB于點(diǎn)E,G,證明:EG_L
平面R4C
p
F
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明:連接30,交AC于點(diǎn)0,連接尸0.
???8乃〃平面平面P8Z)n平面gU=EG,BDu平面PBD,,EG〃BD.
:底iEABC。是菱形,???AC_L8O,且。為AC,BD中點(diǎn),
又PB=PD、:.POtBD,又ACp\P0=0,HC,P0u平面尸AC,
:.BD_L平面PAC,???EG_L平面PAC.
2.(2321?浙江金華市?高三期末節(jié)選)在三棱錐P—A8c中,平面B4C_L平面力比;
PA=P8=A8=Ji4C=JL?。,)證明:PCJ■平面月砥
【答案】證明見(jiàn)解析;
【解析】證明:取4?中點(diǎn)。,連接勿,DC
':PA=PB,AC=BC^則ABIDC^
而PZ)cDC=Z)./.ABJ■平面PDC,
因?yàn)镻Cu平面POC,故ABJ_PC.
在△ABC中,AB=yfiAC=6BC,故482=4。2+8。2,.?BCJ^AC
又???平面PAC_L平面ABC,且交線為“;BCu平面ABC,
???8C_L平面PAC,因?yàn)镻Cu平面RAC,故3C_LPC.
因?yàn)锳8c8C=B,??.PC_L平面ABC.
3.(2021?河南焦作市節(jié)選)如圖,四棱錐尸一A8CD的底面為正方形,Q4_L底面ABC。,E,F,H
分別為AB,PC,8C的中點(diǎn),求證:DE_L平面P4H
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)镻4_1_底面A8CQ,£>Eu底面A8CQ,
所以P4_LOE,因?yàn)镋,H分別為正方形488的邊AB,8c的中點(diǎn),
AB=DA,BH=AE,?HBA?EAD,
所以放所以NK4H=NADE,由NA£O+NA0£=9O
所以NBA”+NAEO=90,所以O(shè)E_LA7/,
因?yàn)槿鐄平面PAH,AHu平面PAH,PAnAH=A^
所以O(shè)EL平面PAH.
4.(2321?浙江溫州市節(jié)選)如圖,已知三棱錐P—A3C,PC1AB,△A3C是邊長(zhǎng)為的正三角
形,PB=4也,ZP8C=60"點(diǎn)產(chǎn)為線段A尸的中點(diǎn),證明:PC_L平面A5C
R
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】在△/(7中,PB=A6BC=Z5NPBC=60,
由余花定理可得PC?=24+BC2-2PB?BCcos/PBC=36,/.PC2+BC2=PB1,
:.PC1BC,???PCJ_A3,ABcBC=B,/.PCJ_平面ABC;
5.(2C21?陜西咸陽(yáng)市?高三一模節(jié)選)如圖,在三棱錐P—A3c中,平面PAC_L平面48C,PCIAC,
BC1AC,AC=PC=2,CB=4,M是BA的中點(diǎn),求證:PAJ_平面M8C
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】平面R4C_L平面A3C,平面R4CD平面ABCMG3Cu平面ABC,BCLAC,
???8c,平面PAC,
???R4u平面PAC,
??.BC±PA,
VAC=PC,"是抬的中點(diǎn),
???CM1PA,
-CM^BC=C,CM,8Cu平面M6C,
R4_L平面MHC.
6.(2321?浙江金華市節(jié)選)如圖,在四棱錐尸—A3c。中,底面ABC。為矩形,PD=AB=EBC,
平面PCD_L平面ABC。,若E為PC的中點(diǎn),求證:。石_L平面尸8c
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)槠矫鍼CD_L平面A8CQ,且平面尸80平面A3CQ=CO,底面A3CO為矩形,所以
BC1CD,又CDu平面尸£)C,所以BC_L平面P0C,又OEu平面PDC,所以8CJ_DE;
因?yàn)镻D=A3=QC,所以△PDC為等腰三角形,〃為PC的中點(diǎn),所以0£_LCP,因?yàn)镃Pn8C=C,
8。,。「<=面尸8。,所以。E_L面P3C
7.(2321?西安市鐵一中學(xué)節(jié)選)如圖,在底面為菱形的四棱錐P-48C。中,
PE
ZABC=60°,PA=AC=[,PB=PD=j2,點(diǎn)E在尸。上,且一=2,求證:PA_L平面ABCO
ED
【答案】證明見(jiàn)詳解
【解析】因?yàn)榈酌鍭8CD是菱形,ZABC=60\
所以AB=AC=AO=1,
在△PA8中,PA=\,PB=y[i,
由尸+=尸82,可得PALAB.
同理,PAIAD^又A5c4)=A所以R4_L平面A5CZ).
8.(2321?河南高三期末節(jié)選)如圖,直四棱柱A3cO-A4Gol的底面ABC。為平行四邊形,
3
4。=3,43=5,(:05/84。=一,3。=乃。1,£1是。4的中點(diǎn),求證:平面。?石JL平面A3R
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】由題意可得BO?=A£>2+A82—2ABXA£>COSNBAZ>=16,
所以4。2+3力2=A*,因此AZ)_L8Z),
在直四棱柱ABC。—AgGA中,。01_平面43。。,所以O(shè)R_L8D,
又因?yàn)锳£>nOR=。,所以8。1平面A。。,
因?yàn)?。u平面OBE,所以平面短8石_1平面4。2.
9.(2321?江蘇南通市節(jié)選)如圖,四面體A8CZ)中,。是5。的中點(diǎn),點(diǎn)G、£分別在線段力。和力上,
BE=2EC?AG=2GO,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2-
(1)求證:GE〃平面ACO;
(2)求證:平面ABD_L平面BCD.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析:(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】證明:(1)連接5G并延長(zhǎng),交AD于連接MC,
在△A3。中,。為劭中點(diǎn),G在力。上,AG=2GO,
2
:.G為△ABD的重心,----二—
GM1
pBE2BGBE
又---——--=——:,GEHMC,
EC1GMEC
???GE(z平面ACO,ACu平面AC。,
???GE〃平面ACO;
(2)在中,0為BD中點(diǎn)、,BD=2,A8=AO=夜,
:?AO1BD/.AO=>)AB2-BO-=1?
在△BCD中,BC=CD=BD=2,。為BD中點(diǎn),連接OC,則OC=JL
又C4=2,???。42+0。2=02,.??A。_LOC
由AO_LOC,AOIBD^OC[}BD=O,OC,8Ou平面3CQ,
得AOJ■平面BCD,
又AOu平面ABO,
,平面ABO_L平面BCD
10.(2021?山西呂梁市?高三一模節(jié)選)如圖,四棱錐S—ABCZ)中,AB//CD,BCA.CD,側(cè)面SCD
為等邊三角形,AB=BC=4,CD=2,S8=26,求證:BC1SD
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】由已知3C=4,SC=2,SB=2如得,
SB2=BC;SC2,所以NBCS=90。,所以BC_LCS,
又8CJLCD,COnCS=C,所以8C_L平面SC。,
又SOu平面SCD,所以BCLSD.
11.(2021?云南高三期末)如圖所示,在正方體ABCD-AB'CZ>'中,點(diǎn)時(shí)為線段377的中點(diǎn).
(1)求證:OQ'JLAC;
(2)求證:〃平面ACD.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)在正方體ABS-AECTT中,
?:DD工AD,DD'ICD,且。。口4力=。,
:."X_L平面ACO,ACu平面ACD.
:.Diy±AC
(2)如圖所示,連接30.交AC;N;連接DN.
B
由題設(shè)得:BN=MD',BN/iMD',
???四邊形BMDN為平行四邊形.
:.BM//ND,.
又M)'u平面AC。',平面AC。,
???勵(lì)1//平面48'.
12.(2021?江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選)如圖,已知四棱錐S—ABCD,其中AO〃8C,AB±AD,N8CD=45°,
BC=2AD=2,側(cè)面SBC_L底面ABC。,E1是SB上一點(diǎn),且△EC。是等邊三角形,求證:。七_(dá)1平
面加B
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】?:ADHBC、ABYAD.s.ABLBC^
???側(cè)面S3C_L底面A3CO,側(cè)面S8CI底面ABCD=3C,ABI平面ABC。,
AB_L平面SBC,
???CEu平面SBC,:.CE±AB,
如下圖所示,取6c的中點(diǎn)尸,連接。尸、EF,
vBC=2AD,且b為5C的中點(diǎn),則A£>=B/,
QBC//AD,貝UAQ//M,所以,四邊形48FQ為平行四邊形,則"7/A3,
.?.OF_L平面S8C,
EF、BCu平面S3C,DF1BC,
???△ECD為等邊三角形,諷EF=」DE2-DF?=yJCD?-DF?=CF=BF,
所以,&BE=ZBEF,ZFCE=ZCEF,
兀
由NFBE+/BEF+NFCE+NCEF=2/BEC=乃,???NBEC=—,即CEJ.S6,
2
-SBC\AB=B,因此,。七_(dá)1平面$45;
13.(2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中)如圖,在三棱柱ABC—44G中,平面A/CG,平面ABC,
AB=BC=2,ZACB=3O,M=3,8。1八A。,E為AC的中點(diǎn).
(1)求證:A4〃平面GE8;
(2)求證:從。,平面。也8.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析:(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)如下圖所示,連接人與、B。,設(shè)旦。086二尸,連接所,
R
在三棱柱A3C-A&G中,四邊形34CC為平行四邊形,
因?yàn)?Cp|BG=尸,在點(diǎn)F為4c的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)石為AC的中點(diǎn),,瓦
???人丹?平面弓硝,成U平面GE3,所以,A8"平面。|所:
(2)\AB=BC^E為AC的中點(diǎn),.?.BE_LAC,
因?yàn)槠矫鍭4CG,平面ABC,平面AACGc平面ABC=AC,BEu平面ABC,
.?.8E_L平面4ACG,
,/AjCu平面A}ACC},/.A}C±BE,
vBC,1\C,BECBG二B,A。,平面REB.
14.(2021,陜西咸陽(yáng)市)在三棱錐A—BCD中,E、尸分別為A£>、的中點(diǎn),且44=皿),平面A8£)J_
平面AOC.
(1)證明:EF〃平面ABC;
(2)證明:BELCD.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)在△AOC中,E、尸分別是A。、OC的中點(diǎn),.?.17/AC.
?.?EFu平面ABC,ACu平面ABC^瓦7/平面ABC;
(2)在/XABO中,BA=BD,E為AO的中點(diǎn),.?.鹿_LAD,
又,?,平面A%)_L平面ADC,平面A3Qc平面A£)C=AO,3Eu平面AB£>,
.?.BE_L平面ADC.
15.(2021?全國(guó))已知四棱錐P—ABC。中,平面B48J_平面ABCD,為等邊三角形,底面ABCD
為直角梯形,/943=90。且48=2。。,點(diǎn)M為P8的中點(diǎn),求證:PBA.DM.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】因?yàn)椤鱌A3為等邊三角形,M為P3的中點(diǎn),所以
因?yàn)槠矫鍷4B_L平面48CD,平面E43c平面A5C£)=48,DA-LABrD4u平面4BCD,
所以加,平面R4/,
因?yàn)镻Bu平面PA8,所以D4_LPB,
因?yàn)镈AcAM=A,所以P8J_平面ADM,
因?yàn)椤u平面ADW,所以
16.(2020?全國(guó)》如圖,矩形A3C。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直,M是CO上異于。,力的點(diǎn).
(1)證明:平面AMD_L平面8MC;
(2)若尸點(diǎn)是線段AM的中點(diǎn),求證:,3C〃平面PBQ.
【答案
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