20232024學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)周考考試范圍：解析幾何、統(tǒng)計(jì)案例、概率（滿分150分，用時(shí)120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．題號(hào)1234567891011答案CDBBABBDBDACDAC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13.14．四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離比到直線：的距離小2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，求線段的長度.（1）由題意動(dòng)點(diǎn)到的距離比到直線：的距離小2，即動(dòng)點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線：的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是.………………5分（2）由已知可得直線的方程是即，設(shè)，由得，，所以，則，故.………………13分16．（15分）為了考察學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計(jì)算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計(jì)算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個(gè)同學(xué)來抽題回答；每個(gè)同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中逐個(gè)隨機(jī)抽取兩道題作答．每個(gè)同學(xué)先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個(gè)題目抽取概念敘述題的概率．【詳解】（1）設(shè)表示“第次從甲箱中抽到概念敘述題”，則，，所以第二題抽到的是概念敘述題的概率.………………6分（2）設(shè)事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題，事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出的兩道題都是計(jì)算題，事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出1個(gè)概念敘述題1個(gè)計(jì)算題，事件表示B同學(xué)從乙箱中抽取兩道題目，第一個(gè)題目抽取概念敘述題，此時(shí)乙箱中有4道概念敘述題，3道計(jì)算題，故有，此時(shí)乙箱中有2道概念敘述題，5道計(jì)算題，故有，，此時(shí)乙箱中有3道概念敘述題，4道計(jì)算題，故有.………………15分17．（15分）己知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長為為雙曲線上任意一點(diǎn)．(1)求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，求的最小值．【詳解】（1）由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為設(shè)，則，漸近線為，P到兩條漸近線的距離之積.………………7分（2）由已知，得，設(shè)或，在雙曲線上，所以，因此或，對(duì)稱軸為，由于或，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.………………15分18．（17分）隨著科技的進(jìn)步，近年來，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質(zhì)量來提升品牌競(jìng)爭(zhēng)力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升.小趙同學(xué)對(duì)某品牌新能源汽車近5年的廣告費(fèi)投入（單位：億元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)見下表：年份代號(hào)12345廣告費(fèi)投入4.85.66.27.68.8并隨機(jī)調(diào)查了200名市民對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表認(rèn)可不認(rèn)可50歲以下市民703050歲以上市民6040(1)求廣告費(fèi)投入與年份代號(hào)之間的線性回歸方程，并求在樣本點(diǎn)處的殘差；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可度是否有關(guān).(3)若以這200名市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可度情況估計(jì)整體情況，則從全市市民中隨機(jī)選取20人，記選到認(rèn)可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.附：①回歸直線中，，；②，.0.10.010.0012.7066.63510.828【詳解】（1），，則，則，故；………………5分當(dāng)時(shí)，，所以殘差.………………7分（2）零假設(shè)為市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可度無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可度無關(guān).………………12分（3）若以這200名市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可度情況估計(jì)整體情況，則從全市市民中隨機(jī)選取1人，記選到認(rèn)可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民的概率為，若從全市市民中隨機(jī)選取20人，記選到認(rèn)可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民人數(shù)為，則，所以數(shù)學(xué)期望與方差分別為.………………17分19．（17分）已知橢圓的長軸長為，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓上點(diǎn)處的切線方程是，過直線上一點(diǎn)引C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，①求證：直線恒過定點(diǎn)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【詳解】（1）由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的方程為；………………4分（2）①設(shè)，由題設(shè)可知：，又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，所以均在直線上，即，由，解得，所以直線過定點(diǎn)；………………10分②由①中，易知直線斜率不為0；設(shè)實(shí)數(shù)存在，因?yàn)椋裕?/p>