高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3浙江省金華市義烏市2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、選擇題1.樣本數(shù)據(jù)12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位數(shù)是（）A.33 B.35 C.46 D.51〖答案〗D〖解析〗將12，46，38，11，51，24，33，35，55從小到大排列為11，12，24，33，35，38，46，51，55，，故第80百分位數(shù)為第八個數(shù)51，故選：D2.已知是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.9 B. C. D.81〖答案〗A〖解析〗由題得，而，則，故選：A.3.在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（）A.1 B.2 C.3 D.1或3〖答案〗C〖解析〗由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故選：C.4.某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考（總分150分），假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為，，，四個等級.若某同學(xué)考試成績?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則，，由于等級的概率之和為，所以，而即故為A等級，為B等級，為C等級，為D等級，故99分為B等級．故選：B．5.在義烏，婺劇深受民眾喜愛.某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數(shù)是（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗首先按照小生和老生不相鄰的要求共有種排法，其中老旦排在最右邊情況，左側(cè)4個位置，先排花旦、正旦有，由此所成的3個空中將小生、老生插入有，所以排法有種，所以滿足題意的不同排法總數(shù)是.故選：C.6.若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗，當(dāng)時，，則，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)和的圖象如下：令得，，故，令，則，且，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，綜上，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5.故選：D7.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于〖答案〗D〖解析〗由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．8.已知，分別是橢圓的左，右焦點，是橢圓上一點，的角平分線與的交點恰好在軸上，則線段的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，點只能在第一、四象限，不妨設(shè)點在第一象限，如圖所示：設(shè)，又，由題意可知，直線的斜率一定存在，所以，直線，即，則點，直線，化為一般形式得，因為點在的角平分線上，所以點到直線與的距離相等，點到直線的距離，點到直線的距離，于是，化簡得，即，又點在橢圓上，所以，得，因此，，即，解得或，點在第一象限，所以，，則點，所以.故選：C.二、選擇題9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因為，所以，所以，故A正確；所以，所以，故B不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：AD.10.已知在上是單調(diào)函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，則（）A.若，則B.的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)在上無零點D.將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗，當(dāng)，可得，又在上單調(diào)，所以，解得，又的圖象關(guān)于點對稱，所以，解得，當(dāng)時，，符合題意，所以，對于A：若，則可得分別為函數(shù)的極大值與極小值，可得，故A正確；，所以的圖象的一條對稱軸方程為，故B正確；因為，所以，所以函數(shù)在上無零點，故C正確；將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為，所以的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)不為偶函數(shù)，故D不正確.故選：ABC.11.已知正實數(shù)，滿足，則下列不等式可能成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得，記，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)，記，則，令，得，故在單調(diào)遞增，令，得，故在單調(diào)遞減，而，，故存在使得，故當(dāng)，，即當(dāng)時，當(dāng)時，，故作出的大致圖象如下：（黑色為圖象，紅色為圖象）由圖可知：當(dāng)時，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，故選：ACD非選擇題部分三、填空題12.若二項式的展開式中各項系數(shù)和為256，則展開式中的常數(shù)項為_____．〖答案〗54〖解析〗令x＝1，有4n＝256，解得n＝4，所以展開式通項為：，令4﹣2k＝0得，k＝2．故常數(shù)項為：．故〖答案〗為：54．13.若圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗〖解析〗對于雙曲線，其漸近線方程為，對于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點到直線距離公式得：，所以，所以，解得，所以雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.14.某希望小學(xué)的操場空地的形狀是一個扇形，計劃在空地上挖一個內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個方案可供選擇.經(jīng)測量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為______，比較兩種方案，沙坑面積最大值為______.〖答案〗（其中，），或，〖解析〗連接，由，，，，得，在中，，由，得，顯然在上單調(diào)遞減，所以滿足的關(guān)系式為（，）或，；方案1：設(shè)游泳池的面積為，由（1）得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以；方案2：設(shè)游泳池的面積為，取的中點，連接，，設(shè)，，在中，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，而，所以選擇第一種方案，此時游泳池面積的最大值為.故〖答案〗為：（，），或，；四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線的方向向量為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：（1）在處的切線的方向向量為，所以在處的切線斜率，又，則，解得.（2）函數(shù)的定義域為，，令，解得或（舍去）.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，即，無極小值.于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，無極小值.16.已知甲盒中有1個紅球，2個藍(lán)球，乙盒中有5個紅球，4個藍(lán)球，這些球除了顏色外完全相同.（1）從甲盒中有放回地取球，每次取1個，共取3次，求這3次中取出2次紅球的概率；（2）從甲、乙兩盒中各任取2個球，記取出4個球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)“每次從甲盒中取出紅球”，“這3次中取出2次紅球”.則，.（2）所有可能的取值為0，1，2，3，，，0123.17.如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，是正三角形，是的重心，點滿足.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，連接，交點為，則是的中點.因為是的重心，所以.又是的中點，所以.由知在線段上，且，所以，而平面，平面，所以平面.（2）解：方法1：設(shè)，則.取中點，連接，則，，平面,故平面，又平面，所以平面平面，交線.由，，則,得.所以到平面的距離等于到直線的距離.設(shè)到平面的距離為，由平面知到平面的距離也是.由得，，，從而.在中，，，，由余弦定理得，所以直線與平面所成角的正弦值是.方法2：如圖，以中點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，所以,,,設(shè)平面的法向量是，由.令，則，.所以，，從而直線與平面所成角的正弦值是.18.已知四點在拋物線上，直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點，直線與直線相交，交點在軸上.（1）求證：點是線段的中點；（2）記的面積為，的面積為，求的最小值.（1）證明：設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為.由得，所以；由得，所以.所以，即點的縱坐標(biāo)是點、點的縱坐標(biāo)的等差中項，故是的中點.（2）解：設(shè)，因為直線與直線相交，交點在軸上，所以，從而，.直線的方程是，所以，即.因為是的中點，所以，.法一：記，考察函數(shù)，.因，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故的最小值是，即的最小值是.法二：，時取到等號，即的最小值是.19.若函數(shù)滿足以下三個條件，則稱為函數(shù).①定義域為；②對任意，；③對任意正整數(shù)，，當(dāng)時，有.若給定函數(shù)某幾個函數(shù)值，在滿足條件①②③的情況下，可能的如果有種，分別為，，，.那么我們記等于，，，的最大值.這樣得到的稱為的最大生成函數(shù).（1）若為函數(shù)，且是在給定條件，下的的最大生成函數(shù)，求和的值；（2）若為函數(shù)，且滿足，求數(shù)列的前10項和；（3）若為函數(shù)，且是在給定條件，下的的最大生成函數(shù)，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，所以.但是若，則，又，這出現(xiàn)矛盾，所以不成立，即，此時，，所以或者.若令，顯然它是滿足函數(shù)的3個條件的，不會出現(xiàn)矛盾.所以.（2）由，則，若，則，，出現(xiàn)矛盾.所以.同理求得，我們猜想下面證明它.當(dāng)，2，3時，的公式顯然成立.假設(shè)當(dāng)時，的公式成立.則當(dāng)時，，，，，顯然，只能是.所以得證.可知，該公式給定的數(shù)列也滿足函數(shù)的3個條件.于是，所以數(shù)列的前10項和為.（3）因為，，所以，，因為，不妨取，則且，所以，即.我們猜想，下面證明它.當(dāng)，2，3，4時，的公式顯然成立.假設(shè)當(dāng)，2，3，4，，，時，的公式成立，則當(dāng)時即只需即可，所以.又當(dāng)時即只有，所以，所以得證.可知，該公式給定的數(shù)列也滿足函數(shù)的3個條件.于是當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；所以數(shù)列的前項和為浙江省金華市義烏市2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、選擇題1.樣本數(shù)據(jù)12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位數(shù)是（）A.33 B.35 C.46 D.51〖答案〗D〖解析〗將12，46，38，11，51，24，33，35，55從小到大排列為11，12，24，33，35，38，46，51，55，，故第80百分位數(shù)為第八個數(shù)51，故選：D2.已知是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.9 B. C. D.81〖答案〗A〖解析〗由題得，而，則，故選：A.3.在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（）A.1 B.2 C.3 D.1或3〖答案〗C〖解析〗由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故選：C.4.某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考（總分150分），假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為，，，四個等級.若某同學(xué)考試成績?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則，，由于等級的概率之和為，所以，而即故為A等級，為B等級，為C等級，為D等級，故99分為B等級．故選：B．5.在義烏，婺劇深受民眾喜愛.某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數(shù)是（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗首先按照小生和老生不相鄰的要求共有種排法，其中老旦排在最右邊情況，左側(cè)4個位置，先排花旦、正旦有，由此所成的3個空中將小生、老生插入有，所以排法有種，所以滿足題意的不同排法總數(shù)是.故選：C.6.若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗，當(dāng)時，，則，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)和的圖象如下：令得，，故，令，則，且，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，綜上，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5.故選：D7.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于〖答案〗D〖解析〗由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．8.已知，分別是橢圓的左，右焦點，是橢圓上一點，的角平分線與的交點恰好在軸上，則線段的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，點只能在第一、四象限，不妨設(shè)點在第一象限，如圖所示：設(shè)，又，由題意可知，直線的斜率一定存在，所以，直線，即，則點，直線，化為一般形式得，因為點在的角平分線上，所以點到直線與的距離相等，點到直線的距離，點到直線的距離，于是，化簡得，即，又點在橢圓上，所以，得，因此，，即，解得或，點在第一象限，所以，，則點，所以.故選：C.二、選擇題9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因為，所以，所以，故A正確；所以，所以，故B不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：AD.10.已知在上是單調(diào)函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，則（）A.若，則B.的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)在上無零點D.將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗，當(dāng)，可得，又在上單調(diào)，所以，解得，又的圖象關(guān)于點對稱，所以，解得，當(dāng)時，，符合題意，所以，對于A：若，則可得分別為函數(shù)的極大值與極小值，可得，故A正確；，所以的圖象的一條對稱軸方程為，故B正確；因為，所以，所以函數(shù)在上無零點，故C正確；將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為，所以的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)不為偶函數(shù)，故D不正確.故選：ABC.11.已知正實數(shù)，滿足，則下列不等式可能成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得，記，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)，記，則，令，得，故在單調(diào)遞增，令，得，故在單調(diào)遞減，而，，故存在使得，故當(dāng)，，即當(dāng)時，當(dāng)時，，故作出的大致圖象如下：（黑色為圖象，紅色為圖象）由圖可知：當(dāng)時，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，故選：ACD非選擇題部分三、填空題12.若二項式的展開式中各項系數(shù)和為256，則展開式中的常數(shù)項為_____．〖答案〗54〖解析〗令x＝1，有4n＝256，解得n＝4，所以展開式通項為：，令4﹣2k＝0得，k＝2．故常數(shù)項為：．故〖答案〗為：54．13.若圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗〖解析〗對于雙曲線，其漸近線方程為，對于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點到直線距離公式得：，所以，所以，解得，所以雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.14.某希望小學(xué)的操場空地的形狀是一個扇形，計劃在空地上挖一個內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個方案可供選擇.經(jīng)測量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為______，比較兩種方案，沙坑面積最大值為______.〖答案〗（其中，），或，〖解析〗連接，由，，，，得，在中，，由，得，顯然在上單調(diào)遞減，所以滿足的關(guān)系式為（，）或，；方案1：設(shè)游泳池的面積為，由（1）得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以；方案2：設(shè)游泳池的面積為，取的中點，連接，，設(shè)，，在中，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，而，所以選擇第一種方案，此時游泳池面積的最大值為.故〖答案〗為：（，），或，；四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線的方向向量為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：（1）在處的切線的方向向量為，所以在處的切線斜率，又，則，解得.（2）函數(shù)的定義域為，，令，解得或（舍去）.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，即，無極小值.于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，無極小值.16.已知甲盒中有1個紅球，2個藍(lán)球，乙盒中有5個紅球，4個藍(lán)球，這些球除了顏色外完全相同.（1）從甲盒中有放回地取球，每次取1個，共取3次，求這3次中取出2次紅球的概率；（2）從甲、乙兩盒中各任取2個球，記取出4個球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)“每次從甲盒中取出紅球”，“這3次中取出2次紅球”.則，.（2）所有可能的取值為0，1，2，3，，，0123.17.如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，是正三角形，是的重心，點滿足.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，連接，交點為，則是的中點.因為是的重心，所以.又是的中點，所以.由知在線段上，且，所以，而平面，平面，所以平面.（2）解：方法1：設(shè)，則.取中點，連接，則，，平面,故平面，又平面，所以平面平面，交線.由，，則,得.所以到平面的距離等于到直線的距離.設(shè)到平面的距離為，由平面知到平面的距離也是.由得，，，從而.在中，，，，由余弦定理得，所以直線與平面所成角的正弦值是.方法2：如圖，以中點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，所以,,,設(shè)平面的法向量是，由.令，則，.所以，，從而直線與平面所成