廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷1（共9套）（共217題）廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第1套一、證明題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、求由曲線y=x2(x≥0)，直線y=1及y軸所圍成的平面圖形的面積。標準答案：y=x2(x≥0)，y=1及Y軸圍成的平面圖形如圖3-5所示。其面積為S=∫01(1-x2)dx=[x-(1/3)x3]｜01=2/3知識點解析：暫無解析2、求曲線y=e-x與直線y=0之間位于第一象限的平面圖形的面積。標準答案：如圖3-6，曲線y=e-x與直線y=0(x軸)之間在第一象限的平面圖形的面積為A=∫0+∞e-xdx=-e-x｜0+∞=1知識點解析：暫無解析3、計算由拋物線y=x2-1與y=7-x2所圍成的平面圖形的面積。標準答案：這兩條拋物線所圍成的圖形如圖3-7所示。解方程組兩組解，即這兩條拋物線的交點為A(-2，3)及B(2，3)。因此，所求平面圖形的面積為A=∫-22(7-x2-x2+1)dx=∫-222(4-x2)dx=2(4x-(1/3)x3)｜-22=64/3知識點解析：暫無解析4、求由曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，x=π/2所圍成的平面圖形的面積。標準答案：在區間[0，π/2]上兩曲線交點的橫坐標為x=π/4，如圖3-8所示，故所求平面圖形的面積為S=∫0π/4(cosx-sinx)dx+∫π/4π/2=(cosx+sinx)｜0π/4-(sinx+cosx)｜π/4π/2=(-1)-(1-)=2(-1)知識點解析：暫無解析5、計算由曲線y2=9-x，直線x=2及y=-1所圍成的平面圖形上面部分(面積大的那部分)的面積A。標準答案：所圍成的圖形如圖3-9所示，聯立解得交點為(2，)，(2，-)，故所求面積為知識點解析：暫無解析6、已知曲線y=ax-x2(a＞0)與x軸圍成的平面圖形被曲線y=bx2(b＞0)分成面積相等的兩部分，求a，b的值。標準答案：由x-x2=bx得兩條曲線交點的橫坐標為x1=0，x2=a/(b+1)。由題設有2∫0a/(b+1)(ax-x2-bx2)dx=∫0a(ax-x2)dx，即(1/3)·[1/(b+1)2]，解得6=-1，a為大于零的任意常數。undefinedundefined知識點解析：暫無解析7、求曲線y=lnx在區間(2，6)內的一條切線，使得該切線與直線x=2，x=6和曲線y=lnx所圍成的平面圖形的面積最小。標準答案：設所求切線與y=lnx相切于點(c，lnc)，其中2＜c＜6，y’｜x=c=(1/x)｜x=c=1/c，則切線方程為y-lnc=(1/c)(x-c)，故切線與直線x=2，x=6和曲線y=lnx所圍成的平面圖形的面積為A=∫26[(1/c)(x-c)+lnc-lnx]dx=16/c+4lnc-6ln6+2ln2，又dA/dc=-16/c2+4/c=(-4/c2)(4-c)，令dA/dc=0，解得駐點c=4。當c＜4時，dA/dc＜0；當c＞4時，dA/dc＞0，故c=4時，A取得極小值。由于駐點唯一，故當c=4時，A取得最小值，此時切線方程為y=(1/4)x-1+ln4。知識點解析：暫無解析8、已知∫0xf(x-t)f(t)dt=1-cosx，證明：∫0π/2f(x)dx=1。標準答案：因為∫0x(x-t)f(t)dt=1-cosx，于是有x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=1-cosx，上式兩邊對x求導得∫0xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=sinx，從而有∫0xf(t)dt=sinx，故∫0π/2f(x)dx=∫0π/2f(t)dt=sin(π/2)=1知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)9、討論∫e+∞[dx/x(lnx)k]的斂散性，其中k為常數。標準答案：當k=1時，∫e+∞[dx/x(lnx)k]=∫e+∞(dx/xlnx)=∫e+∞[d(lnx)/lnx]=lnlnx｜e+∞=+∞，發散；當k≠1時，∫e+∞[dx/x(lnx)k]=∫e+∞[d(lnx)/(lnx)k]=[(lnx)1-k/(1-k)]｜e+∞=綜上所述，當k＞1時，∫e+∞[dx/x(lnx)k]收斂，且收斂于1/(k-1)；當k≤1時，∫e+∞[dx/x(lnx)k]發散。知識點解析：暫無解析10、求曲線y=e2x與其在點(1，e2)處的法線及y軸所圍成圖形的面積。標準答案：y’=2e2x，故曲線在點(1，e2)處的切線斜率為y’｜x=1=2e2，法線斜率k=-1/2e2，則法線方程為y-e2=(-1/2e2)(x-1)，即y=(-1/2e2)+e2+1/2e2，則所圍成圖形的面積為S=∫01[(-1/2e2)x+e2+1/2e2-e2x)dx=[(-1/4e2)x2+e2x+(1/2e2)x-(1/2)e2x]｜01=(1/2)e2+1/4e2+1/2知識點解析：暫無解析11、求曲線y=4x-x2和直線y=x圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所得立體的體積。標準答案：曲線與直線圍成的平面圖形如圖3-11所示。由方程組解得曲線y=4x-x2和直線y=x的交點為O(0，0)與C(3，3)。故所求體積為V=π∫03(4x-x2)2dx-π[(16/3)x3-2x4+(1/5)x5]｜03-9π=(108/5)π知識點解析：暫無解析12、已知曲線y=x3(x≥0)，直線x+y=2以及y軸圍成一平面圖形D，求平面圖形D繞．y軸旋轉一周所得旋轉體的體積。標準答案：平面圖形D如圖3-12所示，所求旋轉體體積為V=∫01π·dy+∫12π(2-y)2dy=(3π/5)y5/3｜01+(π/3)(y-2)｜12=3π/5+π/3=(14/15)π知識點解析：暫無解析13、已知曲線x=y+ey，直線x=y，y=1，y=2圍成一平面圖形D，求平面圖形D繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積Vy。標準答案：當y∈[1，2]時，y+ey＞y，所以Vy=π∫12[(y+ey)2-y2]dy=π∫12(2yey+e2y)dy=π[2(y-1)ey+(1/2)e2y]｜12=π[(1/2)e4+(3/2)e2]知識點解析：暫無解析14、求曲線y=4-(x-3)2與x軸所圍成的平面圖形分別繞x軸、y軸旋轉一周而成的立體體積Vx、Vy。標準答案：曲線與x軸所圍成的平面圖形如圖3-13所示。Vx=∫15πy2dx=π∫15[4-(x-3)2]2dx=π[16x-(8/3)(x-3)3+(1/5)(x-3)5]｜15=(512/15)πVy=2π∫15xydx=2π∫15x[4-(x-3)2]2dx=2π[(-1/4)x4+2x3-(5/2)x2]｜15=64π知識點解析：暫無解析已知曲線y=a(a＞0)與曲線y=ln在點(x0，y0)處有公共切線，求：15、常數a及切點(x0，y0)；標準答案：由題設條件可得解此方程組可得a=1/e，x0=e2，y0=1，于是切點為(e2，1)；知識點解析：暫無解析16、兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積S。標準答案：畫出曲線y=(1/e)與曲線y=ln的圖形，則兩曲線與x軸圍成的平面圖形(如圖3-10)的面積為S=∫01(e2y-e2y2)dy=[(1/2)e2y-(1/3)e2y3]｜01=(1/6)e2-1/2(如圖3-10的面積為S=∫01(e2y-e2y2)dy=[(1/2)e2y-(1/3)e2y3]｜01=(1/6)e2-1/2知識點解析：暫無解析設直線y=ax與拋物線y=x2所圍成圖形的面積為S1，它們與直線x=1所圍成圖形的面積為S2，并且a＜1。17、試確定a的值，使S1+S2達到最小，并求出最小值；標準答案：因為a＜1，所以可分成0＜a＜1，a≤0兩種情況，分別畫出兩種情況下的圖形(如圖3-14)，求出S1+S2的最小值后，即可確定a的值。當0＜a＜1時，S=S1+S2=∫0a(ax-x2)dx+∫a1(x2-ax)dx=a3/3-a/2+1/3，令S’=a2-1/2=0，求得a=1/。又S”(1/)=＞0，知S(1/)=(2-)/6是極小值，也是最小值；當a≤0時，S=S1+S2=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=-a3/6-a/2+1/3，因為S’=(-1/2)a2-1/2=(-1/2)(a2+1)＜0，S單調遞減，故a=0時，S取得最小值，此時S=1/3。比較可知，當a=1/時，s(1/)=(2-)/6是最小值；知識點解析：暫無解析18、求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。標準答案：知識點解析：暫無解析已知曲線y=x2，19、求該曲線在點(1，1)處的切線方程；標準答案：因為y’=2x，y’(1)=2，所以曲線在點(1，1)處的切線方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1：知識點解析：暫無解析20、求該曲線和該切線及直線y=0所圍成的平面圖形的面積S；標準答案：所圍平面圖形如圖3-15所示。則S=∫01[(1/2)(y+1)-]dy=[(1/4)(y+1)2-(2/3)y3/2]｜x01=1/12；知識點解析：暫無解析21、求上述平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積V。標準答案：切線y=2x-1與x軸的交點為(1/2，0)，則V=∫01π(x2)2dx-(π/3)·12·(1-1/2)=π/30。知識點解析：暫無解析設函數f(x)=。22、求曲線y=f(x)的水平漸近線方程；標準答案：所以曲線y=f(x)的水平漸近線方程為y=1；知識點解析：暫無解析23、求由曲線y=f(x)和直線x=1，x=2及y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積V。標準答案：由題意得所求體積V=π∫12f2(x)dx=π∫12[(x3+1)/x(x+1)2]dx=π∫12[(x2-x+1)/x(x+1)]dx=π∫12[x/(x+1)-1/(x+1)+1/x(x+1)]dx=π∫12[(x+1-1)/(x+1)-1/(x+1)+(x+1-x)/x(x+1)]dx=π∫12[1+1/x-3/(x+1)]dx=π[x+lnx-3ln(x+1)]｜12=(1+4ln2-3ln3)π知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第2套一、填空題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、定積分∫0π/6[x/(1+cos2x)]dx=__________。標準答案：知識點解析：∫0π/6[x/(1+cos2x)]dx=(1/2)∫0π/6(x/cos2x)dx=(1/2)∫0π/6xd(tanx)=(1/2)(xtanx｜0π/6)-∫0π/6tanxdx)=(1/2)(xtanx｜0π/6+ln｜cosx｜｜0π/6)=2、設f(x)在[0，π]上具有二階連續導數，f(π)=2，且∫0π[f(x)+f″(x)]sinxdx=5，則f(0)=__________。標準答案：3知識點解析：∫0π[f(x)+f″(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf″(x)sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+f’(x)sinx｜0π-∫0πf’(x)·cosxdx=∫0πf(x)sinxdx-f(x)cosx｜0π-∫0πf(x)sinxdx=f(π)+f(0)=2+f(0)=5，故f(0)=33、已知f’(x)∫02f(x)=50，且f(0)=0，則f(x)=__________。標準答案：±5x知識點解析：令∫02f(x)dx=A，則由題意得f’(x)=50/A，進而f(x)=(50/A)x+C。又f(0)=0，得C=0，于是f(x)=(50/A)x，∫02fx(dx)=∫02(50/A)xdx=(25/A)x2｜02=100/A=A，此可得A=10，則f(x)=±5x4、∫0+∞[x/(1+x2)2]dx=__________。標準答案：1/2知識點解析：5、當p__________。時，廣義積分∫1+∞[xp/(1+x)]dx收斂。標準答案：＜0知識點解析：6、廣義積分∫11+∞=__________。標準答案：π/6知識點解析：令=t，則x=t2+2，dx=2tdt，那么∫11+∞=2∫3+∞[1/(t9+9)]dt=(2/3)(arctan(t/3))｜3+∞=π/67、廣義積分∫1+∞(arctanx/x2)dx=__________。標準答案：π/4+(1/2)ln2知識點解析：∫1+∞(arctanx/x2)dx=-∫1+∞arctanxd(1/x)=(-1/x)arctanx｜1+∞+∫1+∞[1/x(1+x2)]dx8、廣義積分∫1+∞=__________。標準答案：2e-1知識點解析：∫1+∞2∫1+∞e-tdt=-2e-t｜1+∞=2ee-19、已知廣義積分∫-∞+∞ek｜x｜，則k=__________。標準答案：-1知識點解析：由于∫-∞+∞ek｜x｜dx=∫-∞0e-kxdx+∫0+∞ekxdx=(-1/k)e-kx｜-∞0+(1/k)ekx｜0+∞=2，故可知當k＜0時，原廣義積分收斂，則∫-∞+∞ek｜x｜dx=-1/k-1/k=2，解得k=-110、已知∫k+∞8e-8xdx=e-16，且k為常數，則k=__________。標準答案：2知識點解析：由于∫k+∞8e-8xdx=-e-8x｜k+∞=e-8k=e-16，因此k=211、廣義積分∫-11是__________的。(填“收斂或“發散”)標準答案：收斂知識點解析：∫-1112、廣義積分∫01=__________。標準答案：π2/8知識點解析：13、廣義積分∫01lnxdx=__________。標準答案：-1知識點解析：∫01lnxdx=∫t1lnxdx=(xlnx｜t1-∫t1·(1/x)dx)=-∫t1dx=-114、設D是由xy+1=0，y+x=0，y=2圍成的有界區域，則D的面積為=__________。標準答案：3/2-ln2知識點解析：如圖3-4所示，xy+1=0，y+x=0，y=2的三個交點坐標分別是(-2，2)，(-1/2，2)，(-1，1)，故所求面積S=∫12[-1/y-(-y)]dy=(-lny+y2/2)｜12=-ln2+2-(0+1/2)=3/2-ln215、若拋物線y2=ax(a＞0)與x=1所圍圖形在第一象限的面積為2/3，則a=__________。標準答案：1知識點解析：所圍面積S=∫01=2/3，解得a=1。16、由曲線y=x/4和直線y=x，y=4x在第一象限圍成的平面圖形的面積為__________。標準答案：4ln2知識點解析：曲線y=4/x與直線y=x及y=4x在第一象限的交點分別為(2，2)，(1，4)，故所求面積S=∫01(4x-1)dx+∫12(4/x-x)dx=(3x2/2)｜01+(4lnx-x2/2)｜12=3/2+4ln2-3/2=4ln217、由y=x3與y=所圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積為__________。標準答案：(5/14)π知識點解析：由解得兩曲線的交點(0，0)，(1，1)，故兩曲線所圍圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V=π∫01(x-x6)dx=π(x2/2-x7/7)｜01=(5/14)π18、曲線y=-2/x在點(2，-1)處的切線與曲線y=-2/x及直線y=-1/2所圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為__________。標準答案：(5/6)π知識點解析：y’(x)=2/x2，y’(2)=1/2，所以曲線y=-2/x在點(2，-1)處的切線方程為y-(-1)=(1/2)(x-2)，即y=(1/2)-2，所以所圍圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V=π∫-1-1/2[(-2/y)2-4(2+y)2]dy=π[-4/y-(4/3)(2+y)3]｜-1-1/2=(5/6)π二、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)19、計算∫13標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算∫01x(+x-2)dx標準答案：∫01x(+x-2)dx=∫01(x3/2+x2-2x)dx=[(2/5)x5/2+(1/3)x3-x2)｜01=-4/15知識點解析：暫無解析21、求∫02t(3t-2x)dt標準答案：∫02t(3t-2x)dt=∫023t2dt-x∫022tdt=t3｜02-xt2｜02=8-4x知識點解析：暫無解析22、求∫-11(2x+)2dx標準答案：知識點解析：暫無解析23、求∫01[1/(1+ex)]dx標準答案：∫01[1/(1+ex)]dx=∫01[1-ex/(1+ex)]dx=x｜01-∫01[1/(1+ex)]d(1+ex)=1-ln(1+ex)｜01=1+ln2-ln(1+e)知識點解析：暫無解析24、計算∫1e[sin(lnx)/x]dx標準答案：∫1e[sin(lnx)/x]dx=∫1esin(lnx)d(lnx)=-cos(lnx)｜1e=1-cos1知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第3套一、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、計算∫0π/2cos7xsinxdx標準答案：∫0π/2cos7xsinxdx=-∫0π/2cos7xd(cosx)=(-1/8)cos8x｜0π/2=1/8知識點解析：暫無解析2、計算∫12標準答案：知識點解析：暫無解析3、求∫0π/4[1/(1+3sin3x)]dx標準答案：∫0π/4[1/(1+3sin2x)]dx=∫0π/4[1/(cos2x+4sin2x)]dx=∫0π/4[sec2x/(1+4tan2x)]dx=∫0π/4[1/(1+4tan2x)]dtanx=(1/2)∫0π/4[1/(1+(2tanx)2)]d(2tanx)=(1/2)arctan(2tanx)｜0π/4(1/2)arctan2知識點解析：暫無解析4、求∫-12標準答案：令=t，則x=t2-2，dx=2tdt，且當x=1時，t=1；當x=2時，t=2，所以∫-12[(x+1)/(1+)]dx=∫12[(t2-1)/(1+t)]·2tdt=∫122(t-1)tdt=2∫12(t2-t)dt=2[(1/3)t3-(1/2)t2]｜12=5/3知識點解析：暫無解析5、求∫1/41/4標準答案：知識點解析：暫無解析6、求∫12(x-1)1/5dx標準答案：∫12x(x-1)1/5dx∫01(t5+1)t·5t4dt=∫01(5t10+5t5)dt=[(5/11)t11+(5/6)t6]｜01=85/66知識點解析：暫無解析7、求定積分∫04cos(-1)dx標準答案：令=t，則x=t2，dx=2tdt。當x=0時，t=0；當x=4時，t=2，故∫04(-1)dx=2∫02tcos(t-1)dt=2∫02tdsin(t-1)t=2tsin(t-1)｜02-2∫02sin(t-1)dt=4sin1+2cos(t-1)｜02=4sin1知識點解析：暫無解析8、求標準答案：知識點解析：暫無解析9、求∫12標準答案：知識點解析：暫無解析10、求標準答案：知識點解析：暫無解析11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、已知f(x)=，求∫-11f(x)dx標準答案：∫-11f(x)dx=∫-10(ex+2)dx+∫01[1/(1+x2)]dx，∫-10(ex+2)dx=(ex+2x)｜-10=3-1/e，∫01[1/(1+x2)]dx=arctanx｜01=π/4，所以∫-10(ex+2)dx=(ex+2x)｜-10=3-1/e，∫01[1/(1+x2)]dx=arctanx｜01=π/4知識點解析：暫無解析13、已知f(x)=，求∫14f(x-2)dx標準答案：令x=2=t，則dx=dt，當x=1時，t=-1；當x=4時，t=2，故知識點解析：暫無解析14、計算∫1/23/2｜x-x2｜dx標準答案：由于｜x-x2｜=｜x(1-x)｜=于是∫1/23/2｜x-x2｜dx=∫1/21(x-x2)dx+∫13/2(x2-x)dx=[(1/2)x2-(1/3)x3]｜1/21+[(1/3)x3-(1/2)x2]｜13/2=1/12+1/6=1/4知識點解析：暫無解析15、求定積分∫0π標準答案：由于==｜sinx｜｜cosx｜，且當0≤x≤π/2時，sinx≥0，cosx≥0；當π/2＜x≤π時，sinx≥0，cosx＜0，所以∫0πdx=∫0πsinx｜cosx｜dx=∫0π/2sinxcosxdx+∫π/2πsinx(-cosx)dx=∫0π/2sinxd(sinx)-∫π/2πsinxd(sinx)=(1/2)sin2x｜0π/2-(1/2)sin2x｜π/2π=1/2-(-1/2)=1知識點解析：暫無解析16、設f(x)=當x＜π/2時，求∫0xtf(x-t)dt。標準答案：∫0xtf(x-t)dt==∫x0(x-u)f(u)d(-u)=x0xf(u)du-∫0xuf(u)du，當x＜π/2時，有∫0xtf(x-t)dt=x∫0xsinudu-∫0xusinudu=-xcosx+x+(ucosu-sinu)｜0x=x-sinx知識點解析：暫無解析17、求定積分∫01exsinxdx標準答案：∫01exsinxdx=∫01sinxdex=exsinx｜01-∫01exd(sinx)=esin1-∫01excosxdx=esin1-∫01cosxdex=esin1-excosx｜01+∫01exd(cosx)=esin1-ecos1+1-∫01exsinxdx，從而∫01exsinxdx=(1/2)(esin1-ecos1+1)知識點解析：暫無解析18、計算∫1ex2lnxdx標準答案：∫1ex2lnxdx=∫1elnxd(x3/3)=(1/3)x3lnx｜1e-∫1e(1/3)x3·(1/x)dx=(1/3)e3-(1/9)x3｜1e=(1/9)(2e3+1)知識點解析：暫無解析19、已知函數f(x)具有二階連續導數，且滿足f(2)=1/2，f’(2)=0及∫02f(x)dx=4，求∫01x2f″(2x)dx標準答案：∫01x2f″(2x)dx=(1/2)∫01x2df’(2x)=(1/2)x2f’(2x)｜01-(1/2)∫012xf’(2x)dx=(1/2)f’(2)-(1/2)∫01xdf(2x)=(-1/2)xf(2x)｜01+(1/2)∫01f(2x)dx-(1/2)f(2)+(1/4)∫02f(u)du=-1/4+1=3/4知識點解析：暫無解析20、設f(2x-1)=xlnx，求∫13f(t)dt標準答案：∫13f(t)dt2∫12f(2x-1)dx=2∫12xlnxdx=∫12lnxdx2=x2lnx｜12-∫12xdx=4ln2-3/2知識點解析：暫無解析21、若連續函數f(x)滿足f(x)=1/(1+x2)+∫01f(t)dt，求f(x)標準答案：設∫01f(t)dt=k，則題中等式兩邊同時在[0，1]上取定積分得k=∫01[1/(1+x2)]dx+k∫01dx=arctanx｜01+k·(1/4)·π·12=π/4+(π/4)k，求得k=π/(4-pπ)，則f(x)=1/(1+x2)+π/(4-π)知識點解析：暫無解析22、設連續函數f(x)滿足f(x)=x2-x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)標準答案：設∫02f(x)dx=a，∫01f(x)dx=b，則f(x)=x2-ax+2b，等式兩邊分別在[0，2]，[0，1]上積分，則∫02f(x)dx=∫02x2dx-a∫02xdx+2b∫02dx，所以3a-4b=8/3，∫01f(x)dx=∫01x2dx-a∫01xdx=+2b∫01dx，所以(1/2)a-b=1/3，解得a=4/3，b=1/3，故f(x)=x2-(4/3)x+2/3知識點解析：暫無解析23、求[1/(x-1)]∫1x[sin(t2-1)/(t-1)]dt標準答案：知識點解析：暫無解析24、計算標準答案：知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第4套一、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、不定積分∫[(x+1)/(x2-2x+5)]dx=__________。標準答案：(1/2)ln(x2-2x+5)+arctan[(x-1)/2]+C知識點解析：∫[(x+1)/(x2-2x+5)]dx=(1/2)∫[(2x-2+4)/(x2-2x+5)]dx=(1/2)∫[(2x-2)/(x2-2x+5)]dx+2∫[1/(x2-2x+5)]dx=(1/2)∫[d(x2-2x+5)/(x2-2x+5)]+2∫[d(x-1)/((x-1)2+22)]=(1/2)ln(x2-2x+5)+arctan[(x-1)/2]+C2、不定積分∫[(1+2x3)/x2(1+x2)]dx=__________。標準答案：-1/x+arctanx+C知識點解析：∫[(1+2x2)/x2(1+x2)]dx=∫[((1+x2)+x2)/(x2(1+x2))]dx=∫(1/x2)dx+∫[1/(1+x2)]dx+∫[1/(1+x2)]dx=-1/x+arctanx+C3、不定積分=__________。標準答案：(2/3)(x-3)3/2+6+C知識點解析：令t=，則x=t2+3，dx=2tdt，于是∫[x/]dx=∫[(t2+3)/t]·2tdt=2∫(t3+3)dt=2(t3/3+3t)+C=(2/3)t3+6t+C=(2/3)(x-3)3/2+6+C4、不定積分=__________。(a＞0)標準答案：(a2/2)arcsin(x/a)-(1/2)x+C知識點解析：=a2∫[(1-cos2t)/2]dt=a2(t/2-sin2t/4)+C=a2(t/2-(sint·cost)/2)+C=(a2/2)arcsin(x/a)-(1/2)x+C5、設f(x)=e-x，則∫xf’(x)dx=__________。標準答案：(x+1)e-x+C知識點解析：∫xf’(x)dx=∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=xe-x-∫e-xdx=(x+1)e-x+C6、已知f″(x)連續，則不定積分∫xf″(x)dx=__________。標準答案：xf’(x)-f(x)+C知識點解析：∫xf″(x)dx=∫xddf’(x)=xf’(x)-∫f’(x)dx=xf’(x)-f(x)+C7、不定積分∫xln(x-1)dx=__________。標準答案：(x2/2)ln(x-1)-x2/4-x/2-ln(x-1)/2+C知識點解析：∫xln(x-1)dx=∫ln(x-1)d(x2/2)=(x3/2)ln(x-1)-(1/2)∫x2·[1/(x-1)]dx=(x2/2)ln(x-1)-∫(1/2)∫[(x2-1+1)/(x-1)]dx=(x2/2)ln(x-1)-(1/2)∫[x+1+1/(x-1)]dx=(x2/2)ln(x-1)-x2/4-x/2-ln(x-1)/2+C8、不定積分∫xtan2xdx=__________。標準答案：xtanx+ln｜cosx｜-(1/2)x2+C知識點解析：∫xtan2xdx=∫x(sec2x-1)dx=∫xd(tanx)-(1/2)x2=xtanx-∫tanxdx-(1/2)x2=xtanx+ln｜cosx｜-(1/2)x2+C二、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)9、計算不定積分∫(x-1/2-e3x)dx。標準答案：∫(x-1/2-e3x)dx=∫x-1/2dx-∫e3xdx=2x1/2-(1/3)e3x+C知識點解析：暫無解析10、計算不定積分。標準答案：=∫(x5/6-x-5/6)dx=(6/11)x11/6-6x1/6+C知識點解析：暫無解析11、計算不定積分。標準答案：知識點解析：暫無解析12、求不定積分∫[e2x/(1+e4x)]dx。標準答案：∫[e2x/(1+e4x)]dx=(1/2)∫[1/(1+(e2x))2]de2x+C知識點解析：暫無解析13、計算不定積分。標準答案：知識點解析：暫無解析14、求不定積分。標準答案：∫[cos(3+2/x)/x2]dx=-∫cos(3+2/x)d(1/x)=(-1/2)∫cos(3+2/x)d(2/x)=(-1/2)∫cos(3+2/x)d(3+2/x)=(-1/2)sin(3+2/x)+C知識點解析：暫無解析15、計算不定積分∫[1/x4(1+x2)]dx。標準答案：∫[1/x4(1+x2)]dx=∫[((1+x2)-x2))/(x4(1+x2))]dx=∫[1/x4-1/x2(1+x2)]dx=∫[1/x4-1/x2+1/(1+x2)]dx=-1/3x3+1/x+arctanx+C知識點解析：暫無解析16、計算不定積分∫[(xinx-cosx)/(sinx+cosx)]dx。標準答案：∫[(sinx-cosx)/(sinx+cosx)]dx=-∫[(cosx+sinx)’/(sinx+cosx)]dx=-ln｜cosx+sinx｜+C知識點解析：暫無解析17、計算不定積分∫[sinxcosx/(1+cos4x)]dx。標準答案：∫[sinxcosx/(1+cos4x)]dx=-∫[cosx/(1+cos4x)]d(cosx)=(-1/2)∫[1/(1+cos4x)]d(cos2x)=(-1/2)∫[1/(1+(cos2x))2]d(cos2x)=(-1/2)arctan(cos2x)+C知識點解析：暫無解析18、計算不定積分∫cos22xdx。標準答案：∫cos22xdx=∫[(1+cos4x)/2]dx=(1/2)∫dx+∫(cos4x/2)dx=(1/2)x+(1/8)∫cos4xd(4x)=(1/2)x+(1/8)sin4x+C知識點解析：暫無解析19、計算不定積分∫sin3xdx。標準答案：∫sin3xdx=-∫sin2xd(cosx)=-∫(1-cos2x)d(cosx)=-(cosx-(1/3)cos3x)+C=cos3x/3-cosx+C知識點解析：暫無解析20、計算不定積分∫sec6xdx。標準答案：∫sec6xdx=∫sec4x·sec2xdx=∫(tan2x+1)2d(tanx)=∫(tan4x+2tan2x+1)d(tanx)=(1/5)tan5x+(2/3)tan3x+tanx+C知識點解析：暫無解析21、計算不定積分∫tan(x+1)dx。標準答案：∫tan(x+1)dx=∫[sin(x+1)/cos(x+1)]dx=-∫[1/cos(x+1)]d[cos(x+1)]=-ln｜cos(x+1)｜+C知識點解析：暫無解析22、計算∫[1/(1+cos2x)]dx。標準答案：∫[1/(1+cos2x)]dx=∫(1/2cos2x)dx=(1/2)∫sec2xdx=(1/2)tanx+C知識點解析：暫無解析23、計算不定積分∫[cos2x/(cosx-sinx)]dx。標準答案：∫[cos2x/(cosx-sinx)]dx=∫[(cos2x-sin2x)/(cosx-sinx)]dx=∫(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C知識點解析：暫無解析24、計算不定積分∫(1/sin2x)dx。標準答案：∫(1/sin2x)dx=∫(dx/2sinxcosx)=(1/2)∫(sec/2sinxcosx)=(1/2)∫(sec2x/tanx)dx=(1/2)∫[d(tanx)/tanx]=(1/2)ln｜tanx｜+C知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第5套一、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、證明：方程4x-2-∫0xdt=0在區間(0，1)內有且僅有一個實數根。標準答案：設F(x)=4x-2-∫0xdt，x∈[0，1]，顯然F(x)在區間[0，1]上連續，且F(0)=-2＜0，F(1)=2-∫01dt＞2-∫01dt=1＞0，故由零點定理可知，至少存在一點ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即原方程在(0，1)內至少有一個根；又因為F’(x)=4-＞0，x∈(0，1)，故F(x)在區間[0，1]上單調增加，那么F(x)=0在區間(0，1)內至多有一個根。綜上可得，方程4x-2-∫0xdt=0在區間(0，1)內有且僅有一個實根。知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)2、求標準答案：知識點解析：暫無解析3、求標準答案：知識點解析：暫無解析4、已知y=y(x)是由∫0ye2tdt=sintdt+cosy2確定的函數，求dy。標準答案：等式兩邊對x求導得e2y·y’=sinx3·3x2+(-siny2)·2yy’，所以y’=3x2sinx3/(e2y+2ysiny2)，故dy=[3x2sinx3/(e2y+2ysiny2)]dx知識點解析：暫無解析5、求曲線在t=0的對應點處的切線方程。標準答案：由于dy/dt=[4at(1+t2)-2t·2at2]/(1+t2)2=4at/(1+t2)2，dx/dt=5at/(1+t2)2，所以dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=4/5，又t=0時，y=0，x=0，故所求切線方程為y-0=(4/5)(x-0)，即y=(4/5)x。知識點解析：暫無解析6、設f(x)是在(0，+∞)上的可導函數，且滿足f(x)=1+(1/x)∫1xf(t)dt，求f(x)。標準答案：因f(x)=1+(1/x)∫1xf(t)dt(x＞0)可導，在該式兩邊同乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，上式兩邊對x求導得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，所以f’(x)=1/x，積分得f(x)=lnx+C，再由x=1時，f(1)=1，得C=1，故f(x)=lnx+1。知識點解析：暫無解析7、已知f(x)=∫1x[ln(t+1)/t]dt，求∫13f’(x)dx。標準答案：由題意得f’(x)=ln(x+1)/x，則知識點解析：暫無解析8、設f(x)連續，φ(x)=∫01f(xt)dt，且[f(x)/x]=A(A為常數)，求φ’(x)并討論φ’(x)在x=0處的連續性。標準答案：由題設知f(0)=0，φ(0)=0。令u=xt，得φ(x)=[∫0xf(u)du/x](x≠0)，從而φ’(x)=[(xf(x)-∫0xf(u)du)/x2](x≠0)從而知=φ’(x)在x=0處連續。知識點解析：暫無解析9、求函數的單調區間和極值。標準答案：函數y的定義域為(-∞，+∞)，y’=2x()，令y’=0，得x=0，當x＜0時，y’＜0；當x＞0時，y’＞0，故函數y的單調增加區間為(0，+∞)，單調減少區間為(-∞，0)，極小值為y(0)=0。知識點解析：暫無解析10、求曲線f(x)=∫2x的凹凸區間和拐點。標準答案：函數f(x)的定義域為(-∞，+∞)。令f”(x)=0得x=2，此時f(2)=0，當x＜2時，f(x)＜0；當x＞2時，f”(x)＞0。故曲線f(x)的凸區間為(-∞，2)，凹區間為(2，+∞)，拐點為(2，0)。知識點解析：暫無解析11、計算∫a+∞(a＞0)。標準答案：∫a+∞(1/x3)dx=(1/2t2-1/2a2)=1/2a2知識點解析：暫無解析12、討論∫-∞+∞[2x/(1+x2)]dx的斂散性。標準答案：因為∫0+∞[2x/(1+x2)]dx=∫0+∞[1/(1+x2)]d(1+x2)｜0+∞=+∞，所以∫0+∞[2x/(1+x2)]dx發散，故∫-∞+∞[2x/(1+x2)]dx也發散。知識點解析：暫無解析13、計算∫2/π+∞(1/x2)cos(1/x)dx標準答案：∫2/π+∞(1/x2)cos(1/x)dx=-∫2/π+∞cos(1/x)d(1/x)=-sin(1/x)｜2/π+∞=sin(π/2)-sin(1/x)=1知識點解析：暫無解析14、計算∫0+∞e-xcosxdx標準答案：∫0+∞e-xcosxdx=-∫0+∞cosxd(e-x)=-[e-xcosx｜0+∞-∫0+∞e-xd(cosx)]=-(0-1+∫0+∞e-xsinxdx)=1-∫0+∞e-xsinxdx=1+∫0+∞sinxd(e-x)=1+[e-xsinx｜0+∞-∫0+∞e-xd(sinx)]=1+(0-∫0+∞e-xcosxdx)=1-∫0+∞e-xcosxdx所以2∫0+∞e-xcosxdx=1，∫0+∞e-xcosxdx=1/2知識點解析：暫無解析15、求廣義積分∫-∞+∞[dx/(x2+2x+3)]標準答案：∫-∞+∞[dx/(x2+2x+3)]=∫-∞+∞[dx/((x+1)2+2)]=(1/)arctan[(x+1)/]｜-∞+∞=知識點解析：暫無解析16、計算廣義積分∫1+∞標準答案：∫1+∞=∫1+∞[1/x(1+x4)]dx=∫1+∞[1/x-(x2/(1+x4))dx]=[lnx-(1/4)ln(1+x4)]｜1+∞=(1/4)ln[x4/(1+x4)]｜1+∞=(1/4)ln2知識點解析：暫無解析17、若∫01(dx/xP-2)+∫1+∞x1-2Pdx存在，P為整數，求P的值。標準答案：由題意可知廣義積分∫01(dx/xP-2)和∫1+∞dx均收斂，當P=3時，∫01(dx/xP-2)發散；當P=1時，∫1+∞x1-2Pdx發散。當P≠3時，若∫01(dx/xP-2)=(x3-P/(3-P))｜01收斂，則有3-P＞0，P＜3；當P≠1時，若∫1+∞x1-2Pdx=(x2-2P/(2-2P))｜1+∞收斂，則有2-2P＜0，即即P＞1。綜上所述，1＜P＜3，又P為整數，故P=2。知識點解析：暫無解析18、已知[(x-a)/(x+a)]x=∫a+∞4x2e-2xdx，其中a≠0，求常數a的值。標準答案：左端=(1-2a/(x+a))x==e-2a。右端=-2∫a+∞x2d(e-2x)=-2x2e-2x｜a+∞+4∫a+∞xe-2xdx=2a2e-2a-2∫a+∞xd(e-2x)=2a2e-2a-2xe-2x｜a+∞+2∫a+∞e-2xdx=2a2e-2a+2ae-2a-e-2x｜a+∞=2a2e-2a+2ae-2a+e-2a。于是，由e-2a=2a2e-2a+2ae-2a+e-2a得1=2a2+2a+1，因為a≠0，所以a=-1。知識點解析：暫無解析19、計算∫01標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算∫1e標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算∫-10(e1/x/x2)dx標準答案：∫-10(e1/x/x2)dx=∫-1t(e1/x/x2)dx=-∫-1te1/xd(1/x)=-e1/x｜-1t=e-1知識點解析：暫無解析22、計算∫12標準答案：∫-10∫01[(t2+1)2/t]·2tdt=2∫01(t4+2t2+1)dt=2((1/5)t5+(2/3)t3+t)｜01=56/15知識點解析：暫無解析設函數f(x)=∫lnx2dt。求:23、f’(e2)；標準答案：知識點解析：暫無解析24、定積分。標準答案：知識點解析：暫無解析設f(x)是(-∞，+∞)內的連續奇函數，且單調遞增，F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt，證明：25、F(x)是奇函數；標準答案：因為F(x)的定義域為(-∞，+∞)，關于原點對稱，且F(-x)=∫0-x(-x-2t)f(t)dt-∫0x(-x+2u)f(-u)du=-∫0x(x-2u)f(u)du=-F(x)，所以F(x)為奇函數；知識點解析：暫無解析26、F(x)是[0，+∞)上的單調遞減函數。標準答案：F(x)=x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt，且f(x)單調遞增，故由定積分中值定理可知，至少存在一點ξ∈(0，x)，有F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=xf(ξ)-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)]＜0(ξ∈(0，x))。所以F(x)為[0，+∞)上的單調遞減的函數。知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第6套一、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、計算不定積分∫(tanθ+cotθ)2dθ。標準答案：∫(tanθ+cotθ)2dθ=∫(tan2θ+2+cot2θ)dθ=∫(sec2θ+csc2θ)dθ=tanθ-cotθ+C知識點解析：暫無解析2、計算不定積分∫sec3xtan3xdx。標準答案：因為secxtanxdx=d(secx)，所以∫sec3xtan3xdx=∫sec2xtan2xd(secx)=∫sec2x(sec2x-1)d(secx)=∫(sec4x-sec2x)d(secx)=(1/5)sec5x-(1/3)sec3x+C知識點解析：暫無解析3、計算不定積分∫[csct/(2csc2t-1)]dt。標準答案：∫[csct/(2csc2t-1)]dt=∫[sint/(2-sin2t)]dt=-∫[1/(1+cos2t)]d(cost)=-arctan(cost)+C知識點解析：暫無解析4、求不定積分∫[cosx/(2sinx+3cosx)]dx。標準答案：令I=∫[cosx/(2sinx+3cosx)]dx，J=∫[sinx/(2sinx+3cosx)]dx，則3I+2J=∫[3cosx/(2sinx+3cosx)]dx+∫[2sinx/(2sinx+3cosx)]dx=∫dx=x+C12I-3J=∫[2cosx/(2sinx+3cosx)]dx-∫[3sinx/(2sinx+3cosx)]dx=∫[d(2sinx+3cosx)/(2sinx+3cosx)]=ln｜2sinx+3cosx｜+C2，于是∫[cosx/(2sinx+3cosx)]dx=(3/13)x+(2/13)ln｜2sinx+3cosx｜+C，其中C=(3/13)C1+(2/13)C2知識點解析：暫無解析5、計算。標準答案：知識點解析：暫無解析6、求不定積分。標準答案：知識點解析：暫無解析7、計算。標準答案：知識點解析：暫無解析8、求∫[1/(e2x-e-2x)]dx標準答案：∫[1/(e2x-e-2x)]dx=∫[e2x/(e4x-1)]dx=(1/2)∫[1/(e4x-1)]de2x=(1/4)∫[1/(e2x-1)-1/(e2x+1)]de2x=(1/4)ln｜(e2x-1)/(e2x+1)｜+C知識點解析：暫無解析9、求不定積分∫[x2/(1-x)100]dx。標準答案：令I-x=t，則dx=-dt∫[x2/(1-x)100]dx=∫[(1-t)2/t100](-dt)=-∫[(t2-2t+1)/t100]dt=-∫t-98dt+2∫t-99dt-∫t-100dt=(1/97)t-97-2×(1/98)t-98+(1/99)t-99+C=1/[97(1-x)97]-1/[49(1-x)98]+1/[99(1-x)99]+C知識點解析：暫無解析10、若∫f(x)e-1/xdx=e-1/x+C，求∫f(x)dx。標準答案：由∫f(x)e-1/xdx=e-1/x+C兩端對x求導，得f(x)e-1/x·(1/x2)，所以f(x)=1/x2，故∫f(x)dx=∫(1/x2)dx=(-1/x)+C知識點解析：暫無解析11、設∫f(x)dx=arcsinx+C，求∫[1/f(x)]dx。標準答案：知識點解析：暫無解析12、設f’(sin2x)=cos2x+tan2x，求f(x)。標準答案：由于f’(sin2x)=1-2sin2x+sin2x/(1-sin2x)，所以f’(x)=1-2x+x/(1-x)=1/∫(1-x)-2x，故f(x)=∫[1/(1-x)-2x]dx=-ln｜1-x｜-x2+C知識點解析：暫無解析13、設f(x2-1)=ln[x2/(x2-2)]，且f[(φ(x)]=lnx，求∫φ(x)dx。標準答案：因為f(x2-1)=ln[((x2-1)+1)/((x2-1)-1)]，所以f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]又f[φ(x)]=ln[(φ(x)+1)/(φ(x)-1)]=lnx，從而[(φ(x)+1)/(φ(x)-1)]=x，則φ(x)=2/(x-1)+1。于是∫φ(x)dx=∫[2/(x-1)+1]dx=2ln｜x-1｜+x+C知識點解析：暫無解析14、設連續函數f(x)滿足f(x)=4x3+2x+3f(x)，求∫f(x)dx。標準答案：令f(x)=A，則f(x)=4x3+2x+3A，等式兩邊同時取x→1時的極限，得f(x)=4x3+2x+3A，即有A=4+2+3A，解得A=-3，故f(x)=4x3+2x-9，因此∫f(x)dx=∫(4x3+2x-9)dx=x4+x2-9x+C知識點解析：暫無解析15、計算不定積分。標準答案：令t=，x=3-t2，dx=-2tdt，則原式=∫[-2t/(4-3+t2)t]dt=-2∫[1/(1+t2)]dt=2arctant+C=-2arctan+C知識點解析：暫無解析16、計算不定積分。標準答案：令t=，x=ln(t2+1)，dx=[2t/(t2+1)]dt，則原式=∫[2t2/(t2+1)]dt=∫[(2t2+2-2)/(t2+1)]dt=∫[2-2/(t2+1)]dt=2t-2arctant+C=2-2arctan+C知識點解析：暫無解析17、計算。標準答案：∫[(1+t3)/(t2+t)]·6t5dt=6∫(t6-t5+t4)dt=6∫(t2-t+1)t4dt=6∫(t6-t5+t4)dt=(6/7)t7-t6+(6/5)t5+C=(6/7)x7/6-x+(6/5)x5/6+C知識點解析：暫無解析18、求不定積分。標準答案：令t=，則x=(t2+1)/2，故∫[(x-1)(1+)]dx=∫[((1+t)/2-1)/(1+t)]·tdt=(1/2)∫(t2-t)dt=(1/2)∫(t2-t)dt=(1/6)t3-(1/4)t2+C=(1/6)(2x-1)3/2-(1/4)(2x-1)+C1=(1/6)(2x-1)3/2-(1/2)x+C，其中C=C1+1/4知識點解析：暫無解析19、計算。標準答案：令x=3sint(-π/2＜t＜π/2)，則t=arcsin(x/3)，dx=3costdt，故原式=∫[(3·3sint+2)/3cost]·3costdt=∫(9sint+2)dt=-9cost+2t+C=-3+2arcsin(x/3)+C知識點解析：暫無解析20、計算。標準答案：∫cos3tsec2tdt=∫costdt=sint+C=+C知識點解析：暫無解析21、求。標準答案：當x＞1時，令x=sect，0＜t＜π/2，則dx=secttantdt,故=∫[1/(sec·tant)]·sectantdt=∫costdt=sint+C=+C當x＜-1時，令u=-x，則u＞1，du=-dx，故知識點解析：暫無解析22、計算。標準答案：令x=5sint，t∈(-π/2，π/2)，dx=5costdt，∫[1/(25-x2)3/2]dx=∫(1/125cost)·5costdt=(1/25)tant+C=x/+C知識點解析：暫無解析23、計算∫arctan(1/x)dx。標準答案：∫arctanx(1/x)dx=xarctan(1/x)-∫x·[1/(1+1/x2)]·(-1/x2)dx=xarctan(1/x)+∫[x/(x2+1)]dx=xarctan(1/x)+(1/2)ln(1+x2)+C知識點解析：暫無解析24、求∫x2cosxdx。標準答案：∫x2cosdx=∫x2d(sinx)=x2sinx-∫sinxd(x2)=x2sinx-2∫xsinxdx=x2sinx+2∫xd(cosx)=x2sinx+2xcosx-2∫cosxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+C知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第7套一、填空題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、定積分∫-π/4π/4x10tanxdx=__________。標準答案：0知識點解析：因為積分區間關于原點對稱，x10tanx為奇函數。故∫-π/4π/4x10tanxdx=0。2、比較定積分的大小：∫101dx__________∫101dx。標準答案：≥知識點解析：當1≤x≤10時，x2≤x3，則。3、設f(x)=∫0x｜t｜dt，則f’(x)=__________。標準答案：｜x｜知識點解析：f’(x)=｜x｜。4、設F(x)=，則F’(x)=__________。標準答案：知識點解析：5、極限=__________。標準答案：1/10知識點解析：6、已知函數f(x)=，在(-∞，+∞)上連續，則a=__________。標準答案：0知識點解析：因為f(x)在(-∞，+∞)上連續，則f(x)在x=0處連續，故有f(x)=f(0)。所以a==[ln(1+x4)·2x]/5x4=[(x4·2x)/5x4]=07、設函數f(x)連續，F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt，則F’(x)=__________。標準答案：∫0xf(t)dt知識點解析：F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt，則F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫0xf(t)dt。8、已知當x→0時，sintdt與xa是同階無窮小，則常數a=__________。標準答案：4知識點解析：9、已知f(x)連續且∫04xf(2t)dt=4x4，則f(16)=__________。標準答案：32知識點解析：等式兩端對x求導得f(8x)·4=16x3，令8x=16，得x=2，則f(16)=(16×23)/4=32。10、若f(x)＞3，且在區間[0，2]上連續，則函數F(x)=2x+5-∫0xf(t)dt在區間[0，2]上單調__________。(填“遞增”或“遞減”)標準答案：遞減知識點解析：F’(x)=2-f(x)，由于f(x)＞3，則F’(x)＜0，故函數F(x)在區間[0，2]上單調遞減。11、函數f(x)=e-2tdt的極值為__________。標準答案：0知識點解析：由f(x)=e-2t可得f’(x)=2(x-1)。令f’(x)=0，解得駐點x=1，且當x＞1時，f’(x)＞0；當x＜1時，f’(x)＜0。因此，f(x)在x=1處取得極小值，極小值為f(1)=0。12、如果f(x)有一階連續導數，且f(b)=7，f(a)=1，則∫abf’(x)dx=__________。標準答案：6知識點解析：由牛頓-萊布尼茨公式有∫abf’(x)dx=f(x)｜ab=f(a)-f(b)=7-1=6。13、已知函數f(x)=x/(1+x)，則定積分∫12f(1/x)dx=__________。標準答案：ln(3/2)知識點解析：f(1/x)=(1/x)/(1+1/x)=1/(1+x)，則∫12f(1/x)dx=∫12[1/(1+x)]dx=ln(1+x)｜12=ln(3/2)14、定積分∫03｜x-2｜dx=__________。標準答案：5/2知識點解析：∫03｜x-2｜dx=∫02(2-x)dx+∫23(x-2)dx=(2x-x2/2)｜02+(x2/2-2x)｜23=5/215、定積分∫02max{2x-x2，x}dx=__________。標準答案：13/6知識點解析：當x∈[0，2]時，max{2x-x2，x}=∫02max{2x-x2，x}dx=∫01(2x-x2)dx+∫12xdx=(x2-x3/3)｜01+(x2/2)｜01=13/616、設f(x)=e-x，則∫12[f’(lnx)/x]dx__________。標準答案：-1/2知識點解析：由f(x)=e-x知f’(x)=-e-x，因此f’(lnx)=-1/x，所以∫12[f’(lnx)/x]dx=∫12-(1/x2)dx=(1/x)｜12=-1/217、設f(x)=，∫-22f(x)dx=__________。標準答案：13/2知識點解析：∫-22f(x)dx=∫-20dx+∫012xdx=2+[(x+1)2/2]｜01+x2｜12=13/218、定積分∫01xdx=__________。標準答案：(1/2)(e-1)知識點解析：∫01f(x)dx=(1/2)∫01dx=(1/2)｜01=(1/2)(e-1)19、定積分∫0π/2sin3xsin2xdx=__________。標準答案：2/5知識點解析：∫0π/2sin3xsin2xdx=∫0π/22sin3xsinxcosxdx=∫0π/22sin4xdsinx=(2/5)sin5x｜0π/2=2/520、定積分∫04=__________。標準答案：4-2ln3知識點解析：設=t，即x=t2，則dx=2tdt，且當x=0時，t=0；當x=4時，t=2，于是∫04[dx/(1+)]=∫02[2t/(1+t)]dt=2∫02[1-1/(1+t)]dt=2[t-ln(1+t)]｜02=t-2ln321、定積分∫01xexdx=__________。標準答案：1知識點解析：∫01xexdx=∫01xdex=xex｜01-∫01exdx=e-ex｜01=122、定積分∫-11[(tan3x+(arctanx)2))/(1+x2)]dx=__________。標準答案：π3/96知識點解析：∫-11[(tan3x+(arctanx)2)/(1+x2)]dx=∫-11[tan3x/(1+x2)]dx+∫-11[(arctanx)2/(1+x2)]dx=0+2∫01[(arctanx)2/(1+x2)]dx=2∫01(arctanx)2d(arctanx)=(2/3)(arctanx)3｜01=π3/9623、設y=f(x)滿足△y=△x+0(△x)，當△x→0時，o(△x)是比△x高階的無窮小，且f(0)=0，則∫01f(x)dx=__________。標準答案：π/4知識點解析：24、已知函數f(x)在[0，1]上有連續的二階導數，且f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，則定積分∫01xf”(x)dx=__________。標準答案：2知識點解析：∫01xf″(x)dx=∫01xdf’(x)=xf’(x)｜01-∫01f’(x)dx=f’(1)-[f’(1)-f’(0)]=d3-2+1=2廣東專升本數學（一元函數積分學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、下列說法正確的是()A、若f(x)在[a，b]上連續，則∫abf(x)dx一定存在B、若f(x)在[a，b]上不連續，則∫abf(x)dx一定不存在C、若∫abf(x)dx存在，則f(x)在[a，b]上一定連續D、若∫abf(x)dx存在，則f(x)在[a，b]上一定可導標準答案：A知識點解析：由充分條件知A項正確。2、極限n/(n2+i2)=()A、1B、0C、π/4D、π/2標準答案：C知識點解析：[1/(1+(i/n)2)]·(1/n)=∫01[1/(1+x2)]dx=arctanx｜01=π/43、下列四個選項中正確的是()A、(∫abf(x)dx)’=f(x)B、(∫abf(x)dx)’=0C、d(∫abf(x)dx)=[f(b)-f(a)]dxD、(∫abf’(x)dx)’=f’(b)-f’(a)標準答案：B知識點解析：對于定積分∫abf(x)dx，∫abf’(x)dx來說，本質都是一個常數。因此(∫abf(x)dx)’=0，(∫abf’(x)dx)’=0。故選B。4、若函數f(x)在區間[a，b]上連續，則下列結論中正確的是()A、在區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(ξ)=0B、在區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=0C、在區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)D、在區間[a，b]上至少存在一點ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)標準答案：D知識點解析：由積分中值定理可知，在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)至少存在一點ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。5、定積分∫-55dx=()A、(25/8)πB、(25/4)πC、(25/2)πD、25π標準答案：C知識點解析：∫-55表示的是圓心在原點、半徑為5的上半圓域的面積，故∫-55=(1/2)·25π=(25/2)π。6、函數f(x)=cos(x/2)在區間[0，π]上的平均值為()A、-2/πB、2/πC、π/2D、1標準答案：B知識點解析：由積分中值定理得∫0πcos(x/2)dx=f(ξ)(π-0)(0≤ξ≤π)，所以平均值為f(ξ)=[∫0πcos(x/2)dx]/(π-0)=[2sin(x/2)｜0π]/π=2/π7、已知函數f(x)在區間[0，a](a＞0)上連續，f(0)＞0，且在(0，a)內恒有f’(x)＞0。設S1=∫0af(x)dx，S2=af(0)，則S1與S2的關系是()A、S1＜S2B、S1=S2C、S1＞S2D、不確定標準答案：C知識點解析：由f’(x)＞0在(0，a)內恒成立知f(x)在(0，a)內單調遞增，如圖3-2，由定積分的幾何意義知，s1代表曲邊梯形Oacd的面積，s2代表矩形Oabd的面積，即s1＞s2，故選C。8、設函數f(x)在[a，b]上連續且f(x)＞0，則()A、∫abf(x)dx＞0B、∫abf(x)dx＜0C、∫abf(x)dx=0D、∫abf(x)dx的符號無法確定標準答案：A知識點解析：由于函數f(x)在區間[a，b]上連續，且連續f(x)＞0，則由定積分的性質知∫abf(x)dx＞0。9、下列各式中正確的是()A、∫01x3dx≥∫01x2dxB、∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dxC、(d/dx)∫abarcsinxdx=arcsinb-arcsinaD、∫34lnxdx≥∫34(lnx)2dx標準答案：B知識點解析：對于選項A，當0≤x≤1時，x3≤x2，則∫01x3dx≤∫01x2dx。對于選項B，當1≤x≤2時，0≤lnx＜1，lnx≥(lnx)2≥0，則∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dx對于選項C，(d/dx)∫abarcsinxdx=0(因為∫abarcsinxdx是一個常數)。對于選項D，當3≤x≤4時，lnx＞1，則lnx＜(lnx)2，故∫34lnxd＜∫34(lnx)2dx二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)10、求。標準答案：知識點解析：暫無解析11、計算不定積分∫(lnx/x)2dx。標準答案：∫(lnx/x)2dx=-∫ln2xd(1/x)=-[(1/x)ln2x-∫(1/x)·2lnx·(1/x)dx]=-[(1/x)ln2x+∫2lnxd(1/x)]=-[(1/x)ln2x+(2/x)lnx-∫(2/x2)dx]=-[((1/x)ln2x+(x/2)lnx+2/x]+C=(-1/x)(ln2x+2lnx+2)+C知識點解析：暫無解析12、計算∫(x+1)e3x-1dx。標準答案：∫(x+1)e3x-1dx=(1/3)∫(x+1)de3x-1=(1/3)(x+1)e3x-1-(1/3)∫e3x-1dx=(1/3)(x+1)e3x-1-(1/9)e3x-1+C=(1/9)(3X+2)e3x-1+C知識點解析：暫無解析13、求∫(xsinx/cos3x)dx。標準答案：∫(xsinx/cos3x)dx=-∫(x/cos3x)d(cosx)=(1/2)∫xd(cosx)-2=(1/2)[x/cos2x-∫(1/cos2x)]=x/2cos2x-(1/2)tannx+C知識點解析：暫無解析14、計算∫sinxcosxdx。標準答案：∫xsinxcosxdx=(1/2)∫xsin2xdx=(-1/4)∫xd(cos2x)=(-1/4)xcos2x+(1/4)∫cos2xdx=(-1/4)xcos2x+(1/8)sin2x+C知識點解析：暫無解析15、計算∫excosxdx。標準答案：∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx=exsinx-∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=exsinx+excosx-∫excosxdx，故∫excosxdx=(1/2)ex(sinx+cosx)+C知識點解析：暫無解析16、計算∫cos(lnx)dx。標準答案：∫cos(lnx)dx=xcos(lnx)-∫xdcos(lnx)=xcos(lnx)+∫xsin(lnx)·(1/x)dx=xcos(lnx)+∫sin(lnx)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫xcos(lnx)·(1/x)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx，故∫cos(lnx)dx=(x/2)cos(lnx)+sin(lnx)]+C知識點解析：暫無解析17、求不定積分∫xln(1+x2)dx。標準答案：∫xln(1+x2)dx=(1/2)∫(1+x2)d(1+x2)ln(1+x2)-∫xdx=(1/2)(x2+1)ln(1+x2)-(1/2)x2+C知識點解析：暫無解析18、設f(lnx)=[ln(1+x)/x]，計算∫f(x)dx。標準答案：令lnx=t，則x=et，f(t)=[ln(1+et)/et]，所以∫f(x)dx=∫[(ln(1+ex))/ex]dx=-∫ln(1+ex)de-x=-e-xln(1+ex)+∫[1/(1+ex)]dx=-e-xln(1+ex)+∫[1-ex/(1+ex)]dx=-e-xln(1+ex)+x-ln(1+ex)+C=x-(1+e-x)ln(1+ex)+C知識點解析：暫無解析19、求不定積分∫[arctanx/x2(1+x2)]dx。標準答案：令∫[arctanx/(x2(1+x2))]dx=∫(arctanx/x2)dx-∫[arctanx/(1+x2)]dx=-∫arctanxd(1/x)-∫arctanxd(arctanx)=(-1/x)arctanx+∫(1/x)·[1/(1+x2)]dx-(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+∫[1/x-x/(1+x2)]dx-(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+∫(1/x)dx-(1/2)∫[1/(1+x2)]d(1+x2)+(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+ln-(1/2)arctan2x+C知識點解析：暫無解析20、求。標準答案：令=t，則x=t2，dx=2tdt，∫dx=∫2tetdt=∫2tdet=2tet-∫2etdt=2tet-2et+C=知識點解析：暫無解析21、求不定積分。標準答案：令=t(t＞1)，則x=ln(t2-1)，dx=[2t/(t2-1)]dt。于是∫[xex/]dx=∫[(t2-1)ln(t2-1)/t]·[2t/(t2-1)]dt=2∫ln(t2-1)dt=2tln(t2-1)-2∫tdln(t2-1)=2tln(t2-1)-4∫[t2/(t2-1)]dt=2tln(t2-1)-4∫[(1+1/(t2-1)]dt=2tln(t2-1)-4t-2∫[1/(t-1)-1/(t+1)]dt=2tln(t2-1)-4t-2ln(t-1)+2ln(t+1)+C=2tln(t2-1)-4t+2ln[(t+1)/(t-1)]+C=知識點解析：暫無解析22、計算∫[(x+1)/(x2+4x+9)]dx。標準答案：原式=(1/2)∫[(2x+2)/(x2+4x+9)]dx=(1/2)∫[((2x+4)-2)/(x2+4x+9)]dx=(1/2)∫[(d(x2+4x+9))/(x2+4x+9)]dx-∫[1/(x2+4x+9)]dx=(1/2)ln｜x2+4x+9｜-∫[1/((x+2)2+5)]d(x+2)=(1/2)ln｜x2+4x+9｜-=(1/2)ln(x2+4x+9)-知識點解析：暫無解析23、求不定積分∫[(5x-2)/(x-1)2(2x+1)]dx。標準答案：設(5x-2)/[(x-1)2(2x+1)]=A/(x-1)+B/(x-1)2+C/(2x+1)通分可得5x-2=A(x-1)(2x+1)+B(2x+1)+C(x-1)2=(2A+C)x2+(-A+2B-2C)x+B+C-A，則有，可解得A=1，B=1，C=2。于是∫[(5x-1)/(x-1)2(2x+1)]dx=∫[1/(x-1)+1/(x-1)2-2/(2x+1)]dx=ln｜x-1｜-1/(x-1)-ln