第04講一元二次函數（方程，不等式）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 3高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） 4高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系 6高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 7角度1：上恒成立（優選法） 7角度2：上成立（優選法） 7角度3：上恒成立（優選分離變量法） 8角度4：上成立（優選分離變量法） 8角度5：已知參數，求取值范圍（優選變更主元法） 8高頻考點五：分式不等式 10高頻考點六：一元二次不等式的應用 11第四部分：典型易錯題型 13備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。 13備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。 13第五部分：新定義題（解答題） 13第一部分：基礎知識1、二次函數（1）形式：形如的函數叫做二次函數.（2）特點：①函數的圖象與軸交點的橫坐標是方程的實根.②當且()時，恒有()；當且()時，恒有().2、一元二次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系判別式二次函數的圖象一元二次方程的根有兩相異實數根，()有兩相等實數根沒有實數根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、單絕對值不等式（1）（2）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·統考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）設函數，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數的取值范圍．例題3．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）解下列關于x的不等式：(1)；(2).練透核心考點1．（2024上·廣東江門·高一統考期末）一元二次不等式的解集為.2．（2024上·湖南岳陽·高一校考期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）典型例題例題1．（2024上·四川南充·高一統考期末）已知函數.(1)若關于的不等式的解集為，求實數，的值；(2)求關于的不等式的解集.例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數.(1)當時，求函數的零點；(2)當時，求不等式的解集.例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）已知函數，其中.(1)若，求實數的值；(2)求不等式的解集.練透核心考點1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設為實數，則關于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．2．（2024上·四川宜賓·高一統考期末）已知集合，集合．(1)當時，求；(2)若，求實數m的取值范圍．3．（2024上·福建寧德·高一統考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求關于的不等式的解集.高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系典型例題例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統考期末）已知關于x的不等式（，）的解集為，則下列結論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為例題2．（2024上·江西萍鄉·高一統考期末）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.練透核心考點1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統考期末）已知關于的一元二次不等式的解集為{或}，則（

）A．且 B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為2．（2024上·湖南·高一校聯考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求實數的值；(2)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.3．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）已知二次函數．(1)若關于的不等式的解集是，求實數，的值；(2)若，，解關于的不等式．高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題角度1：上恒成立（優選法）典型例題例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考階段練習）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．角度2：上成立（優選法）典型例題例題1．（2023上·廣東珠海·高一校聯考期中）命題：，為真命題，則實數的取值范圍為.角度3：上恒成立（優選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯考期中）已知，，，則實數m的取值范圍是（

） B． C． D．角度4：上成立（優選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·浙江·高二校聯考期中）若關于x的不等式在上有解，則實數m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．角度5：已知參數，求取值范圍（優選變更主元法）典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學校考階段練習）已知函數.(1)當時，求的解集；(2)是否存在實數，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.練透核心考點1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學校考期中）（1）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.2．（2024上·福建南平·高一統考期末）設函數．(1)若，求不等式的解集；(2)若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍．3．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）設函數，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數的取值范圍．4．（2024上·四川內江·高一統考期末）已知二次函數的最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區間上的最小值；(3)若關于x的不等式在區間上有解，求實數m的取值范圍．5．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）設定義域為的奇函數，（其中為實數）．(1)求的值；(2)是否存在實數和，使不等式成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．高頻考點五：分式不等式典型例題例題1．（2024上·山東濱州·高一統考期末）已知集合，.(1)當時，求；(2)若，求的取值范圍.例題2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）已知集合，集合.(1)當時，求；(2)若，求實數的取值范圍.練透核心考點1．（2024上·陜西寶雞·高一統考期末）已知集合，集合.(1)當時，求；(2)若是的充分條件，求實數的取值范圍.2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）設全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范圍．高頻考點六：一元二次不等式的應用典型例題例題1．（2023上·貴州貴陽·高一校考階段練習）一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量（單位：輛）與創造的價值（單位：元）之間有如下的關系：.若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以上，則在一個星期內大約應該生產（填寫區間范圍）輛摩托車？例題2．（2024上·全國·高一專題練習）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內的總維修保養費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.(1)求實數的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數）最大？并求出最大值.練透核心考點1．（2024下·西藏·高一開學考試）為發展空間互聯網，搶占6G技術制高點，某企業計劃加大對空間衛星網絡研發的投入.據了解，該企業研發部原有100人，年人均投入a（）萬元，現把研發部人員分成兩類：技術人員和研發人員，其中技術人員有x名（且），調整后研發人員的年人均投入增加4x%，技術人員的年人均投入為萬元.(1)要使調整后的研發人員的年總投入不低于調整前的100人的年總投入，則調整后的技術人員最多有多少人？(2)是否存在實數m，同時滿足兩個條件：①技術人員的年人均投入始終不減少；②調整后研發人員的年總投入始終不低于調整后技術人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.2．（2023上·陜西寶雞·高一寶雞市渭濱中學校考階段練習）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應為多少米？第四部分：典型易錯題型備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。1．（2023上·湖南永州·高一校考階段練習）一元二次不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級中學校校考階段練習）不等式的解集