第4章

幾何圖形初步

小結(jié)與復(fù)習(xí)課程導(dǎo)入

課程講授習(xí)題解析歸納總結(jié)一、幾何圖形1.幾何圖形都是由點、線、面、體組成的.2.點、線、面、體之間的聯(lián)系(1)體是由面圍成，面與面相交成線，線與線相交成點；(2)點動成線、線動成面、面動成體.

(2)平面圖形上的各點都在同一個平面內(nèi)，如3.立體圖形與平面圖形

(1)立體圖形上的點不都在同一個平面內(nèi)，如二、直線、射線、線段1.有關(guān)直線的基本事實經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.2.直線、射線、線段的區(qū)別類型端點個數(shù)延伸性能否度量線段射線直線2個不能延伸可度量1個向一個方向無限延伸不可度量無端點向兩個方向無限延伸不可度量4.有關(guān)線段的基本事實兩點之間線段最短3.線段的中點應(yīng)用格式：ACB因為

C是線段

AB的中點，所以AC

＝

BC

＝AB，AB

＝2AC

＝2BC.5.線段長短的比較方法度量法或疊合法三、角1.角的定義(1)從一個點出發(fā)的兩條射線組成的圖形，叫做角.(2)角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.2.角的度量度、分、秒的互化1°＝60′，1′＝60″，3.角的大小的比較方法度量法或疊合法1″＝′，1′＝

°4.角的平分線OBAC應(yīng)用格式：5.余角與補角的性質(zhì)同角(等角)的補角相等同角(等角)的與角相等因為

OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.考點一線段、直線與射線例1如圖所示，直線

l，線段

a，射線

OA，能相交的幾組圖形是(

)BA.(1)(3)(4)B.(1)(4)(5)C.(1)(4)(6)D.(2)(3)(5)(1)(4)(5)(6)(3)(2)針對訓(xùn)練解析：此題相當于一條線段上有3個點，有多少種不同的票價即有多少條線段：4+3+2+1

=

10；有多少種車票是要考慮順序的，則有

10×2

=

20.

1.往返于甲、乙兩地的火車中途要停靠三個站，則有______種不同的票價

(來回票價一樣)，需準備______種車票.1020例2

點C在線段AB所在的直線上，點

M，N分別是AC，BC的中點.(1)如圖，AC=8cm，CB=6cm，求線段

MN的長；AMCNB所以

CM＝AC＝4(cm)，CN＝BC＝3(cm).

解：因為點

M，N分別是

AC，BC的中點，所以

MN＝CM＋CN＝4＋3＝7(cm).考點二線段長度的計算(2)若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB=acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由；AMCNB理由：同(1)可得

CM＝AC，CN＝BC，所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC

＝(AC＋BC)＝a

(cm).猜想：MN=acm.(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足AC－BC=bcm，

M，N分別為

AC，BC的中點，你能猜想MN的長

度嗎？請畫出圖形，并說明理由.AMBNC

MN=MC－NC=AC－BC=(AC－BC)=b(cm)．猜想：MN=bcm.理由：根據(jù)題意畫出圖形，由圖可得

2.

已知：點A，B，C在一直線上，AB=

12cm，BC=4cm.點M，N分別是線段AB，BC的中點.

求線段MN的長度.AMCNB圖①所以BM=AB=×12=6(cm)，BN=BC=×4=2(cm).解：如圖①，當C在線段AB上時，因為M，N分別是AB，BC的中點，所以MN=BM－BN=6－2=4(cm).方法總結(jié)：無圖條件下，注意多解情況要分類討論，培養(yǎng)分類意識.CAMNB圖②所以BM=AB=×12=6(cm)，

BN=BC=×4=2(cm)如圖②，當

C

在線段

AB

外時，因為M，N分別是AB，BC的中點，所以MN=BM+BN=6+2=8(cm).考點三角的度量及角度的計算例345°52′48″＝______°；

126.31°＝____°____′____″；

25°18′÷3＝______；126.31°＝126°+0.31×60′＝126°+18.6′

＝126°18′+0.6×60″＝126°18′36″.

解析：45°52′48″＝45°+52′+(48÷60)′＝45°+52.8′

＝45°+(52.8÷60)°＝45.88°.25°18′÷3＝8°+1°18′÷3＝8°+78′÷3＝8°26′.45.8812618368°26′ 3.若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，則()A．∠A＞∠B＞∠CB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠C＞∠A＞∠BA針對訓(xùn)練4.5點整時，時鐘上時針與分鐘之間的夾角是()A.210°B.30°C.150°D.60°C例4

如圖，∠AOB是直角，ON

是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線.(1)當∠AOC=50°

時，求∠MON的大小；

OBMANC提示：先求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠COM，∠CON，然后根據(jù)∠MON=∠COM－∠CON代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.所以∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°.解：因為∠AOB是直角，∠AOC=50°，

所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°.因為

ON是∠AOC的平分線，

OM是∠BOC的平分線，所以∠COM=∠BOC=×140°=70°，∠CON=∠AOC=×50°=25°.OBMANC(2)當∠AOC＝α?xí)r，∠MON等于多少度？OBMANC所以∠MON=∠COM－∠CON=(90°+α)－

α=45°.解：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α.因為

ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線，∠CON=∠AOC=α.所以∠COM=∠BOC=(90°+α)，(3)當銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時，∠MON的大小也會發(fā)生改變嗎？為什么？解：不會發(fā)生變化.由(2)可知∠MON的大小與∠AOC

無關(guān)，總是等于∠AOB的一半.

OBMANC

5.如圖，長方形紙片

ABCD，點

E、F分別在邊

AB、CD上，連接

EF．將∠BEF對折，點

B落在直線

EF上的點

B'處，得折痕

EM；將∠AEF對折，點

A落在直線

EF上的點

A'處，得折痕

EN，求∠NEM的度數(shù)．針對訓(xùn)練解：由折紙過程可知，

EM平分∠BEB'，EN平分∠AEA'．因為∠BEB'＋∠AEA'＝180°，所以有∠NEM＝∠NEA'＋∠MEB'所以有∠MEB'＝

∠BEB'，∠NEA'＝

∠AEA'．＝

(∠AEA'＋∠BEB')＝90°．＝

∠AEA'＋

∠BEB'考點四余角和補角例5

已知∠α和∠β互為補角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α、∠β．【解析】設(shè)∠α＝x°，用

x表示出∠β，列出方程即可.

解：設(shè)∠α＝x°，則∠β＝180°－x°．根據(jù)題意∠β＝2(∠α－30°)，即180－x＝2(x－30)，解得x＝80．所以，∠α＝80°，∠β＝100°