圓錐曲線大題

目錄

【高考預測】概率預測+題型預測+考向預測

【應試總結常考點及應對的策略

【誤區點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：解題規范

【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略

【題型一】極點、極線

【題型二】自極三角形與調和點列

【題型三】齊次化法解決斜率相關問題

【題型四】定比點差法

【題型五】定點、定值

【題型六】求軌跡方程型

高考預測

概率預測☆☆☆☆☆

題型預測解答題☆☆☆☆☆

考向預測極點、極線

應試

圓錐曲線大題和小題考察的類型不一致，但是肯定都是以基礎知識為前提的情況下進行考察，所以一

般第一問考察的大多還是求圓錐曲線的函數解析式，而第二問往往考察的是直線與圓錐曲線的位置關系，

這里對于解析幾何的代數問題要求就比較高，題型也相應較多，需要多加練習。

一些固定題型解題方法的掌握還是需要熟練，并且理解圓錐曲線中解析幾何的解題思維，延伸知識點

例如極點、極線，齊次化解法、定比點差法等等比較熱門的需要熟練于心。

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誤區點撥

易錯點：解題規范

圓錐曲線大題在遇到直線與曲線相交相關的問題是，極點、極線的思想只能輔助我們解題，不可出現

在答題過程中，都需要設點或設線，寫出完整的證明過程。

例（2023年全國乙卷）己知橢圓。：4+，=1（。>6>0）的離心率是當，點力（-2,0）在。上.

（1）求C的方程；

（2）過點（-2,3）的直線交。于P,。兩點，直線4P,力。與N軸的交點分別為證明：線段的中點為

定點.

變式1：（2024?湖南衡陽?二模）（多選）已知圓C:/+V=4,尸氈直線/:x+y-6=0上一動點，過點P作直

線尸4尸8分別與圓C相切于點48,則（）

A.圓C上恰有一個點到/的距離為2及B.直線18恒過點（|,|）

C.|力切的最小值是孚D.四邊形4cBp面積的最小值為2而

搶分通關

【題型一】極點、極線

二次由線的極點極線

（1）二次曲線小?+為2+版+m+W+尸=0極點尸&0，打）對應的極線為

小。》一為“，+。^^+。空+E鋁+產=0

VT婚Jf典乂孫T小產,X-空/一券（半代半不代）

（2）圓錐曲線的三類極點極線（以橢圓為例）：橢圓方程=十與=1

a~b~

①極點尸（x°，K）在橢圓外，P4PB為橢圓的切線，切點為48

P

第2頁共14頁B

則極線為切點弦/比岑+繆=1;

ab

②極點P（x0/o）在橢圓上，過點尸作橢圓的切線/,

則極線為切線/：警+浮=1;

D

③極點PC%,比）在橢圓內，過點P作橢圓的弦48,

分別過45作橢圓切線，則切線交點軌跡為極線警+等=1；

a2b~

（3）圓錐曲線的焦點為極點，對應準線為極線.

?—1

典例精講

【例1】過點（3,1）作圓（工-1）2+/=1的兩條切線，切點分別為力、4則直線43的方程為（）

A.2x4-j-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

22

【例2】已知點尸為2x+y=4上一動點.過點尸作橢圓?+§=1的兩條切線，切點分別從B,當點P運

動時，直線力8過定點，該定點的坐標是.

【例3】（2024?廣東湛江?一模）已知點P為直線工-^-3=0上的動點，過P作圓。:/+『=3的兩條切線,

切點分別為48,若點〃為圓E:（x+2）2+（k3）2=4上的動點，則點M到直線48的距離的最大值為

D名校模擬

22

【變式1］（2024?陜西西安?一模）已知橢圓氏二+與=1（。>6>0）的左，右焦點分別為耳，工，且6,居

ab

與短軸的一個端點。構成一個等腰直角三角形，點尸當當在橢圓E,過點心作互相垂直且與“軸不重

\/

合的兩直線48,C。分別交橢圓E于A,3和點C,D,且點M,N分別是弦力3,CO的中點.

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(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若。(0/)，求以CO為直徑的圓的方程；

(3)直線MN是否過x軸上的一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由.

【變式2](2024?上海徐匯?二模)已知橢圓0：《十片=1,

4、4分別為橢圓C的左、右頂點，「、鳥分別

43

為左、右焦點，直線/交橢圓C于同、N兩點(/不過點4).

⑴若。為橢圓。卜(除4、4外)仟意一點，求百線。4和04的斜率之積:

(2)若麗=2而，求直線/的方程；

(3)若直線M4與直線g2的斜率分別是部22,且％肉=-9\，求證：直線/過定點.

【變式3](2024?新疆喀什?二模)已知橢圓。：=+1=1(〃>6>0)的左焦點￡(-2立,0),點尸(0,2)在橢圓。

ah~

上，過點P的兩條直線P4P8分別與橢圓C交于另一點48,且直線尸4總,48的斜率滿足

%+%=%8(的“°).

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明直線48過定點.

【題型二】自極三角形與調和點列

一、調和點列的充要條件

HV/>

如圖，若4C,民。四點構成調和點列，則有(一般前2個出現較多)

A「1T~\O[[

—=—?>——=—+—oOC2=0BQoACAD=4BAOcABOD=ACBD

BCBDABADAC

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二、調和點列與極點極線的聯系

如圖，過極點P作任意更線，與橢圓交于”,N,與極線交點M則點M,。,MP成調和點列，若點尸的極線

通過另一點0，則。的極線也通過尸.一般稱尸、。互為共枕點.

婦圖，設P是不在圓雉曲線上的一點，過P點引兩條割線依次交二次曲線于E,F,G,H四點,連接對

角線EH,FG交于N,連接對邊EG,FH交于M,則直線MN為點P對應的極線.若P為圓雉曲線上的點,

則過P點的切線即為極線.

同理，PM為點N對應的極線，PN為點M所對應的極線.因而將△MNP稱為自極三點形.設直線MN交圓

錐曲線于點4B兩點，則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.

從直線％上任意一點P向橢圓從E+E=l（a>b>0）的左右頂點4，.42引兩條割線尸4，尸均與橢圓

交于M,N兩點，則直線MN恒過定點（?，（）'.

I—1

典例精講

【例1】已知小8分別為橢圓f：二+產=1（a>l）的左、右頂點，G為E的上頂點，而?詼=8,尸為

a

直線k6上的動點，R1與E的另一交點為C,PB與E的另一交點、為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CO過定點.

【例2】（2022?全國乙卷高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過/（。，-2）,8

兩點.

第5頁共14頁

(1)求E的方程；

(2)設過點P(L-2)的直線交E于N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段48交于點7,點”滿足

而=而.證明：直線”N過定點.

(—1

名校模擬

【變式1】(2024江南十校聯考)在平面直角坐標系彳。中，已知雙曲線C的中心為坐標原點，對稱軸是坐

標軸，右支與x軸的交點為(1,0),其中一條漸近線的傾斜角為

(1)求C的標準方程；

(2)過點*2,0)作直線/與雙曲線。的左右兩支分別交于4B兩點,在線段48上取一點E滿足

\AE\-\TB\=\EB[\AT\t證明：點￡在一條定直線上.

【變式2】設橢圓C:=+}=l(a>b>0)過點例(上，1),且左焦點為”(-近，0).

礦D

(1)求橢圓C的方程；

(2)當過點尸(4,1)的動直線/與橢圓C相交于兩不同點4,8時，在線段48上取點。，滿足

|/H西|=|而H而|,證明：點。總在某定直線上.

【變式3】已知小鳥分別為橢圓G：%/叱…)的.上、下焦點，其中6也是拋物線C"T的

焦點，點〃是G與在第二象限的交點?且|M￡|=g.

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(1)求橢圓G的方程；

(2)己知點P(l,3)和圓過點尸的動直線/與圓o相交于不同的兩點43,在線段上取一

點。，滿足:#=-/1序，而=2函，(4W0且/U±l).求證:點。總在某定直線上.

【題型三】齊次化法解決斜率相關問題

“齊次”從詞面上解釋是“次數相等”的意思.在代數里也有“齊次”的叫法，例如f=ax2+bxy+eV稱為

二次齊次式，f中每一項都是關于x,y的二次項.與圓錐曲線相關的問題以大運算量著稱，齊次化引入圓錐

曲線有時會極大地縮減運算量.

1：“齊次化”方法使用場景

題目中出現了一個定點引出的兩條動直線的斜率之和七+七或斜率乘枳自?七為定值時，優先考慮

使用齊次化的技巧.

2：用法：必須先把該定點平移至原點位置，然后將兩個動點所成的直線假設為mx+my=1,再聯

立即可.

3:方程為mx+my=l的直線，可以表示不過原點(原點坐標不適合方程)的所有直線(討論m.n與

0的關系)

￡=□

典例精講

【例1】如圖，橢圓E:5+5=l(Q〉b>0)經過點.4(0—1),且離心率為y.

(1):求橢圓E的方程；

(2)：經過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P、Q(均異于點A),

【例2】已知橢圓0,+卷=1(帥>0)的離心率為且過點A(2,l).

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M,N在橢圓C上，且.AM1AN,AD1MN,D為垂足.

I—J

名校模擬

【變式1](2024?全國?模擬預測)已知尸為橢圓C：5+V=l上一點，過原點且斜率存在的直線4與橢圓C

相交于48兩點，過原點且斜率存在的直線(4與，2不重合)與橢圓C相交于〃，N兩點，且點尸滿足

到直線4和I,的距離都等于好.

3

(1)求直線4和，2的斜率之積；

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（2）當點P在。上運動時，M肝+|A/N「是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

【變式2］（2024?安徽合肥?二模）已知橢圓C:￡+與=1（〃>6>0）的右焦點為了，左頂點為A,短軸長為2石,

a~b~

且經過點（lg）.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點F的直線/（不與x軸重合）與。交于只。兩點，直線力夕,力。與直線x=4的交點分別為M,N,記直

線的斜率分別為％也,證明：，質為定值.

【變式3］（2024?全國?模擬預測）已知曲線E與曲線廠:但支+12:31=1關于直線x+y-2=0對稱.

34

⑴求曲線上的方程.

（2）若過原點的兩條直線分別交曲線E于點A,C,B,。，且?怎。=-土（。為坐標原點），則四邊形48CD

的面積是否為定值？若為定值，求四邊形48。的面積；若不為定值，請說明理由.

【題型四】定比點差法

直線與圓雉曲線相交時，中點（定比分點）問題通常運用韋達定理和點差法兩種方式.點差法

（定比點差）是從設點的視角，將點的坐標代人曲線方程，通過系數調配后進行兩式作差.

-V

一般地，設橢圓=1上兩點必）,8（工2，%），若定點”（/，乂）滿足加=4而，則得到

（X。一再，％一%）=兄（々-X。，>2-乳），

丸工2+玉=（1+4）/，/）

化簡得

“2+乂=0+4）小

兩式殂減得（石一忒2）（石+"2）+（凹一為22）=1_22

a~b~

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把產代人，得（x「二）[（i+〃°L里?，化簡得

'a2h2

（2一生）"（M-4%）加1[

------------2----------+72----二1-4?

a----------b~

交點坐標,避免暴求交點.橢圓、雙曲線中的多點共線的倍值問題，也可類似解決，其實質就是一種

降維處理.此外，當2=1時，則M是48的中點即轉化為中點弦問題.

（=□

典例精講

v-2

【例1】直線/與橢圓5+/=1交于4,8兩點，/與1軸、y軸分別交于點C如果C,。是線段

44的兩個三等分點，則直線/的斜率為.

2

【例2】設4，鳥分別為橢圓方+產=1的左右兩個焦點，點力，5在橢圓上.

若蟲=5孽，則點4的坐標是.

【例3】已知點?（0,1）,橢圓土+匕=加（加＞1）上兩點4,8滿足萬=2而，則

43

當〃?=時，點8橫坐標的絕對值最大.

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I

I—I

名校模擬

X2V2

【變式1】已知片是雙曲線C：二—?二1(。>0">0)的左焦點，點5的坐標為(0"),直線￡8與

a"b~

雙曲線C的兩條漸進線分別交于點P,0.若0A=4對，則雙曲線C的離心率為.

3

【變式2】已知拋物線C:/=3x的焦點為F,斜率為1的直線/與拋物線C交于力，8兩點，與x軸的

交點為P.

(1)若|/F|+|M|=4,求直線/的方程；

(2)若/=3而，求|48|的值.

Y22

【變式3】如圖，橢圓C：1+gV~=l.過點P(2,l)作直線4〃2分別交橢圓。于4，。，8，。四點,

且直線AB的斜率為-3.試判斷直線AB與直線CD的位置關系.

2

【題型五】定點、定值

求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

直線過定點問題或圓過定點問題，通常要設出直線方程，與圓錐曲線聯立，得到兩根之和，兩根之積，再

表達出直線方程或圓的方程，結合方程特點，求出所過的定點坐標.

I—1

典例精講

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【例4（2024?全國?模擬預測）已知橢圓C:，+，=l（4>b>0）的離心率為弓，C的左焦點與點

2

連線的斜率為

⑴求。的方程.

（2）已知點。（2,0）,過點R的直線/與。交于48兩點，直線。分別交。于M,N.試問：直線的

斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【例2】（2023?河南焦作?模擬預測）已知橢圓的長軸為%直線/與圓0：/+/=］相

切于點P,與C相交于血不乂），8（孫力）兩點，且%>0，9>0，必>必.

（1）記。的離心率為e,證明：|48|=0（演+/）；

（2）若/軸右側的點。在。上，且尸O〃x軸，QM,QV是圓。的兩條切線，切點分別為M,N（屈在"上

方）,求|-AJM|-+18N”|的值?

【例3】（2024上海奉賢?二模）已知曲線。:春+?=1,O是坐標原點，過點T（1,0）的直線4與曲線C交

于尸，。兩點.

（1）當4與4軸垂直時，求△OP。的面積；

（2）過圓f+爐=6上任意一點M作直線MG分別與曲線C切于A,8兩點，求證：物1MB；

（3）過點N（〃,0）（〃>2）的直線乙與雙曲線工-/=1交于R,s兩點（小/,不與x軸重合）.記直線次的斜率

4

為心，直線75斜率為“,當ZONP=/ONQ時,求證：〃與如〃+e都是定值.

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I—?

名校模擬

【變式1](2024?上海崇明?二模)已知橢圓「[■+/=],A為「的上頂點，P、。是「上不同于點A的兩點.

⑴求橢圓「的掰心率；

(2)若F是橢圓「的右焦點，8是橢圓下頂點，K是直線4F上一點.若△4有一個內角為三，求點H的坐標;

(3)作4H_LP。，垂足為，.若直線力產與直線力。的斜率之和為2,是否存在x軸上的點使得|礪|為

定值？若存在，請求出點〃的坐標，若不存在，請說明理由.

【變式2](2024?全國?模擬預測)已知橢圓C:=l(a>b>0)的離心率為玄，且過點(-2,百卜

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)設過點?(-4,0)且斜率不為0的直線/與橢圓C交于A,"兩點.問：在x軸上是否存在定點。，使直線。彳

的斜率用與的斜率質的積為定值？若存在，求出該定點坐標；若不存在，請說明理由.

【變式3](2024?全國?模擬預測)已知離心率為|的橢圓。：%營=@>6>0)的左、右頂點分別為4,4,

點P為橢圓。上的動點，且△吊戶4面積的最大值為3石.直線/：%=歿-2(〃?工0)與橢圓C交于48兩點，

點。(-1,0),直線428。分別交橢圓C于G,“兩點，過點4作直線G"的垂線，垂足為

(1)求橢圓C的方程.

⑵記直線G4的斜率為％,證明：而為定值.

(3)試問：是否存在定點N,使|"N|為定值？若存在，求出定點N的坐標；若不存在，說明理由.

【題型六】求軌跡方程型

求軌跡方程的常見方法有：

①直接法，設出動點的坐標(x,y),根據題意列出關于x，N的等式即可；

②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；

③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；

④逆代法，將『二￡1代入/(/,為)=0.

yn=h{x}

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I—1

典例精講

【例1】(2024?上海嘉定?二模)如圖：己知三點A、B、尸都在橢圓工+己=1上.

42

(1)若點A、8、P都是橢圓的頂點，求"8P的面積；

(2)若直線48的斜率為1,求弦48中點M的軌跡方程:

⑶若直線的斜率為2,設直線4的斜率為即八直線P8的斜率為即「是否存在定點P,使得人出+%^0

恒成立？若存在，求出所有滿足條件的點P,若不存在，說明理由.

【例2】(2024?安徽合肥?二模)在數學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一.對平面直角坐標系中

再E|必一刃

兩個點和2(》2,當)，記山外=maxI、稱山闈，為點耳與點6之間的'”-距

i+ki-wl'i+l必一為

離”，其中max{p,g}表示p,q中較大者.

⑴計算點尸(1,2)和點。(2,4)之間的“"距離”；

(2)設4(%,加)是平面中一定點，「>().我們把平面上到點《的“-距離”為，?的所有點構成的集合叫做以點

《為圓心，以「為半徑的“一