考研數學二（多元函數微分學）模擬試卷1（共4套）（共102題）考研數學二（多元函數微分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設則f(x,y)在（0,0）處（）。A、連續但不可偏導B、可偏導但不連續C、可微D、一階連續可偏導標準答案：C知識點解析：2、對二元函數z=f(x,y)，下列結論正確的是（）。A、z=f(x,y)可微的充分必要條件是z=f(x,y)有一階連續的偏導數B、若z=f(x,y)可微，則z=f(x,y)的偏導數連續C、若z=f(x,y)偏導數連續，則z=f(x,y)一定可微D、若z=f(x,y)偏導數不連續，則z=f(x,y)一定不可微標準答案：C知識點解析：因為若函數f(x,y)一階連續可偏導，則f(x,y)一定可微，反之則不對，所以若函數f(x,y)偏導數不連續不一定不可微，選C.3、設f(x,y)在有界閉區域D上二階連續可偏導，且在區域D內恒有條件,,則（）。A、f(x,y)的最大值點和最小值點都在D內B、f(x,y)的最大值點和最小值點都在D的邊界上C、f(x,y)的最小值點在D內，最大值點在D的邊界上D、f(x,y)的最大值點在D內，最小值點在D的邊界上標準答案：B知識點解析：若f(x,y)的最大點在D內，不妨設其為M0,則有,因為M0為最大值點，所以AC-B2非負，而在D內有,即AC-B2＜0,所以最大值點不可能在D內，同理最小值點也不可能在D內，正確答案為B.二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、設z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),其中f,g分別二階連續可導和二階連續可偏導，則=_______.標準答案：f’+xf"+xy-1g’1+yxy-1lnxg’1+yx2y-1lnxg"11+2y2xy-1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22知識點解析：由z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxx-1g’1(xy,x2+y2)+2xg’2(xy,x2+y2)=f’+xf"+xy-1g’1+yxy-1lnxg’1+yx2y-1lnxg"11+2y2xy-1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22.5、設f(u,v)一階連續可偏導，f(tx,ty)=t3f(x,y)，且,則f(1,2)=________.標準答案：3知識點解析：f(tx,ty)=t3f(x,y)兩邊對t求導得xf’1(tx,ty)+yf’2(tx,ty)=3t2f(x,y),取t=1,x=1,y=2得f’1(1,2)+2f’2(1,2)=3f(1,2),故f(1,2)=3.6、設z=f(x,y)二階可偏導，,且f(x,0)=1,f’y(x,0)=x,則f(x,y)=_________.標準答案：z=y2+xy+1知識點解析：，因為f’y(x,0)=x,所以Φ（x)=x,即，z=y2+xy+C,因為f(x,0)=1,所以C=1，于是z=y2+xy+1.7、設u=u(x,y)二階連續可偏導，且,若u(x,3x)=x,u’x(x,3x)=x3,則u"xy(x,3x)=________.標準答案：知識點解析：u(x,3x)=x兩邊對x求導得u’x(x,3x)+3u’y(x,3x)=1,再對x求導，得u"xx(x,3x)+6u"xy(x,3x)+9u"yy(x,3x)=0.由,得10u"xx(x,3x)+6u"xy(x,3x)=0,u’x(x,3x)=x3兩邊對x求導得，u"xx(x,3x)+3u"xy(x,3x)=3x2,解得u"xy(x,3x)=6.8、設（ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數的全微分，則a=_______,b=_______.標準答案：a=4,b=-2知識點解析：令P(x,y)=ay-2xy2,Q(x,y)=bx2y+4x+3,因為（ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數的全微分，所以,于是a=4,b=-2.三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)9、設u=f(x,y,xyz),函數z=z(x,y),由確定，其中f連續可偏導，h連續，求.標準答案：知識點解析：暫無解析設u=u(x,y,z)連續可偏導，令.10、若,證明：u僅為θ與Φ的函數。標準答案：知識點解析：暫無解析11、若,證明：u僅為r的函數。標準答案：知識點解析：暫無解析12、求二元函數z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由x軸、y軸及x+y=6所圍成的閉區域D上的最小值和最大值。標準答案：(1)求f(x,y)在區域D邊界上的最值，在L1:y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2:x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3:y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2；由=6x2-24x=0得x=4,因為f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=-64,所以f(x,y)在L3上最小值為-64，最大值為0.（2）在區域D內，由得駐點為（2,1）因為AC-B2＞0且A＜0，所以（2,1）為f(x,y)的極大值點，極大值為f(2,1)=4,故z=f(x,y)在D上的最小值為m=f(4,2)=-64,最大值為M=f(2,1)=4.知識點解析：暫無解析13、設討論f(x,y)在（0,0）處的連續性，可偏導性和可微性。標準答案：0≤∣f(x,y)∣≤∣xy∣,知識點解析：暫無解析設14、f(x,y)在點（0,0）處是否連續？標準答案：因為0≤∣f(x,y)∣≤,所以，故f(x,y)在點（0,0）處連續。知識點解析：暫無解析15、f(x,y)在點（0,0）處是否可微？標準答案：知識點解析：暫無解析16、設.標準答案：知識點解析：暫無解析17、設,其中f(s,t)二階連續可偏導，求du及.標準答案：知識點解析：暫無解析18、設函數f(x,y,z)一階連續可偏導且滿足f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z)。證明：.標準答案：知識點解析：暫無解析19、設.標準答案：知識點解析：暫無解析20、設u=u(x,y)由方程組u=f(x,y,z,t),g=(y,z,t)=0,h(z,t)=0確定，其中f,g,h連續可偏導且.標準答案：方程組由五個變量三個方程組成，故確定了三個二元函數，其中x,y為自變量，由u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0得知識點解析：暫無解析21、設函數z=f(u),方程確定u為x，y的函數，其中f(u),Φ(u)可微，P(t),Φ’(x)連續，且Φ’（u）≠1，求.標準答案：知識點解析：暫無解析22、設z=z(x,y)滿足.證明：.標準答案：知識點解析：暫無解析23、求z=x2+12xy+2y2在區域4x2+y2≤25上的最值。標準答案：知識點解析：暫無解析24、設二元函數f(x,y)=|x-y|Φ(x,y),其中Φ（x,y)在點（0,0）處的某鄰域內連續，證明：函數f(x,y)在點（0,0）處可微的充分必要條件是Φ（0,0）=0.標準答案：知識點解析：暫無解析25、已知二元函數f(x,y)滿足,作變換,且f(x,y)=g(u,v)若,求a,b.標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設f(χ，y)在(0，0)的某鄰域內連續，且滿足＝－3，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標準答案：A知識點解析：因為＝－3，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜＜δ時，＜0．因為當0＜＜δ時，｜χ｜＋y2＞0，所以當0＜＜δ時，有f(χ，y)＜f(0，0)，即f(χ，y)在(0，0)處取極大值，選A．2、設u＝f(χ＋y，χz)有二階連續的偏導數，則＝()．A、f′2＋χf〞11＋(χ＋z)f〞12＋χzf〞22B、χf〞12＋χzf〞22C、f′2＋χf〞12＋χzf〞22D、χzf〞22標準答案：C知識點解析：＝f′1＋zf′2，＝χf〞12＋f′2＋χzf〞22，選C．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)3、設f(χ，y)＝χ3－3χ＋y2＋4y＋1，則f(χ，y)的極值點為_______，極值為_______．標準答案：(1，2)；－5知識點解析：由得或f〞χχ(χ，y)＝6χ，f〞χy(χ，y)＝0，f〞yy(χ，y)＝2，當(χ，y)＝(－1，－2)時，A＝－6，B＝0，C＝2，因為AC－B2＜0，所以(－1，－2)不是f(χ，y)的極值點；當(χ，y)＝(1，－2)時，A＝6，B＝0，C＝2，因為AC－B2＞0且A＞0，所以(1，－2)為f(χ，y)的極小值點，極小值為－5．4、＝_______．標準答案：知識點解析：5、設z＝，則＝_______．標準答案：知識點解析：6、設z＝，則dz＝_______．標準答案：sin2χy(ydχ＋χdy)知識點解析：dz＝sin2χy(ydχ＋χdy)．7、設z＝ln()，則＝_______．標準答案：知識點解析：8、設z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，則＝_______．標準答案：知識點解析：9、設f(χ，y)滿足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，則f(χ，y)＝_______．標準答案：y2＋χy＋1知識點解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)因為f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ，再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y2＋χy＋φ2(χ)，因為f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1．10、z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二階連續可導，則＝_______．標準答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g〞(χ2＋y2)知識點解析：＋2χyg′(χ2＋y2)，＝－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g〞(χ2＋y2)．11、設z＝f(χ2＋y2，)，且f(u，v)具有二階連續的偏導數，則＝_______．標準答案：知識點解析：12、設z＝χyf()，其中f(u)可導，則＝_______．標準答案：2z知識點解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、設f(t)二階可導，g(u，v)二階連續可偏導，且z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，求．標準答案：2f′(2χ－y)＋g′1(χ，χy)＋yg′2(χ，χy)，＝－2f〞(2χ－y)＋χg〞12(χ，χy)＋g′2(χ，χy)＋χyg〞22(χ，χy)．知識點解析：暫無解析14、設z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，且f(u，v)二階連續可偏導，求．標準答案：＝f′1eχsiny＋2χf′2，＝f′1eχcosy＋eχsiny(f〞11eχcosy＋2yf〞12)＋2χ(f〞21eχcosy＋2yf〞22)＝f′1eχcosy＋f〞11e2χsin2y＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22．知識點解析：暫無解析15、設z＝f(χ2＋y2，χy，χ)，其中f(u，v，w)二階連續可偏導，求．標準答案：＝2χf′1＋yf′2＋f′3，＝2χ(2yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(2yf〞21＋χf〞22)＋2yf〞31＋χf〞32＝4χy〞11＋2(χ2＋y2)f〞12＋f′2＋χyf〞22＋2yf〞31＋χf〞32．知識點解析：暫無解析16、設z＝z(χ，y)由χ－yz＋yez－χ－y＝0確定，求及dz．標準答案：方程χ－yz＋yez－χ－y＝0兩邊對χ求偏導得1－y＋yez－χ－y(－1)＝0，解得，方程χ－yz＋yez－χ－y＝0兩邊對y求偏導得y－z＋ez－χ－y＋yez－χ－y(－1)＝0，知識點解析：暫無解析17、設z＝f[z－y＋g(χ－y－z)]，其中f，g可微，求．標準答案：等式z＝f[χ－y＋g(χ－y－z)]兩邊對χ求偏導得＝f′.[1＋g′(1－)]，解得等式z＝f[χ－y＋g(χ－y－z)]兩邊對y求偏導得＝f′.[1＋g′.(－1－)]，解得知識點解析：暫無解析18、設u＝f(z)，其中z是由z＝y＋χφ(χ)確定的χ，y的函數，其中f(χ)與φ(χ)為可微函數．證明：標準答案：，將z＝y＋χφ(z)兩邊對χ求偏導將z＝y＋χφ(z)兩邊對y求偏導得，解侍，則，所以．知識點解析：暫無解析19、設χy＝χf(z)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是χ，y的函數．證明：[χ－g(z)]＝[y－f(z)]．標準答案：χy＝χf(z)＋yg(z)兩邊分別對χ，y求偏導，得y＝f(z)＋χf′(z)及χ＝χf′(z)＋g(z)＋yg′(z)，解得知識點解析：暫無解析20、設z＝f(χ，y)由方程z－y－χ＋χez－y－χ＝0確定，求dz．標準答案：對z－y－χ＋χez－y－χ＝0兩邊求微分，得dz－dy－dχ＋ez－y－χdχ＋χez－y－χ(dz－dy－dχ)＝0，解得dz＝＋dy．知識點解析：暫無解析21、設u＝f(χ，y，z)有連續的偏導數，y＝y(χ)，z＝z(χ)分別由方程eχy－y＝0與ez－χz＝0確定，求．標準答案：方程eχy－y＝0兩邊對χ求導得＝0，解得；方程ez－χz＝0兩邊對χ求導得＝0，解得，則．知識點解析：暫無解析22、設y＝y(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所確定的函數，其中f和F分別具有一階連續導數和一階連續偏導數，求標準答案：z＝χf(χ＋y)及F(χ，y，z)＝0兩邊對χ求導數，得知識點解析：暫無解析23、(1)設y＝y(χ，t)，其中t是由G(χ，y，t)＝0確定的χ，y的函數，且f(χ，t)，G(χ，y，t)一階連續可偏導，求．(2)設z＝z(χ，y)由方程z＋lnz－∫yχdt＝1確定，求．標準答案：(1)將y＝f(χ，t)與G(χ，y，t)＝0兩邊對χ求導得(2)當χ＝0，y＝0時，z＝1．z＋lnz－∫yχdt＝1兩邊分別對χ和y求偏導得＝0兩邊對y求偏導得知識點解析：暫無解析24、設F(χ＋，y＋)＝0且F可微，證明＝z－χy．標準答案：F(χ＋，y＋)＝0兩邊對χ求偏導得F(χ＋，y＋)＝0兩邊對y求偏導得知識點解析：暫無解析25、設變換可把方程6＝0簡化為＝0，其中z二階連續可偏導，求常數a．標準答案：將u，v作為中間變量，則函數關系為χ＝f(u，v)，則有將上述式子代入方程＝0得(10＋5a)＋(6＋a－a2)＝0，根據題意得解得a＝3．知識點解析：暫無解析26、設z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]，其中f二階連續可偏導，φ二階可導，求．標準答案：z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]兩邊關于y求偏導得＝f′1φ′＋f′2，＝－(－f〞11φ′＋f〞12)φ′＋f′1φ〞－f〞21φ〞＋f〞22＝f〞11(φ′)2－2f〞12φ′＋f′1φ〞＋f〞22．知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、函數z＝f(χ，y)在點(χ0，y0)可偏導是函數z＝f(χ，y)在點(χ0，y0)連續的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標準答案：D知識點解析：例如：f(χ，y)＝在點(χ，y)≠(0，0)，在點(0，0)處可偏導，但不連續；又如f(χ，y)＝可在(0，0)處連續，但對χ不可偏導．2、設可微函數f(χ，y)在點(χ0，y0)處取得極小值，則下列結論正確的是()．A、f(χ0，y)在y＝y0處導數為零B、f(χ0，y)在y＝y0處導數大于零C、f(χ0，y)在y＝y0處導數小于零D、f(χ0，y)在y＝y0處導數不存在標準答案：A知識點解析：可微函數f(χ，y)在點(χ0，y0)處取得極小值，則有f′χ(χ0，y0)＝0，f′y(χ0，y0)＝0，于是f(χ0，y)在y＝y0處導數為零，選A．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)3、設z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一階連續可偏導，則＝_______．標準答案：知識點解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)兩邊對χ求偏導得4、設y＝y(χ，z)是由方程eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2確定的隱函數，則＝_______．標準答案：知識點解析：eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2兩邊對z求偏導得，從而5、設z＝f(χ，y)是由e2yz＋χ＋y2＋z＝確定的函數，則＝_______．標準答案：知識點解析：將χ＝，y＝代入e2yz＋χ＋y2＋z＝中得z＝0，e2yz＋χ＋y2＋z＝兩邊求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dχ＋2ydy＋dz＝0，將χ＝，y＝，z＝0代入得．6、設z＝z(χ，y)由dt＝z2＋y2＋z確定，求dz＝_______．標準答案：知識點解析：＝χ2＋y2＋z兩邊分別對χ和y求偏導得7、設z＝z(χ，y)由z＋ez＝χy2確定，則dz＝_______．標準答案：知識點解析：z＋ez＝χy2兩邊求微分得d(z＋ez)＝d(χy2)，即dz＋ezdz＝y2dχ＋2χydy，解得dz＝．8、設z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)，其中f連續可偏導，則＝_______．標準答案：知識點解析：z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)兩邊求χ求偏導得解得9、設z＝χy＋χf()，其中f可導，則＝_______．標準答案：z＋χy知識點解析：10、由方程χyz＋確定的隱函數z＝z(χ，y)在點(1，0，－1)處的微分為dz＝_______．標準答案：dχ－dy知識點解析：χyz＋兩邊求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．11、設f(χ，y，z)＝eχyz2，其中z＝z(χ，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0確定的隱函數，則f′χ(0，1，－1)＝_______．標準答案：1知識點解析：f′χ(χ，y，z)＝y(eχz2＋2ze)，χ＋y＋z＋χyz＝0兩邊對χ求偏導得1＋＝0，將χ＝0，y＝1，z＝－1代入得解得f′χ(0，1，－1)＝1．12、設f(χ，y)可微，且f′1(－1，3)＝－2，f′2(－1，3)＝1，令z＝f(2χ－y，)，則dz｜(1,3)＝_______．標準答案：－7dχ＋3dy知識點解析：則dz｜(1,3)＝－7dχ＋3dy．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、(1)設f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2＋，求f(u，v)，并求．(2)設z＝f(χ，y)由f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2－χy確定，求dz．標準答案：(1)令則從而f(u，v)＝uv＋，于是(2)令則代入得f(u，v)＝，從而z＝f(χ，y)＝χy－χ2＋y2，知識點解析：暫無解析14、(1)求二元函數f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的極值．(2)求函數f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的極值．標準答案：(1)二元函數f(χ，y)的定義域為D＝{(χ，y)｜y＞0}，由得(χ，y)＝(0，)，因為AC－B2＞0且A＞0，所以(0，)為f(χ，y)的極小值點，極小值為f(0，)＝－．由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(－1，0)為f(χ，y)的極小值點，極小值為f(－1，0)＝－1．知識點解析：暫無解析15、求u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值．標準答案：令F＝χ2＋y2＋z2＋λ(－1)，u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值為minu＝知識點解析：暫無解析16、平面曲線L：繞χ軸旋轉所得曲面為S，求曲面S的內接長方體的最大體積．標準答案：曲線L：繞χ軸旋轉一周所得的曲面為S：＝1．根據對稱性，設內接長方體在第一卦限的頂點坐標為M(χ，y，z)，則體積為V＝8χyz．令Fχyz＋λ(－1)，由由實際問題的特性及點的唯一性，當時，內接長方體體積最大，最大體積為V＝ab2．知識點解析：暫無解析17、設z＝f(t2，e2t)，其中f二階連續可偏導，求．標準答案：＝2tf′1＋2e2tf′2，＝2f′1＋2t(2tf〞11＋2e2tf〞12)＋4e2tf′2＋2e2t(2tf〞21＋2e2tf〞22)＝2f′1＋4t2f〞12＋8te2tf〞12＋4e2tf′2＋4e4tf〞22．知識點解析：暫無解析18、設z＝f(eχsiny，χy)，其中f二階連續可偏導，求．標準答案：＝eχsiny.f′1＋y.f′2＝eχcosy.f′1＋eχsiny.(eχcosy.f〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(eχcosy.f〞21＋χf〞22)＝eχcosy.f′1＋e2χsinycosy.f〞11＋eχ(χsiny＋ycosy)f〞12＋f′2＋χyf〞22．知識點解析：暫無解析19、u＝f(χ2，χy，χy2z)，其中f連續可偏導，求．標準答案：＝2χf′1＋yf′2＋y2zf′3，＝χf′2＋2χyzf′3，χy2f′3．知識點解析：暫無解析20、設z＝f(χ，y)在點(1，1)處可微，f(1，1)＝1，f′1(1，1)＝a，f′2(1，1)＝b，又u＝f[χ，f(χ，χ)]，求．標準答案：由＝f′1[χ，f(χ，χ)]＋f′2[χ，f(χ，χ)].[f′1(χ，χ)＋f′2(χ，χ)]得＝f′1[1，f(1，1)]＋f′2[1，f(1，1)].[f′1(1，1)＋f′2(1，1)]＝a＋b(a＋b)＝a＋ab＋b2．知識點解析：暫無解析21、設z＝，求．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設y＝y(χ)，z＝z(χ)由確定，求．標準答案：兩邊對χ求導得解得知識點解析：暫無解析23、設z＝z(χ，y)是由F(χ＋，y＋)＝0所確定的二元函數，其中F連續可偏導，求．標準答案：F(χ＋，y＋)＝0兩邊對χ求偏導得解得；F(χ＋，y＋)＝0兩邊對y求偏導得知識點解析：暫無解析24、求二元函數f(χ，y)＝χ3－3χ2－9χ＋y2－2y＋2的極值．標準答案：由得＝6χ－6，＝0，＝2，當(χ，y)＝(－1，1)時，A＝－12，B＝0，C＝2，因為AC－B2＝－24＜0，所以(－1，1)不是極值點；當(χ，y)＝(3，1)時，A＝12，B＝0，C＝2，因為AC－B2＝24＞0且A＞0，所以(3，1)為極小值點，極小值為f(3，1)＝－26．知識點解析：暫無解析25、求z＝f(χ，y)滿足：dz＝2χdχ－4ydy且f(0，0)＝5．(1)求f(χ，y)；(2)求f(χ，y)在區域D＝{(χ，y)｜χ2＋4y2≤4}上的最小值和最大值．標準答案：(1)由dz＝2χdχ－4ydy得dz＝d(χ2－2y2)，從而f(χ，y)＝χ2－2y2＋C，再由f(0，0)＝5得f(χ，y)＝χ2－2y2＋5．(2)當χ2＋4y2＜4時，由得f(0，0)＝5；當χ2＋4y2＝4時，令(0≤t≤2π)，則f＝4cos2t－2sin2t＋5＝6cos2t＋3，當cost＝0時，fmin＝3；當cost＝±1時，fmax＝9，故最小值為m＝3，最大值M＝9．知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設f(χ，y)＝sin，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、對χ可偏導，對y不可偏導B、對χ不可偏導，對y可偏導C、對χ可偏導，對y也可偏導D、對χ不可偏導，對y也不可偏導標準答案：B知識點解析：因為不存在，所以f(χ，y)在(0，0)處對χ不可偏導；因為＝0，所以f′y(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)處對y可偏導，應選B．2、設f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)都存在，則()．A、f(χ，y)在(χ0，y0)處連續B、f(χ，y)存在C、f(χ，y)在(χ0，y0)處可微D、f(χ，y0)存在標準答案：D知識點解析：多元函數在一點可偏導不一定在該點連續，A不對；函數f(χ，y)＝在(0，0)處可偏導，但f(χ，y)不存在，B不對；f(χ，y)在(χ0，y0)處可偏導是可微的必要而非充分條件，C不對．故應選D，事實上，由f′χ(χ0，y0)＝存在，得f(χ0，y0)＝f(χ0，y0)．3、設f(χ，y)在點(0，0)的某鄰域內連續，且滿足＝－3，則函數f(χ，y)在點(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標準答案：A知識點解析：因為＝－3，根據極限保號性，存在δ＞0，當0＜＜δ時，有＜0，而χ2＋1－χsiny＞0，所以當0＜＜δ時，有f(χ，y)＝f(0，0)＜0，即f(χ，y)＜f(0，0)，所以f(χ，y)在點(0，0)處取極大值，選A．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)4、＝_______．標準答案：e－2知識點解析：5、z＝arctan2，則＝_______．標準答案：知識點解析：6、設z＝(χ2＋y2)χy，則＝_______．標準答案：(χ2＋y2)χy.[yln(χ2＋y2)＋]知識點解析：由z＝(χ2＋y2)χy，得z＝，則7、z＝f(χ2＋y2)，其中f可導，則＝_______．標準答案：0知識點解析：＝2χf′(χ2＋y2)，＝2yf′(χ2＋y2)，則y＝y.2χf′(χ2＋y2)－χ.2yf′(χ2＋y2)＝0．8、設f二階可導，z＝f(χy)，則＝_______．標準答案：－f(χy)＋f′(χy)＋yf〞(χy)知識點解析：9、設z＝f(χ，y)連續且＝0，則dz｜(1,0)＝_______．標準答案：2dχ－dy知識點解析：令ρ＝＋y2，由＝0，得[f(χ，y)－2χ＋y]＝0，于是f(1，0)＝2．再由＝0，得f(χ，y)－2χ＋y＝0(ρ)或f(χ，y)＝2χ－y＋o(ρ)，即△z＝f(χ，y)＝f(1，0)＝2χ－y－2＋o(ρ)＝2(χ－1)－(y－0)＋o(ρ)，由可微的定義得z＝f(χ，y)在點(1，0)處可微，且dz｜(1,0)＝2dχ－dy．10、z＝f(t，t2)，其中f二階連續可偏導，則＝_______．標準答案：2f′2＋f〞11＋4tf〞12＋4t2f〞22知識點解析：＝f′1＋2tf′2，＝f〞11＋2tf〞12＋2f′2＋2f(f〞21＋2tf〞22)＝2f′2＋f〞11＋4tf〞12＋4t2f〞22．11、z＝f(χy，χ2＋y2)，其中f二階連續可偏導，則＝_______．標準答案：f′1＋χyf〞11＋2(χ2＋y2)f〞12＋4χyf〞22知識點解析：＝yf′1＋2χf′2，＝f′1＋y(χf〞11＋2yf〞12)＋2χ(χf〞21＋2yf〞22)＝f′1＋χyf〞11＋2(χ2＋y2)f〞12＋4χyf〞2212、設z＝f(χ，y)二階連續可偏導，且＝χ＋1，f′χ(χ，0)＝2χ，f(0，y)＝sin2y，則f(χ，y)＝_______．標準答案：χ2y＋χy＋χ2＋sin2y知識點解析：由＝χ＋1，得＝χy＋y＋φ(χ)，由f′χ(χ，0)＝2χ，得φ(χ)＝2χ，即＝χy＋y＋2χ；由＝χy＋y＋2χ得z＝χ2y＋χy＋χ2＋h(y)，再由f(0，y)＝sin2y得h(y)＝sin2y，故f(χ，y)＝χ2y＋χy＋χ2＋sin2y．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、設z＝yf(χ2－y2)，其中f可導，證明：標準答案：＝2χyf′(χ2－y2)，＝f(χ2－y2)－2y2f′(χ2－y2)，則＝2yf′(χ2－y2)＋f(χ2－y2)－2y(χ2－y2)＝f(χ2－y2)＝．知識點解析：暫無解析14、設z＝，其中f，g二階可導，證明：＝0．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設u＝f(χ＋y，χ2＋y2)，其中f二階連續可偏導，求標準答案：＝f′1＋2χf′2，＝f′1＋2yf′2，＝f〞11＋2χf〞12＋2f′2＋2χ(f〞21＋2χf〞22)＝f〞11＋4χf〞12＋4χ2f〞22＋2f′2，＝f〞11＋2yf〞12＋2f′2＋2y(f〞21＋2yf〞22)＝f〞11＋4yf〞12＋4y2f〞22＋2f′2，則＝2f〞11＋4(χ＋y)f〞12＋4(χ2＋y2)f〞22＋4f′2．知識點解析：暫無解析16、設z＝f[χg(y)，χ－y]，其中f二階連續可偏導，g二階可導，求標準答