第五幸函教的應用（二）

4o5o3翦數模型的應用

教材分析

本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書教學必修1本（A

版J》的第五章的4。5.3的教模型的應用。函數模型及其應用是

中學重要內余之一，又是教學與生活實踐相互銜接的樞紐，特別

在應用意識口叁加深的今天，舀數模型的應用實質是揭示了客

現世界中量的相互依存有互有制約的關系，因而函數模型的應

用舉例有著不可譽代的重要位置，又有重要的現實意義。

本節課要求學生利用給定的函數模型或建立函數模型將決實

際問題，并對給定的函數模型遂行簡單的分析評價，發展學生教

學建模、教學直觀、教學抽象、邏輯推理的核心素養。

教學目標與核心素養

課程q標學科素養

lo能建立函數模型解決ao教學抽象：由實際問題

實際問題、建立困教模型；

2o了將擬合函數模型并

b.il幫推理:選擇合適的函

解決實際問題、

教模型；

3.通過本節內家的學習，

使學生認識函數模型的Co教學運算：運用函數模

作用，提高學生教學建型解決實際問題；

模，數據分析的能力.d.直觀想象:運用函數圖像

分折問題；

eo數學建模：由實際問題建

立的模型；

f.數據分析:通過數據分析

對應的函數模型；

教學重難點

教學過程設討意

教學重點：

圖

利用給定

核心教

的身教模

學素養

型或建立

確定性函

教模型解決實際問題、

教學唯點：利用給定的函數模型或建立確定性的數模型解決實

際問題，并對給定的函數模型進行簡單的分析評價、

課前段備

多媒體

教學過程

目標

(一)創設問題情境

通過對

1、常見函數模型

常見函

⑴一次

y=kx+b（k,b為暗教模型

的數模

的回顧，

教，存0）

型

提出新

(2)二

y=ax1+bx+c（a,b,c為的問題，

次函教

常常教，存0）提出運

模擬用函教

用

(3)指

函y=bax+c（a,b,c為常數,模型分

教函教析解決

教厚0,〃>0且存1）

模型實際問

模

(4)對教題，培養

型y-mlog?x+n（m,a.n為

的數模和發展

常教,m#056z>0且存1）

型數據分

(5)奉

y=6+b（a.b為常教，析、教學

的數模建模和

。#0）

型教學抽

2o建立函數模型斛決問題的基本過程象、直觀

想象的

核心素

收集數據

畫散點圖

型I

用函數模型解釋實際問題

（二）問題探究

我們知道,函數是描述客觀世界變化規

律的教學模型，不同的變化規律需要用

不同的函數模型來刻畫、面臨一個實際

問題，該如何選擇恰當的法教模型來刻

畫它呢?

典例解析

例3.人。問題是當今世界各國普遍關注

通過

的問題.認識人。數量的變化規律，

對具體

可以為制定一系列相關政策提供依

問題的

據、早在1978年，美國經濟學家馬

分析建

東薩斯（T.RoMalthas,1766-1834J

模，解模

就提出了自然狀志下的人口增長模型

的過程，

y=y。/，其中t表示經過的時間，火表

發展學

示t=0時的人口數，i?表示人口的年

生教學

平均增長率、下表是1950~1959年我

建模、教

國的人。數據咨料據分析、

逐輯推

年份195019521953195419551956

19511957理，直觀

人口數/萬551965630057482587966026661456628286456：想象、教

(1J如果以各年人口增長率的平均值作學抽象、

為我國這一時期的人。增長率(精確到教學運

0.0001算等核

用馬東薩斯人。增長模型建立我國在這心素養；

一時期的具體人口增長模型，并檢驗所

得模型與實

際人。數據是否相符；

(2)如果按上表的增長趨勢,那么

大約在哪一年我國的人口數達到13

億？

分析：用馬東薩斯人口增長模型建立具

體人口增長模型，就是要確定其中的初

始量

尢和年平均增長率八

斛：(1)設1951~1959年我國各年的

人口增長率分別為rltr2,...,r9?由

55196(1+6)=56300,

可得1951年的人口增長率7c0。0200、

同理可得，后0.0210,小0.0229,

行0.0250,r5-0o0197,后0。0223,r尸0。

0276,r尸0.0222,偽=0。0154.

于是,1951—1959年期間，我國人

口的年平均增長率為:r-(r1什2+,,%)+9-0.0221

令行55196,則我國在1950?1959年期

間的人口增長模型為y=55196e00221t,t€N、

根據表中的數據畫出散點圖，并畫出

函數y=55196〃。221，(t€N)

y

70000

65000-

60000

55000

50000I

0(I23456789~x

的圖象由圖可以看出，所得模型與通過

1950?1959年的實際人口數據基本吻對具體

問題的

合、

事實上，我國1989年的人口數為分析建

11.27億，直到2005年才突破13模，解模

億、對由的過程，

函數模型所得的結果與實際情況不符，發展學

你有何看法?生教學

因為人口基數較大，人口增長過建模、教

快，與我國經濟發展水平產生了較大矛據分析、

盾,所以我國從20世紀70年代邏輯推

逐步實選了討劃生育政策.因此這一階理，直觀

段的人口增長條件并不符合馬東薩斯人想象、教

口增長模型的條件，自然就出現了依模學抽象、

型得到的結果教學運

與實際不符的情況、算等核

例4.2010年，考古學彖對葭諸古城水利心素養；

系統中一條水壩的建筑材料上提取的草

莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳

14的周留量約為初始量的55o2%,能

否以此推斷此水壩大概是什么年代建成

的？

分析：因為死亡生物機體內碳74的

初始量按確定的衰城率衰城，屬于指教

減,所以&曲=ka*(k€R,??BL

#0；a>0f且Q#7)建立教學

模型、

斛：設樣本中碳/4的初始量為k,

衰臧率為P(0<p<1),經過工年后,

戌余量為y、根據問題的實際意義，

可選擇如下模型：y=k(l-p)xfkWR,且

kR0；0<P<1;x>0)、由碳

/4的半衰期為5730年，得k(一

P嚴弓k,于是(1-陽=飛,所以y=

k仁忸

由樣本中碳14的戲余量約為初始量的

55。2%可知，即0.552k=k(飛尸,

解得X=log573羋。.552、由計算工具得

E912、

因為2010年之前的4912年是公元,

2902年,

所以推斷此水壩大概是公元南2902年

建成的、

歸納總結

［規律方法］已知函數模型斛決實際問

題，往往給出的函數解析式含有參數，

需要將題中的數據代入函數模型，求得

函數模型中的參數，再將問題轉化為己

知舀教解析式求函數值或自變量的值

典例解析

例5。假設你有一免咨金用于投資，現有

三種投濟方案供你選擇，這三種方嚎的

回報如下:

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每

天比前一天多回報10元；

方嗓三：第一天回報0.4元,以后每天

的回報比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方嚎？

①問題中涉及鄴些數量關余？

投資天數，回報金額

②如何用函數描述這些數量關系？

分析：我們可以先建立三種投咨方案所

對應的函數模型,再通過比較它們的增

長情況,為選擇投資方嚎提供依據

野：設笫x天所得回報是y元,則方

案一可以用舀數y=40ON*）進行描

述；

方案二可以用函數y=10x（、wN*）進行描

述；

方案三可以用函數y=0.4x2x~\xeN.）

此行描述.三個模型中，第一個是靠

教函數,后兩個都是增困數.

要對三個方案作出選擇,就要對它們

的增長情況進行分析.

我們先用信息技術計算一下三種方案所

得回報的增長情況

三種方米每天回報表

方案一方案二方51民三

X

y增加量/元.y增加量/元y增加量/元

140100.4

240020100.80.4

R40030101.R0.R

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

740701025.612.8

840801051.225.6

94009010102.451.2

1040010()1()204.8102.4

??????.??……??????

3040300:214748364.8107374182.1

y

y=0.4x2X-

140?

120-；，卬=10x

iJ

KX)■

80?

60■

v=40

40?

20-

*

.▲—4-Y**■?1

~7)'24681012x

方案一的舀教是常教舀

教，方案二、方案三的函數都是增函

數，但方案三的函數與

方案二的舀數的增長情況很不相同、可

以看到，盡管方案一、方案二在第/

天所得回報分別是方案三的100僖和25

售，但它們的增長量固定不變，而方

案三是“指教增長”，

其“增長量”是成僖增加的,從第7

天開始,方案三比其他兩個方案增長得

快得多，這種增長速度是方案一、方

案二所無法企及的、從每天所得回報

看，

在第7?3天,方案一最多；

在笫4天,方案一和方案二一樣

多,方案三最少；

在第5?8天，方案二最多；第9天

開始，方嗓三比其他兩個方

案所得回報多得多，到第3。天，所得

回報已超過2億元.

下面再看累計的回報數.通過信息技術

列表如下

天數

方案

1234567891011

—408012016020024028)320360400440

二10306010015021028)360450550660

三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

投賽1?6天，應選擇方案一；

投去7天，應選擇方素一或方案二；

投資8?10天，應選擇方案二；

投資11天（含H夭）以上,應選擇方案

三。

假如某公司每天給你投濟1萬元，共

投密30天。公司要求你給他的回報是：

第一天給公司1分錢，第二天給公司2

分錢，以后每天給的錢都是的一天的2

得，共30天，你認為這樣的交易對你有利

嗎？

籌簽如下：公司30天內為你的總投資為：

30萬元

你30天內給公司的回報為：

2

0.01+0.01x2+0o01x2+...+0o

29.

01x2=10737418.23^10741萬元）

上述例子只是一種假想情況,但從中

可以看到,不同的舀數增長模型,增

長變化存在很大差異

例6.某公司為了實現1000萬元利潤的

目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎

勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按

銷售利潤進行獎勵,且獎金y（單傳：萬

元）陵銷售利潤x（單伉：萬元）的增加而

增加，但獎金總數不超過5萬元，同時

獎金不超過利潤的25%。現有三個獎勵

X

模型：y=0o25x,y=log7x+l,y=lo002,

其中哪個模型能符合公司的要求？

①例6涉及了哪幾類法教模型？

一次的數，對數型曲教，指教的救。

②你能用教學語言描述符合公司獎勵方

案的條件嗎？

分析：本例提供了三個不同增長方式的

獎勵模型,捺要求選擇其中一個的數作

為刻也

獎金總數與銷售利潤的關系,由于公司

總的利泗目標為1000萬元，所以銷售

人員的銷售利潤一般不會超過公司總的

利潤，于是，只需在區間no,1000]

上，尋找并驗證所選舀數是否滿足兩條

要求：第一,獎金總數不超過5萬

元，即最大值不大于5;

第二，獎金不超過利潤的25%,即

Y<0.25X、不妨先畫出函數圖象，通過

觀察心教圖象,得到初步的結論，再

通過具體計算，確認結果、

解：借助信息技術也出函數y=5,

x

y=0o25x,y=log7x+l,y=1.002的圖

象、觀察圖象發現，在區間[10,

X

1000J上,模型y=0o25x,y=lo002

的圖象都有一部分在直線y=5的上

方，只有模型y=log7x+l的圖象始終在

y=5的下方，這說明只有按模型

y=log7x+l遂行獎勵時才符合公司的要

求、

下面通過計算確認上述判斷、

先計算哪個模型的獎金總數不超過5

萬元、

對于模型y=0o25x,它在區間［10,

1000］上單調逅增，

而且當x=2。時,y=5,

因此，當x>20時，y>5,所

以該模型不符合要求；

x

對于模型，y=l。002,由函數圖象,

并利用信息技術，可知在區間(805,

806)

內有一個點％滿足1.002*。=5,由于它

在區間no,woo］上單調遹增，

因此當x>“。時,y>5,所以該模

型也不符合要求；

對于模型y=log7x+l,它在區間［10,

1000]上單調遹增，而且當X=1000

時，y=log71000+1-4o55<5,所以

它符合獎金總數不超過5萬元的要

求.

再討算按模型y=log7x+l獎勵時,獎金

是否不超過利潤的25%,

即當x€no,1000]時,是否有y

<0.25x,

即y=log7x+l<0o25x成立、

令f(xj=y=log7x+l——Oo25x,x€

no,10007,利用信息技術畫出它

的圖象

由圖象可知函數f(x)在區間「10,1000]

上單調遹城,

因此f(x)0f(lO戶一0.3167Vo,

即y=log7x+lv0.25x、所以，當x€

no,1000]M，

y<0.25x,說明按模型y=log7x+l獎

勵，獎金不會超過利潤的25%、綜上

所述，模型y=log7x+l確實能符合公司

要求、

［規律方法］

自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什

么,設什2,列什么，F艮制什么”。

求什么就是弄清楚要斛決什么問題，完

成什么任務。

設什么就是弄清楚這個問題有哪些因

素,誰是核心因素，通常設核心因素為

自變量。

列什么就是把問題已知條件用所設變量

表示出來,可以是方程、函數、不等式等.

F艮制什么主要是指自變量所應滿足的F艮

制條件，在實際問題中，除了要使因教

式有意義外，還要考慮變量的實際含義,

如人不能是半個等.

三、當堂達標

1.一輛沌車在某段路程中的行駛路程s

通過練

關于時間/變化的圖象如圖所示，那么圖

習鞏固

象所對應的函數模型是（）

本節所

A、分段函B、二次的C、指數^舀

教，對教的教學知識,

23Ool/鞏固對

2200困教模

2100/

2000kz型的運

-o|1~2~3~A用，增強

學生的

教學建

【答案】A［由圖可知，該圖象所對應

模、直觀

的函教模型是分段函數模型.1

想象、教

2、若鐳經過100年后剩留原來質量的

學抽象、

95o76%,設質量為1的鐳經過x年后

教學運

剩留量為y,則的舀教關條是()

算、2梅

A、y=0o錯誤！y=

9576B.(0o推理的

9576),00x核心素

X

養。

C、y二錯誤！D、y=1-0.0424錯誤！

【答案】A/由題意可知y=(95。76%)

錯誤!，即y=0.9576錯誤!.《7

3.若一根蠟燭長20cm,點燃后每小時燃

院5cm,則燃燒剩下的嵩度"(cm)與燃

燒時間t(h)的函數關雜用圖象表示為

()

【簽案】B］由題意"=20-5（00/4,

其圖象為BoJ

4、某工廠生產某種產品固定成本為2

000萬元，并且每生產一單住產品，成本

增加10萬元,又知總收入K是單核產品

教Q的函數，K［。）=40。一錯誤?2,則

總利潤￡CQ）的最大值是萬元。

【答索】2500,每生產一單住產品,

成本增加10萬元，

???單住產品數。時的總成本為2000+

10Q萬元、

???K（。）=40。一錯誤!Q2,

/.利泗L（Q）=40。-錯