海陵中學七年級數學教學案第三章《應用題復習》一元一次方程的應用【目標導航】1.通過利潤利率問題、行程問題等實際問題的分析，使學生掌握如何用方程來解決一些生活中的實際問題；2.引導學生積極探索思考，培養學生分析問題和用方程解決實際問題的能力；3.讓學生在問題情境中感受數學的應用價值，從而產生對數學學習的濃厚興趣．【要點梳理】列一元一次方程解應用題的一般步驟1.審題；2.根據題意恰當的設出未知數；3.分析問題,找出等量關系并列出方程；4.求出所列方程的解；5.檢驗解的合理性；6.做出答案．【應用舉例】一、和差倍分問題：父親今年32歲,兒子今年8歲,幾年后父親的年齡是兒子年齡的3倍?答案：解：設x年后父親的年齡是兒子年齡的3倍32+x=3(8+x)，解得：x=4.二、數字問題：有一個兩位數,它的十位上的數字比個位上的數字大5,并且這個兩位數比它的兩個數字之和的7倍還要大3,求這個兩位數.答案：解：設個位數為x,十位數為（x+5）10(x+5)+x=7(x+x+5)+3,x=4,這個兩位數是：94三、等積問題：一個長為20m,寬為15m,高為5m的長方體盒子盛滿水倒進棱長為15m的正方體盒子,求水的高度.答案：解：設水的高度是：xm.答：水高m.四、行程問題1．（2011廣西崇左）元代朱世杰所著《算學啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行兩百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”，請你回答：良馬___________天可以追上駑馬.答案：20.解：設良馬x天可以追上駑馬，根據題意，得240x=150(12+x).解得x=20.所以良馬20天可以追上駑馬.2．甲、乙兩人騎自行車同時從相距65km的兩地同時出發，已知甲比乙每小時多騎2.5km，（1）若兩人相向而行，2小時相遇，求乙的速度？（2）若兩人同向而行，甲經過幾小時追上乙？答案：解：（1）設：兩人相向而行乙的速度每小時xkm.2(x+x+2.5)=65,x=30答：乙的速度每小時30km。（2）設兩人同向而行，甲經過y小時追上乙2.5y=65,y=26答：兩人同向而行，甲經過26小時追上乙五、工程問題：甲乙兩人同時生產一種零件，甲單獨完成需要4天完成，乙單獨完成需要6天完成，兩人合作兩天后剩下的由乙單獨完成，乙還需要多少天完成？答案：解：設乙還需要x天完成X=1,答：乙還需要1天完成。六、增長率問題：某車間生產某種產品1月份生產了50臺，2月份引進新的生產技術后提高了生產速度，一月份和二月份共生產了150臺，求改進技術后生產速度的增長率.答案：解：設改進技術后生產速度的增長率為x,50(1+x)=150,x=2答：改進技術后生產速度的增長率為200%。七、利潤利息問題：1．2011年定期一年的儲蓄率為3.5%，某儲戶一筆一年期的定期儲蓄，到期所得的本息和為4140元，求該儲戶存入的本金.答案：解：設該儲戶存入的本金x元（1+3.5%）x=4140X=4000答：該儲戶存入的本金4000元。2．某文藝團體為“四川汶川”募捐義演，成人票每張8元，學生票每張5元．(1)如果本次義演共售出1000張票,籌得票款6950元,成人票和學生票各售出多少張?(2)如果票價不變,那么售1000張票所得的票款可能是6930元嗎?答案：解：（1）設成人票售出x張，學生票售出（1000-x）張，根據題意列方程得，8x+5（1000-x）=6950，解得x=650，1000-x=350（張）．答：成人票售出650張，學生票各售出350張（2）解：設成人票x張，則學生票就是1000-x張，根據題意列方程得：8x+5（1000-x）=7290，解得：x=736.33333．票都是整張賣的，所以不可能．八、配套問題：某車間共有90名工人，每名工人平均每天可工甲種部件15個或乙種部件8個，問應安排加工甲乙兩種部件各多少人數，才能使每天加工后每3個甲種部件與2個乙種部件恰好配套？答案：解：設應安排加工甲種部件x人．依題意，得2×15x=3×8（90-x）．解得x=40．∴90-40=50．答：應安排加工甲種部件40人，安排加工乙種部件50人．九、盈虧問題：將一批數學課外書分給若干興趣小組，如果每小組8本，則多3本；如果每小組10本，則缺9本，求數學興趣小組有幾個？這批數學課外書有多少本？答案：解：設數學興趣小組x個，則：8x+3=10x-9，解得：x=6，則8x+3=51答：數學興趣小組有6個。這批數學課外書有51本。十、方案設計問題：某校辦工廠生產了一批新產品，現有兩種銷售方案，方案一：在這學期開學時售出該產品，可獲利30000元，然后將該批產品的成本（生產該批產品支出的總費用）和已獲利的30000元進行投資，到這學期結束時又可獲利4.8%.方案二：在這學期結束時售出該產品，可獲利35940元，但要付成本的0.2%作保管費.

(1)如果成本是80000元時，哪種方案獲利較多？

(2)新產品的成本為多少元時，兩種方案獲利一樣多？答案：解：（1）方案一：30000+（80000+30000）×4.8%=35280方案二：35940-0.2%×80000=35780．（2）新產品的成本為x元時，兩種方案獲利一樣多30000+（x+30000）×4.8%=35940-0.2%x．解方程的x=90000．所以當該批產品的成本是90000元時，方案一與方案二的獲利是一樣的．【課后盤點】1.A．甲高B．乙高C．一樣高D．無法比較答案：B2.（2011深圳）一件服裝標價200元,若以6折銷售,仍可獲利20%,則這件服裝的進價是()A.100元B.105元C.108元D.118答案：A3.（2011山西）“五一”期間，某電器按成本價提高30%后標價，再打8折（標價的80%）銷售，售價為2080元.設該電器的成本價為x元，根據題意，下面所列方程正確的是（）A．B.C.D.答案：A4.（2011山東菏澤）某種商品的進價為800元，出售標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則最多可打A．6折B．7折C．8折D．9折答案：B設可打x折，由題意可得≥5%，解得x≥7，故最多可打7折．5.答案：乙6.（2011黑龍江大慶）隨著電子技術的發展，手機價格不斷降低，某品牌手機按原價降低m元后，又降低20℅，此時售價為n元，則該手機原價為.答案：eq\f(5,4)n+m設手機原價是x元，列方程得：（x-m）（1-20℅）=n，解得x=eq\f(5,4)n+m.7．（2011重慶潼南）某地居民生活用電基本價格為0.50元/度，規定每月基本用電量為a度，超過部分電量的每度電價比基本用電量的每度電價增加20%收費，某用戶在5月份用電100度，共交電費56元，則a的值=。答案：40由于56＞0.50×100＝50，∴該居民用電量超過了基本用電量（a度），依題意得0.50a＋(100－a)[(1+20%)×0.50]=568.甲、乙兩人環湖競走，湖的一周長是400米，乙的速度是每分鐘80米，甲的速度是乙的1.25倍，現在甲在乙的前面100米，則分鐘后兩人首次相遇．答案：解:設X分鐘相遇400-100+80X=80*1.25*X20X=300X=15答:用15分鐘追上..甲、乙、丙三人同做某種零件，已知在相同的時間內，甲、乙兩的完成零件個數之比為3﹕4，乙與丙完成零件的個數比為5﹕4，現在甲、乙、丙三人一起做了1581個零件，問甲、乙、丙三人各做了多少個零件？答案：解：甲效率為3x那么乙就是4x,丙是4x*(4/5)=(16/5)x3x+4x+(16/5)x=1581x=155即：甲做了3x,即465個,乙做了4x個,即620個,丙做了(16/5)x個,即496個10.一個兩位數，十位上的數字比個位上數字小1，十位上的數字與個位上數字的和是這個兩位數的，求這個數.答案：解：設個位數為x,十位數為（x-1），X+x-1=這個兩位數是：45。11.整理一批圖書，由一個人做要40小時完成，現在計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起做8小時，完成這項工作，假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？答案：解：設應先安排x人工作，假定整理圖書的工作量為單位1那么根據"一個人做要40小時"得,一個人的工作速度為根據題意得：+=1化簡可得：x+2（x+2）=10解可得：x=2答：應先安排2人工作．12.沿著一條公路栽樹，第一棵栽在路的始端，以后每隔50米栽一棵，要求路的末端栽一棵，這樣，缺少21棵樹；如果每隔55米栽一棵，要求在路的末端栽一棵，這樣，只缺少一棵樹；求樹的棵數和這條公路的長度．答案：解：設公路長為x米，則每50米栽一棵路末端栽一棵這樣缺少21棵，現有樹每55米栽一棵這樣只缺1棵,現有樹列方程：整理得：x=11000米。=200棵。答：公路長11000米，共有200棵樹。13.七年級（1）班43人參加運土勞動，共有30根扁擔，要按排多少人抬土，多少人挑土，可使扁擔和人數相配不多不少？答案：解：設x人挑土，則（43-x）人抬土x=17抬土=43-17=26(人)14.(2011·北京市房山區一模)某學校組織九年級學生參加社會實踐活動，若單獨租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個空座位，求該校九年級學生參加社會實踐活動的人數．答案：解：設單獨租用35座客車需x輛，則單獨租用55座客車需(x－1)輛，由題意得：,解得：.∴(人). 答：該校九年級參加社會實踐活動的人數為175人．15.一列火車行駛途中，經過一條長300m的隧道需要20s的時間．隧道的頂上有一盞固定的燈，垂直向下發光，燈光在火車上照了10s．求這列火車的長為多少？答案：經過一條長300M的隧道要20S：這里的20s是指隧道的長度加上火車的長度，即火車從進隧道，到完全的出隧道的長度。而隧道上的燈所照的時間10s：就是火車的長度。根據速度相等，設火車長x米，則變換為300+x=2x，即x=300所以火車長300米。16.甲、乙兩人在10千米的環形公路上跑步，甲每分鐘跑230米，乙每分鐘跑170米．⑴若甲先跑10分，乙再從同地同向出發，還要多長時間相遇？⑵若甲先跑10分，乙再從同地反向出發，還要多長時間相遇？答案：⑴.

類似于追擊問題

⑵

類似于相遇問題

=19.25分鐘.答案：解：設學校到農場距離為Xkm.等式左邊為小王從半路回學校到追上隊伍所走的時間。右邊是隊伍從小王離隊回學校到小王追上隊伍所走時間。兩個時間相等。左邊括號里為小王從回頭到追上隊伍的路程，右邊為隊伍從小王回頭到小王追上隊伍所走的路程。X=32km18.答案：解：第一次看見的兩位數的十位數是a，個位數是b，則第一次看見的兩位數為10a+b，第二次看見兩位數為10b+a，兩次一小時所走路程應相等．根據題意得：10b+a-（10a+b）=（100a+b）-（10b+a）∴b=6a，顯然a只能為1，則b=6，一小時所走路程為10b+a-（10a+b）=45，即速度為45km/h．答：汽車的速度為45km/h．19.某超市國慶節那天搞促銷活動，(1)一次性購物不超過100元不予優惠，（2）一次性購物超過100元，而不足300元一律九五折，（3）一次性購物超過300元，其中300元按九折優惠，超過部分按8折優惠，已知小明國慶節那天在該店兩次購物分別付款80元和280元.(1)小明兩次購物如果不打折，原價是多少錢？（結果保留整數）(2)如果小明將兩次購物合在一起付錢，那么比兩次分開購物可以節省多少錢？（結果保留整數）答案：解：∵小明兩次去該超市購物，分別付款80元和280元．所以有二種情況：①第一次付款80元沒有享受優惠，即沒有打折，第二次享受優惠，∴設第二次實際購物的款數為x，而300×0.95=285＞280，∴0.95x=280，∴，所以小李兩次去該超市購物實際購物的款數為80+294.7=374.7，∴在小張決定一次性購買小李分兩次購買的物品，他需付款300×0.9+74.7×0.8=329.76元；②第一次付款80元享受了優惠，即沒有打折，第二次享受優惠，設第二次實際購物的款數為x，而300×0.9=270＞280，∴0.8(x-300)=10，∴，∴小李兩次去該超市購物實際購物的款數為80+312.5=392.5，∴在小張決定一次性購買小李分兩次購買的物品，他需付款300×0.9+92.5×0.8=344元．所以現在小張決定一次性購買小李分兩次購買的物品，他需付款330元或344元20.股民張某以每股60元的價格買進某公司股票若干股，當周末該股票漲到每股62元時，全部一次性賣出，已知張某買進股票時付了1.5‰的手續，賣出時需付成交額1.5‰的手續費和1‰的交易稅，還盈利877.5元，求股數．答案：解：設買進某公司股票若x股[62×x－62×x×（0.0015+0.001）]－[60×x+60×x×0.0015]＝877.5，x＝500股21．有一些相同的房間需要粉刷墻面，一天3名一級技工去粉刷8個房間，結果其中有50平方米墻面未來得及刷；同樣時間內5名二級技工粉刷了10個房間之外，還多刷了另外的40平方米墻面，每名一級技工比二級技工一天多粉刷10平方米墻面，求每個房間需要粉刷的墻面面積.答案：設二級技工一天刷x平方米墻面，則一級技工一天刷（x+10）平方米墻面.則有3（x+10）+50/8=5x-40/10，解得x=48，則5x-40/10=28，每個房間需要粉刷的墻面面積為28平方米22．一列客車的速度每小時60千米，一列貨車的速度是每小時45千米，貨車比客車長135米，如果兩車在平行軌道上同向行駛，客車從后面趕上貨車，它們交叉時間是1分30秒，求各車長度，如果兩車在平行的軌道上相向行駛，它們交叉時間要多少秒？答案：解：設客車長x米，貨車長（x+135）米x=120,x+135=25523.君實機械廠為青揚公司生產A、B兩種產品，該機械廠由甲車間生產A種產品，乙車間生產B種產品，兩車間同時生產．甲車間每天生產的A種產品比乙車間每天生產的B種產品多2件，甲車間3天生產的A種產品與乙車間4天生產的B種產品數量相同．（1）求甲車間每天生產多少件A種產品？乙車間每天生產多少件B種產品？（2）君實機械廠生產的A種產品的出廠價為每件200元，B種產品的出廠價為每件180元．現青揚公司需一次性購買A、B兩種產品共80件，君實機械廠甲、乙兩車間在沒有庫存的情況下只生產8天，若青揚公司按出廠價購買A、B兩種產品的費用超過15000元而不超過15080元．請你通過計算為青揚公司設計購買方案．答案：解：（1）設乙車間每天生產x件B種產品，則甲車間每天生產（x+2）件A種產品。根據題意：3(x+2)=4x,解得：x=6,x+2=8答：甲車間每天生產8件A種產品，乙車間每天生產6件B種產品（2）設青揚公司購買B種產品m件，則購買A種產品（80-m）件，15000<200（80-m）+180m≤15080,46≤m<50因為m為整數，所以m為46，47，48，49，50。又因為乙車間8天生產48件，所以m為46，47，48。所以有三種購買方案：購買A種產品32件，B種產品48件；購買A種產品33件，B種產品47件；購買A種產品34件，B種產品46件；24．學校校辦需要制作一塊廣告牌，請來師徒二人，已知師傅單獨完成需要4天，徒弟單獨完成需要6天，現由徒弟先做1天，再兩人合做，完成后共得到900元報酬，如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？答案：解：設師徒兩人合用x天完成，工作量為1，則師傅一天做1/4；徒弟一天做1/6。根據題意：,解得X=2,工錢：師傅：900X1/4X2=450元徒弟：900-450=450元；25．在高速公路上，一輛長4米，速度為110千米／小時的轎車準備超越一輛長12米，速度為100千米／小時的卡車，則轎車從開始追及到超越卡車，需要花費的時間是多少？答案：設需要x小時110x=100x+[（4+12）/1000]解得x=16/10000小時既x=（16/10000)*3600=5.76秒26．某人從家騎自行車到火車站，如果每小時行15千米，那么他可以比火車開車時間提前15分鐘到達；如果每小時走9千米，則要比開車時間晚15分鐘到達．(1)若準時到達火車站，需要多長時間？(2)現打算比開車早10分鐘到達，每小時應走多少千米？答案：(1)設還有X分鐘火車開車15千米/小時=1/4千米/分鐘9千米/小時=3/20千米/分鐘（X-15）X1/4=（X+15）X3/20解得X=60即：還有60分鐘火車開車時間：60-10=50（分鐘）路程：（60-15）X1/4=11.25千米準時到達火車站:11.25速度：11.25/1=11.25千米/小時(2)現打算比開車早10分鐘到達:時間：60-10=50（分鐘）速度：11.25/50=0.225千米/分鐘=0.225X60=13.5千米/小時27．答案：解：設此商品進價為x元（1+10%）x=900·90%-40110%x=770x=700答：此商品進價為700元。28．一位旅行者由A地步行到B地，然后再返回原地，共花了3小時41分。已知由A地到B地的道路，前一段是上坡，中間是平地，然后是下坡。如果旅行者步行的速度，上坡是4千米/時，平地是5千米/時，下坡是6千米/時，而A、B之間的路程是9千米。問：其中平地路程有多少千米？答案：設：平地有x千米，坡地有(9-x)千米2x/5+(9-x)/4+(9-x)/6=3+41/60x=4千米平地有4千米29．在一條長河里有甲、乙兩船，現同時由A地順流而下，乙船到B地時接到通知要立即返回到C地執行公務，甲船繼續順流航行。已知甲、乙兩船在靜水中的速度是7.5千米/小時，水流速度是2.5千米/小時。A、C兩地間距離為10千米，如果乙船由A地經B地再到達C地共用4小時，問乙船從B地到達C地時，甲船駛離B地多遠？答案：解：兩船順水速度為V1=7.5+2.5=10km/h兩船逆水速度為V2=7.5-2.5=5km/h由題意知，兩船從A地到C地用時t1=10/10=1h則B地到C地往返用時為4-t1=3h，設從B地返回C地用時為t2，則從C地到B地用時為3-t2，往返距離相等，可列方程10（3-t2）=5t2解得t2=2h所以甲船離B地距離S=V1Xt2=10X2=20km30．（2011浙江省舟山）目前“自駕游”已成為人們出游的重要方式．“五一”節，林老師駕轎車從舟山出發，上高速公路途經舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速，其間用了4.5小時；返回時平均速度提高了10千米／小時，比去時少用了半小時回到舟山．（1）求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程；（2）兩座跨海大橋的長度及過橋費見下表：大橋名稱舟山跨海大橋杭州灣跨海大橋大橋長度48千米36千米過橋費100元80元我省交通部門規定：轎車的高速公路通行費y（元）的計算方法為：y=ax+b+5，其中a（元／千米）為高速公路里程費，x（千米）為高速公路里程（不包括跨海大橋長），b（元）為跨海大橋過橋費．若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費為295.4元，求轎車的高速公路里程費a．答案：（1）設舟山與嘉興兩地間的高速公路路程為s千米，由題意得．解得s=360．答：舟山與嘉興兩地間的高速公路路程為360千米．(2)將x=360－48－36=276，b=100+80=180，y=295.4，代入y=ax+b+5，得295.4=276a+180+5，解得a=0.4，答：轎車的高速公路里程費是0.4元/千米．答案：解：設X分鐘追上。（22-15）X=497X=49X=77+0.5=7.5（分鐘）答：敵機從逃跑到被我殲滅時只有7.5分鐘。32.(2011·北京市延慶縣一模)2011年4月10日，以“休閑延慶踏青賞花”為主題的第十屆延慶杏花節開幕，(1)2000年“杏花節”期間旅游收入為1.01萬元,2005年“杏花節”期間旅游收入為35.2萬元,求“杏花節”期間，2005年的旅游收入比2000年增加了幾倍?(結果精確到整數)(2)“杏花節”期間，2009年