第三章函數的概念與性質3.3冪函數1.通過具體實例,了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.2.結合冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的圖象,理解它們的變化規律.3.能利用冪函數的基本性質解決相關的實際問題.課程標準基礎落實·必備知識一遍過知識點1

冪函數的定義一般地,函數

叫做冪函數,其中x是自變量,α是常數.

α可取任意實數,但現在只研究α為有理數的情形名師點睛冪函數的特征(1)xα的系數為1;(2)xα的底數是自變量x,指數α為常數;(3)項數只有一項.符合以上三個特征的函數才是冪函數.y=xα思考辨析函數f(x)=x0是冪函數嗎?它的奇偶性是怎樣的?提示

函數f(x)=x0是冪函數,定義域為{x|x≠0},f(-x)=f(x)=1,是偶函數.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數f(x)=x2與函數f(x)=-x2都是冪函數.(

)(2)所有二次函數都是冪函數.(

)2.下列所給的函數中是冪函數的為(

)A.y=2x5 B.y=x3+1C.y=x-3

D.y=3x×C×知識點2

冪函數的性質與圖象1.在同一平面直角坐標系中,冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如下圖所示.2.冪函數的性質

冪函數y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R

R

(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性

奇函數既不是奇函數,也不是偶函數

單調性在R上單調遞增在[0,+∞)上單調遞增,在(-∞,0]上單調遞減在R上單調遞增在[0,+∞)上單調遞增在(0,+∞)上單調遞減,在(-∞,0)上單調遞減公共點(1,1)[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函數

偶函數

奇函數

思考辨析1.通過對知識點2中5個冪函數圖象的觀察,哪個象限一定有冪函數的圖象?哪個象限一定沒有冪函數的圖象?2.設函數f(x)=x2,g(x)=x3,若0<a<1,f(a)與g(a)的大小關系是怎樣的?體現在函數圖象上具有怎樣的特征?提示

第一象限一定有冪函數的圖象,第四象限一定沒有冪函數的圖象.提示

當0<a<1時,f(a)-g(a)=a2(1-a)>0,即f(a)>g(a),體現在圖象上,即在區間(0,1)上f(x)=x2的圖象在g(x)=x3圖象的上方.自主診斷1.如圖所示,圖中的曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個值,則曲線C1,C2,C3,C4對應的n依次為(

)B解析

根據冪函數y=xn的性質,在第一象限內的圖象,當n>0時,n越大,y=xn遞增速度越快,2.3.17-1與3.71-1的大小關系為

.

3.17-1>3.71-1重難探究·能力素養速提升探究點一冪函數的概念【例1】

(1)[2024陜西咸陽高一月考]現有下列函數:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中冪函數的個數為(

)A.4 B.3

C.2

D.1C解析

由于冪函數的一般表達式為y=xα(α≠0).逐一對比可知冪函數有①y=x3;⑤y=x共兩個.故選C.(2)函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且在區間(0,+∞)上單調遞增,試確定m的值.解

根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在區間(0,+∞)上單調遞增;當m=-2時,f(x)=x-3在區間(0,+∞)上單調遞減,不符合要求.故m=3.規律方法冪函數的判斷方法判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必是這種形式.C(2)如果冪函數y=(m2-3m+3)的圖象不過原點,求實數m的取值.解

由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,

其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究點二冪函數的圖象【例2】

下列關于函數y=xα與y=αx的圖象正確的是(

)C解析

函數y=xα是冪函數,而y=αx是一次函數.選項A,直線對應函數為y=x,曲線對應函數為y=x-1;選項B,直線對應函數為y=2x,曲線對應函數為y=

;選項C,直線對應函數為y=2x,曲線對應函數為y=x2;選項D,直線對應函數為y=-x,曲線對應函數為y=x3,故C正確.規律方法函數y=xα(α為常數)的圖象特點(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來判斷.(4)當α>0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都上升;當α<0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都下降.變式訓練2如圖的曲線是冪函數y=xn在第一象限內的圖象,已知n分別取±1,,2四個值,相應的曲線C1,C2,C3,C4對應的n依次為(

)B解析

函數y=x-1在第一象限內單調遞減,對應的圖象為C4;y=x對應的圖象為一條過原點的直線,對應的圖象為C2;y=x2對應的圖象為拋物線,對應的圖象應為C1;探究點三利用冪函數的單調性比較大小【例3】

比較下列各組中兩個數的大小:規律方法1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數單調性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實數必須在同一個函數的同一個單調區間內,否則無法比較大小.變式訓練3比較下列各組數的大小:(2)(-3)3與(-π)3.解

∵y=x3在定義域R上為增函數,又-3>-π,∴(-3)3>(-π)3.探究點四冪函數性質的綜合應用【例4】

已知冪函數f(x)=(-2<m<2,m∈Z)滿足:①f(x)在(0,+∞)上單調遞增;②對?x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.求同時滿足①②的冪函數f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]時,f(x)的值域.解

因為f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增,所以-m2-2m+3>0,解得-3<m<1,又-2<m<2,m∈Z,所以m=-1或m=0.又因為f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數,所以-m2-2m+3為偶數.當m=-1時,-m2-2m+3=4滿足題意;當m=0時,-m2-2m+3=3不滿足題意,所以f(x)=x4,又因為f(x)=x4在區間[1,4]上單調遞增,所以f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(4)=256,故x∈[1,4]時,f(x)的值域是[1,256].規律方法冪函數y=xα在(0,+∞)上的單調性與α的關系:當α>0時,冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞增;當α<0時,冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞減.變式訓練4已知冪函數f(x)=xa的圖象過點(2,4).(1)求函數f(x)的解析式;(2)設函數h(x)=2f(x)-kx-1在區間[-1,1]上是單調函數,求實數k的取值范圍.解

(1)因為冪函數f(x)=xa的圖象過點(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2.所以函數f(x)=x2.學以致用·隨堂檢測促達標12341.已知冪函數y=(k-1)xα的圖象過點(2,4),則k+α等于(

)D解析

∵冪函數y=(k-1)xα的圖象過點(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故選D.5123452.[2024湖南衡陽高二開學檢測]冪函數y=x-2的大致圖象是(

)C12345所以y=f(x)=x-2為偶函數,函數圖象關于y軸對稱,又當x∈(0,+∞)時,y=f(x)=x-2單調遞減,則y=f(x)=x-2在區間(-∞,0)上單調遞增,故符合題意的只有C,故選C.12345123454.函數y=xα-2(α為常數)的圖象過定點

.

(1,-1)

解析

當x=1時,y=1α-2=-1,所以圖象所過定點為(1,-1).

512345.已知冪函數f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)為偶函數.