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文檔簡介

第11講指數與指數函數【學習目標】1.通過對有理數指數冪、實數指數冪含義的認識,了解指數冪的拓展過程,掌握指數冪的運算性質.2.通過具體實例,了解指數函數的實際意義,理解指數函數的概念3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指數函數的單調性和特殊點【基礎知識】一、根式的定義1.a的n次方根的定義:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.a的n次方根的表示①當n是奇數時,a的n次方根表示為eq\r(n,a),a∈R;②當n是偶數時,a的n次方根表示為±eq\r(n,a),其中-eq\r(n,a)表示a的負的n次方根,a∈[0,+∞).3.根式:式子eq\r(n,a)叫做根式,這里n叫做根指數,a叫做被開方數.二、根式的性質1.(eq\r(n,a))n=a(n為奇數時,a∈R;n為偶數時,a≥0,且n>1).2.eq\r(n,an)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an為奇數,且n>1,,|a|n為偶數,且n>1)).三、分數指數冪1.aeq\s\up15(eq\f(m,n))=eq\r(n,am),aeq\s\up15(-eq\f(m,n))=eq\f(1,aeq\s\up15(eq\f(m,n)))=eq\f(1,\r(n,am))(其中a>0,m,n∈N*,且n>1).2.0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.四、有理數指數冪的運算性質1.aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).五、無理數指數冪1.對于無理數指數冪,我們只需要了解兩點:①它是一個確定的實數;②它是有理數指數冪無限逼近的結果.2.定義了無理數指數冪之后,冪的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍.六、實數指數冪的運算性質1.aras=ar+s(a>0,r,s∈R).2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).七、條件求值對于條件求值問題,一般先化簡代數式,再將字母取值代入求值.但有時字母的取值不知道或不易求出,這時可將所求代數式恰當地變形,構造出與已知條件相同或相似的結構,從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0,b>0):八、指數函數的定義圖象及性質1.函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.2.指數函數的圖象和性質【解讀】1.由指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的性質知,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,a))),只要確定了這三個點的坐標,即可快速地畫出指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象.2.底數的大小決定了圖象相對位置的高低:不論是a>1,還是0<a<1,在第一象限內底數越大,函數圖象越靠近y軸.九、識別指數函數圖象問題的注意點1.根據圖象“上升”或“下降”確定底數a>1或0<a<1;2.在y軸右側,指數函數的圖象從下到上相應的底數由小到大;在y軸左側,指數函數的圖象從下到上相應的底數由大到??;3.根據“左加右減,上加下減”的原則,確定圖象的平移變換,從而確定指數型函數的圖象與兩坐標軸的交點位置.4.指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(0,1),據此,可解決形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函數圖象過定點的問題,即令x=-c,得y=k+b,函數圖象過定點(-c,k+b).十、函數圖象的對稱和變換規律一般地,把函數y=f(x)的圖象向右平移m個單位得函數y=f(x-m)的圖象(m∈R,若m<0就是向左平移|m|個單位);把函數y=f(x)的圖象向上平移n個單位,得到函數y=f(x)+n的圖象(n∈R,若n<0,就是向下平移|n|個單位).函數y=f(x)的圖象與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱,函數y=f(x)的圖象與函數y=-f(x)的圖象關于x軸對稱,函數y=f(x)的圖象與函數y=-f(-x)的圖象關于原點對稱.函數y=f(|x|)的圖象是關于y軸對稱的,所以只要先把y軸右邊的圖象保留,y軸左邊的圖象刪去,再將y軸右邊部分關于y軸對稱得y軸左邊圖象,就得到了y=f(|x|)的圖象.【考點剖析】考點一:根式的化簡例1.化簡(

)A. B. C.2 D.【答案】D【解析】,故選D.考點二:利用指數冪的運算性質化簡例2.(2021-2022學年山東省濟寧市兗州區高一上學期期中)化簡結果為(

)A.a B.b C. D.【答案】A【解析】根據實數指數冪的運算公式,可得:.故選A.考點三:條件求值例3.(1)已知是方程的兩個根,且,求的值.(2)已知,求下列各式的值:①;②.【解析】(1)因為是方程的兩個根,所以,所以.因為,所以.所以.(2)①將兩邊平方,得.即.②將兩邊平方,得,即.考點四:指數函數的圖象例4.(2021-2022學年浙江省杭州地區重點中學高一下學期期中)若函數的圖象如圖所示,則(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意,函數,令,即,解得或,可得或,結合圖象,可得,解得;又由函數的圖象得,當時,,當時,因為,可得,所以,即,解得.故選D.考點五:求指數型函數的定義域與值域例5函數在上的值域為___________.【答案】【解析】∵則令在遞增∴考點六:求指數函數的單調區間例6.(2020-2021學年河南省登封市一高高一上學期段考)函數的單調遞減區間是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】設,在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,根據“同增異減”可得,函數的單調遞減區間是.故選A.考點七:利用指數函數的單調性比較大小例7.(2020-2021學年四川省巴中市恩陽區高一上學期期中)已知,,,,則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單調遞減,所以,,所以.故選D考點八:利用指數函數的單調性求參數范圍例8.(2021-2022學年云南昭通市第一中學高一下學期考試)已知函數,若不等式對恒成立,則實數的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,則,可化為;為上的增函數,為上的增函數,對恒成立,即,,,即實數的取值范圍是.故選D.【真題演練】1.(2021-2022學年陜西省咸陽市高一上學期期末)若函數(且)的圖像經過定點P,則點P的坐標是(

)A. B. C. D.2.(2021-2022學年江蘇省常州市金壇區高一上學期期中)若,且,則的值為(

)A. B. C. D.3.(2021-2022學年安徽省池州市青陽縣第一中學高一下學期3月月考)已知函數,,且,則下列結論中,一定成立的是(

)A. B.C. D.4.(多選)(2021-2022學年江蘇省鹽城市濱海中學高一上學期期中)下列根式與分數指數冪的互化正確的是(

)A. B.C.當時, D.當時,5.(多選)(2021-2022學年山東省聊城市高一上學期期末)已知函數,,對任意,則(

)A. B.C. D.6.(2020-2021學年安徽省合肥市第十中學高一上學期期中)_____________.7.(2020-2021學年江蘇省鎮江市高一上學期期中)(1)求值:;(2)已知,求值:.8.(2021-2022學年貴州省六枝特區高一下學期期中)已知定義域為的函數是奇函數.(1)求的值;(2)判斷函數的單調性并證明.【過關檢測】1.(2021-2022學年陜西省咸陽市武功縣高一上學期期中)已知函數,則函數的圖像經過(

).A.第一、二、四象限 B.第二、三、四象限C.第二、四象限 D.第一、二象限2.(2021-2022學年廣東省廣州市六中高一下學期期中)已知m,n為正實數,且,則下列不等式一定成立的是(

)A. B. C. D.3.(2021-2022學年陜西省渭南市臨渭區高一上學期期末)函數與(且)在同一坐標系中的圖象可能是(

)A. B.C. D.4.(2021-2022學年廣東省汕尾市高一上學期期末)若,,,則(

)A. B. C. D.5.(多選)(2021-2022學年河北省滄州市滄縣中學高一上學期測試)已知函數,則(

)A.的值域為R B.是R上的增函數C.是R上的奇函數 D.有最大值6.(多選)(2021-2022學年江蘇省無錫市市北高級中學高一上學期期中)已知函數是上的增函數,則實數的值可以是(

)A.4 B.3 C. D.7.(多選)(2021-2022學年吉林省松原市重點高中高一3月聯考)設,表示不超過的最大整數,例如:,,已知函數,則下列敘述中正確的是(

)A.是偶函數 B.是奇函數C.在上是增函數 D.的值域是8.(2021-2022學年河北省滄州市滄縣中學高一上學期測試)已知,,則______.9.已知正整數和非零實數,若,且,求的值.10.(2021-2022學年四川省德陽市第五中學高一上學期12月月考)已知函數.(1)判斷的奇偶性;(2)判斷的單調性并證明;(3)若不等式在上有解,求的最大值.第11講指數與指數函數【學習目標】1.通過對有理數指數冪、實數指數冪含義的認識,了解指數冪的拓展過程,掌握指數冪的運算性質.2.通過具體實例,了解指數函數的實際意義,理解指數函數的概念3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指數函數的單調性和特殊點【基礎知識】一、根式的定義1.a的n次方根的定義:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.a的n次方根的表示①當n是奇數時,a的n次方根表示為eq\r(n,a),a∈R;②當n是偶數時,a的n次方根表示為±eq\r(n,a),其中-eq\r(n,a)表示a的負的n次方根,a∈[0,+∞).3.根式:式子eq\r(n,a)叫做根式,這里n叫做根指數,a叫做被開方數.二、根式的性質1.(eq\r(n,a))n=a(n為奇數時,a∈R;n為偶數時,a≥0,且n>1).2.eq\r(n,an)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an為奇數,且n>1,,|a|n為偶數,且n>1)).三、分數指數冪1.aeq\s\up15(eq\f(m,n))=eq\r(n,am),aeq\s\up15(-eq\f(m,n))=eq\f(1,aeq\s\up15(eq\f(m,n)))=eq\f(1,\r(n,am))(其中a>0,m,n∈N*,且n>1).2.0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.四、有理數指數冪的運算性質1.aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).五、無理數指數冪1.對于無理數指數冪,我們只需要了解兩點:①它是一個確定的實數;②它是有理數指數冪無限逼近的結果.2.定義了無理數指數冪之后,冪的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍.六、實數指數冪的運算性質1.aras=ar+s(a>0,r,s∈R).2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).七、條件求值對于條件求值問題,一般先化簡代數式,再將字母取值代入求值.但有時字母的取值不知道或不易求出,這時可將所求代數式恰當地變形,構造出與已知條件相同或相似的結構,從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0,b>0):八、指數函數的定義圖象及性質1.函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.2.指數函數的圖象和性質【解讀】1.由指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的性質知,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,a))),只要確定了這三個點的坐標,即可快速地畫出指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象.2.底數的大小決定了圖象相對位置的高低:不論是a>1,還是0<a<1,在第一象限內底數越大,函數圖象越靠近y軸.九、識別指數函數圖象問題的注意點1.根據圖象“上升”或“下降”確定底數a>1或0<a<1;2.在y軸右側,指數函數的圖象從下到上相應的底數由小到大;在y軸左側,指數函數的圖象從下到上相應的底數由大到小;3.根據“左加右減,上加下減”的原則,確定圖象的平移變換,從而確定指數型函數的圖象與兩坐標軸的交點位置.4.指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(0,1),據此,可解決形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函數圖象過定點的問題,即令x=-c,得y=k+b,函數圖象過定點(-c,k+b).十、函數圖象的對稱和變換規律一般地,把函數y=f(x)的圖象向右平移m個單位得函數y=f(x-m)的圖象(m∈R,若m<0就是向左平移|m|個單位);把函數y=f(x)的圖象向上平移n個單位,得到函數y=f(x)+n的圖象(n∈R,若n<0,就是向下平移|n|個單位).函數y=f(x)的圖象與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱,函數y=f(x)的圖象與函數y=-f(x)的圖象關于x軸對稱,函數y=f(x)的圖象與函數y=-f(-x)的圖象關于原點對稱.函數y=f(|x|)的圖象是關于y軸對稱的,所以只要先把y軸右邊的圖象保留,y軸左邊的圖象刪去,再將y軸右邊部分關于y軸對稱得y軸左邊圖象,就得到了y=f(|x|)的圖象.【考點剖析】考點一:根式的化簡例1.化簡(

)A. B. C.2 D.【答案】D【解析】,故選D.考點二:利用指數冪的運算性質化簡例2.(2021-2022學年山東省濟寧市兗州區高一上學期期中)化簡結果為(

)A.a B.b C. D.【答案】A【解析】根據實數指數冪的運算公式,可得:.故選A.考點三:條件求值例3.(1)已知是方程的兩個根,且,求的值.(2)已知,求下列各式的值:①;②.【解析】(1)因為是方程的兩個根,所以,所以.因為,所以.所以.(2)①將兩邊平方,得.即.②將兩邊平方,得,即.考點四:指數函數的圖象例4.(2021-2022學年浙江省杭州地區重點中學高一下學期期中)若函數的圖象如圖所示,則(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意,函數,令,即,解得或,可得或,結合圖象,可得,解得;又由函數的圖象得,當時,,當時,因為,可得,所以,即,解得.故選D.考點五:求指數型函數的定義域與值域例5函數在上的值域為___________.【答案】【解析】∵則令在遞增∴考點六:求指數函數的單調區間例6.(2020-2021學年河南省登封市一高高一上學期段考)函數的單調遞減區間是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】設,在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,根據“同增異減”可得,函數的單調遞減區間是.故選A.考點七:利用指數函數的單調性比較大小例7.(2020-2021學年四川省巴中市恩陽區高一上學期期中)已知,,,,則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單調遞減,所以,,所以.故選D考點八:利用指數函數的單調性求參數范圍例8.(2021-2022學年云南昭通市第一中學高一下學期考試)已知函數,若不等式對恒成立,則實數的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,則,可化為;為上的增函數,為上的增函數,對恒成立,即,,,即實數的取值范圍是.故選D.【真題演練】1.(2021-2022學年陜西省咸陽市高一上學期期末)若函數(且)的圖像經過定點P,則點P的坐標是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,所以當,即時,函數值為定值0,所以點P坐標為.另解:因為可以由向右平移一個單位長度后,再向下平移1個單位長度得到,由過定點,所以過定點.故選B2.(2021-2022學年江蘇省常州市金壇區高一上學期期中)若,且,則的值為(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設,,即,又,且,所以.故選A.3.(2021-2022學年安徽省池州市青陽縣第一中學高一下學期3月月考)已知函數,,且,則下列結論中,一定成立的是(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖示可知時,的符號不確定,,故AB錯;,,即,故,故D正確,又,所以,即,所以,即,所以,故C不正確.故選D4.(多選)(2021-2022學年江蘇省鹽城市濱海中學高一上學期期中)下列根式與分數指數冪的互化正確的是(

)A. B.C.當時, D.當時,【答案】CD【解析】對于A選項,,所以A選項錯誤.對于B選項,,所以B選項錯誤.對于C選項,,,所以C選項正確.對于D選項,,,所以D選項正確.故選CD5.(多選)(2021-2022學年山東省聊城市高一上學期期末)已知函數,,對任意,則(

)A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對選項A,,,故選項A錯誤;對選項B,,,則,故選項B正確;對選項C,不妨設,則,故,故選項C正確;對選項D,因為是奇函數,在上遞減則要使恒成立只需:只需:只需:而,故,故選項D正確故選BCD6.(2020-2021學年安徽省合肥市第十中學高一上學期期中)_____________.【答案】【解析】原式=.7.(2020-2021學年江蘇省鎮江市高一上學期期中)(1)求值:;(2)已知,求值:.【解析】(1)原式;(2)由,而,則,故.8.(2021-2022學年貴州省六枝特區高一下學期期中)已知定義域為的函數是奇函數.(1)求的值;(2)判斷函數的單調性并證明.【解析】(1)由為定義在上奇函數可知,解得.經檢驗,此時對任意的都有故.(2)由遞增,可知在上為減函數,證明如下:對于任意實數,,不妨設,則.∵單調遞增,且,∴即,,,∴,∴,故在上為減函數.【過關檢測】1.(2021-2022學年陜西省咸陽市武功縣高一上學期期中)已知函數,則函數的圖像經過(

).A.第一、二、四象限 B.第二、三、四象限C.第二、四象限 D.第一、二象限【答案】B【解析】因為,所以函數的圖象經過一、二象限,又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個單位得到,所以函數的圖象經過二、三、四象限,如圖,故選B2.(2021-2022學年廣東省廣州市六中高一下學期期中)已知m,n為正實數,且,則下列不等式一定成立的是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】,為正實數,且,即在上均為減函數,在上為增函數.當時,,故A錯誤;當時,,故B錯誤;取,此時,故C錯誤;,,,,,,故D正確.故選D3.(2021-2022學年陜西省渭南市臨渭區高一上學期期末)函數與(且)在同一坐標系中的圖象可能是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】因為一次函數為直線,且函數單調遞增,排除AD選項.對于B選項,指數函數單調遞減,則,可得,此時,一次函數單調遞增,且直線與軸的交點位于點的上方,合乎題意;對于C選項,指數函數單調遞減,則,

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