初三數學知識點

第一章二次根式

1二次根式：形如后(a之0)的式子為二次根式；

性質：&(4/>0)是一個非負數；

=a(a>0)；

=a(a>0)。

2二次根式的乘除：4a*4b=4ab(a>0,b>0)；

今書a—>0)。

3二次根式的加減：二次根式加減時，先將二次根式華為最簡二次根式，再將被開方

數相同的二次根式進行合并。

4海倫-秦九韶公式：s=』p(p-)(p-b)(p-c),S是三角形的面積，P為

a+b+c

p=--------°

2

第二章一元二次方程

1一元二次方程：等號兩邊都是整式，且只有一個未知數，未知數的最高次是2的

方程。

2一元二次方程的解法

配方法：將方程的一邊配成完全平方式，然后兩邊開方；

八1、+-b±力b”-4ac

公式法：x=---------------

2a

因式分解法：左邊是兩個因式的乘積，右邊為零。

3一元二次方程在實際問題中的應用

4韋達定理：設再62是方程辦？=0的兩個根，那么有

bc

X]+%2=,1[?%2—一

aa

第三章旋轉

1圖形的旋轉

旋轉：一個圖形繞某一點轉動一個角度的圖形變換

性質：相應點到旋轉中心的距離相等；

相應點與旋轉中心所連的線段的夾角等于旋轉角

旋轉前后的圖形全等。

2中心對稱：一個圖形繞一個點旋轉180度，和另一個圖形重合，則兩個圖形關

于這個點中心對稱；

中心對稱圖形：一個圖形繞某一點旋轉180度后得到的圖形可以和本來的圖形

重合，則說這個圖形是中心對稱圖形；

3關于原點對稱的點的坐標

第四章圓

1圓、圓心、半徑、直徑、圓弧、弦、半圓的定義

2垂直于弦的直徑

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；

垂直于弦的直徑平分弦，并且平方弦所對的兩條弧；

平分弦的直徑垂直弦，并且平分弦所對的兩條弧。

3弧、弦、圓心角

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

4圓周角

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心

角的一半；

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90度的圓周角所對的弦是直徑。

5點和圓的位置關系

點在圓外d>r

點在圓上d=r

點在圓內d<r

定理：不在同一條直線上的三個點擬定一個圓。

三角形的外接圓：通過三角形的三個頂點的圓，外接圓的圓心是三角形的三條

邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。

6直線和圓的位置關系

相交d<r

相切d=r

相離d>r

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑；

切線的鑒定定理：通過圓的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心

的連線平分兩條切線的夾角。

三角形的內切圓：和三角形各邊都相切的圓為它的內切圓，圓心是三角形的三條

角平分線的交點，為三角形的內心。

7圓和圓的位置關系

外離d>R+r

外切d=R+r

相交R-r<d<R+r

內切d=R-r

內含d<R-r

8正多邊形和圓

正多邊形的中心：外接圓的圓心

正多邊形的半徑：外接圓的半徑

正多邊形的中心角：沒邊所對的圓心角

正多邊形的邊心距：中心到一邊的距離

9弧長和扇形面積

弧長/="

180

ITTTY~

扇形面積：s=——

360

10圓錐的側面積和全面積

側面積：

全面積

11(附加)相交弦定理、切割線定理

第五章概率初步

1概率意義：在大量反復實驗中，事件A發生的頻率竺穩定在某個常數p附近，

n

則常數P叫做事件A的概率。

2用列舉法求概率

一般的，在一次實驗中，有n中也許的結果，并且它們發生的概率相等，事件A

rn

包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率就是p(A)=-

n

3用頻率去估計概率

下冊

第六章二次函數

1二次函數

\2a)4a

a>0,開口向上；a<0,開口向下;

b

對稱軸:

X——五；

b4ac-心、

頂點坐標：

2a4a,

圖像的平移可以參照頂點的平移。

2用函數觀點看一元二次方程

3二次函數與實際問題

第七章相似

1圖形的相似

相似多邊形的相應邊的比值相等，相應角相等；

兩個多邊形的相應角相等，相應邊的比值也相等，那么這兩個多邊形相似；

相似比：相似多邊形相應邊的比值。

2相似三角形

鑒定：

平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相

似；

假如兩個三角形的三組相應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

假如兩個三角形的兩組相應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么兩個

三角形相似；

假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角相應相等，那么兩個三

角形相似。

3相似三角形的周長和面積

相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形（多邊形）的面積的比等于相似比的平方。

4位似

位似圖形：兩個多邊形相似，并且相應頂點的連線相交于一點，相應邊互相平

行，這樣的兩個圖形叫位似圖形，相交的點叫位似中心。

第八章銳角三角函數

1銳角三角函數：正弦、余弦、正切；

2解直角三角形

第九章投影和視圖

1投影：平行投影、中心投影、正投影

2三視圖：俯視圖、主視圖、左視圖。

3三視圖的畫法

初三數學知識點

一'《一元二次方程》

1.一元二次方程的一般形式：aNO時，ax，bx+c=O叫一元二次方程的一般形式，研究一

元二次方程的有關問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是擬定一般形式中的a、

b、c;其中a、b,、c也許是具體數，也也許是含待定字母或特定式子的代數式.

2.一元二次方程的解法：一元二次方程的四種解法規定靈活運用，其中直接開平方法雖

然簡樸，但是合用范圍較小；公式法雖然合用范圍大，但計算較繁，易發生計算錯誤；

因式分解法合用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少.

3.一元二次方程根的判別式：當a/+bx+c=O(aWO)時，A=b2-4ac叫一元二次方程根的

判別式.請注意以下等價命題:

△>0<=>有兩個不等的實根；△-0<=>有兩個相等的實根；

A<0<=>無實根；A20<=>有兩個實根(等或不等).

4.一元二次方程的根系關系：當ax2+bx+c=0(aWO)時，如A20,有下列公式:

-b±Vb2-4ac

Xc

⑴l,2(2)X]+x2=—，X1X2=-

2a

X5.當ax，bx+c=O(a#0)時，有以下等價命題:

hc

(以下等價關系規定會用公式Xx=--,X=-；A=b2-4ac分析，不規定背記)

1+2aX12a

(1)兩根互為相反數O--=0且ANOOb=0且八20；

a

(2)兩根互為倒數。2=1且ANOoa=c且A20；

a

—=0且一2WO0c=0且bWO；

(3)只有一個零根o

aa

ch

(4)有兩個零根o一=0且——=0oc=0且b=0；

aa

(5)至少有一個零根0—=0<^>c=0；

a

(6)兩根異號u>—<0u>a、c異號；

a

(7)兩根異號，正根絕對值大于負根絕對值o±<0且一2>00a、c異號且a、b異

aa

號；

(8)兩根異號，負根絕對值大于正根絕對值O士V0且-9V0u>a、c異號且a、b同

aa

號；

ch

(9)有兩個正根u>—>0,——>0且A20oa>c同號，a、b異號且A20；

aa

(10)有兩個負根o->0,一2<0且oa、c同號，a、b同號且ABO.

aa

6.求根法因式分解二次三項式公式：注意：當△<。時，二次三項式在實數范圍內不能

分解.

2b+b24ac

ax+bx+c=a(x-X1)(x-x2)或ax?+bx+c=afx--^-Yx—一々b-ac

2a2a

\J

7.求一元二次方程的公式：

2

x-(Xi+x2)x+x'=0.注意：所求出方程的系數應化為整數.

8.平均增長率問題應用題的類型題之一(設增長率為x)：

(1)第一年為a,次年為a(l+x),第三年為ad+x))

(2)常運用以下相等關系列方程：第三年=第三年或第一年+次年+第三年=

總和.

9.分式方程的解法:

(1)去分母法兩邊黑瞥簡驗增根代入最簡公分母(或原方程的每個分母)，值W0.

公分母

(2)換元法湊？1兀‘驗增根代入原方程每個分母,值H0.

換兀.

10.二元二次方程組的解法:

(1)代入消元法---方程組中含有一個二元一次方程；

(2)分解降次法---方程組中含有能分解為(X)=0的方程;

(3)注意:

工晨應分組為以二:鬲二:{Ml{>;

※曾.幾個常見轉化:

2—22—2

(1)X；+X；=(X1+x2)-2XJX2;(X]x2)—(xj+x2)4XJX2;xH——=(xH—)2—2；

X2X

(X1_X2)2=J(X]+x2)24X]X2

(X1>X)

或x2+4=(X-—)2+2；2

X1-X2

X，Xy/(xl~x2)2=~J(X1+x2)2~^X1X2

(X1<X2)

,I[1.分類為Xi-X2=2和-x2=-2

(2)X1—X2=2=4J；

1112.兩邊平方為(X]-X2)2=4

x2(1)分類為^=-和^=--

X1416、

⑶(或V一)nx23x23；

X239

(2)兩邊平方一般不用，因為增加次數.

(4)如X1=sinA,x2=sinB且/A+/B=90。時，由公式sin2A+cos2A=1,cosA=sinB

可推出+x|=1.注意隱含條件：X]>O,x2>0.

(5)x1；x2若為幾何圖形中線段長時，可利用圖形中的相等關系(例如幾何定理，相似形，面積

等式,公式)推導出含有X],X2的關系式.注意隱含條件：X]>0,x2>0.

（6）如題目中給出特殊的直角三角形、三角函數、比例式、等積式等條件，可把它們轉化為某

些線段的比，并且引入''輔助未知元k”.

（7）方程個數等于未知數個數時，一般可求出未知數的值；方程個數比未知數個數少一個時，一

般求不出未知數的值，但總可求出任何兩個未知數的關系.

二,《圓》

幾何A級概念：（規定深刻理解、純熟運用、重要用于幾何證明）

1.垂徑定理及推論：幾何表達式舉例:

如圖：有五個元素，“知二可推三”；需記憶其:CD過圓心

中四個定理，VCDXAB

即“垂徑定理”“中徑定理”“弧徑定理”“中垂

定理”.

AE=BE

平分優弧AD=BC

AD=BD

過圓心

垂直于弦

7B平分弦

平分劣弧

2.平行線夾弧定理:D幾何表達式舉例:

圓的兩條平行弦所夾的弧相等.人,/AB//CD

°。B

…AC=BD

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓幾何表達式舉例：

”等角對等弦”；”等弦對等角”；(1)VZAOB=ZCOD

“等角對等弧”；“等弧對等角”；AB=CD

“等弧對等弦”；“等弦對等（優，劣）弧”；(2)AB=CD

“等弦對等弦心距"；“等弦心距對等弦ZAOB=ZCOD

2

4.圓周角定理及推論:D幾何表達式舉例:

(1)圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半；

(1)NACB二一NAOB

(2)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一2

半；（如圖）

(3)“等弧對等角”“等角對等弧”；(2)VAB是直徑

(4)“直徑對直角”“直角對直徑”；（如圖）NACB=90°

(5)如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這(3)ZACB=90°

個三角形是直角三角形.（如圖）??.AB是直徑

(4)?.*CD=AD=BD

AABCMRt△

2)(3

5.圓內接四邊形性質定理：幾何表達式舉例：

圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外ABCD是圓內接四邊形

A

DE

角都等于它的內對角.ZCDE=ZABC

ZC+ZA=180°

6.切線的鑒定與性質定理：幾何表達式舉例：

如圖：有三個元素，“知二可推一”；(1)；OC是半徑

需記憶其中四個定理.VOC1AB

(1)通過半徑的外端并且垂直于這條AAB是切線

半徑的直線是圓的切線；(2)；0C是半徑

(2)圓的切線垂直于通過切點的半徑；VAB是切線

X(3)通過圓心且垂直于切線的直線必通過切點;.\OC±AB

X(4)通過切點且垂直于切線的直線必通過圓心.(3)

7.切線長定理：幾何表達式舉例：

從圓外一點引圓的兩條切線,.PA、PB是切線

它們的切線長相等；圓心和這一PA=PB

點的連線平分兩條切線的夾角.；P0過圓心

ZAPO=ZBPO

8.弦切角定理及其推論：幾何表達式舉例:

(1)弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；(1)：BD是切線，BC是

(2)假如兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切弦

角也相等；(如圖)AZCBD=ZCAB

(3)弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半.(如

圖)(2)cc

?.：入此雙=觸線

ZCBA=ZDEF

9.相交弦定理及其推詔：幾何表達式舉例：

(1)圓內的兩條相交弦，被交點提成的兩條線段長的(1)VPA?PB=PC?PD

乘積相等；

(2)假如弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直(2)：AB是直徑

徑所成的兩條線段長的比例中項.VPC±AB

APC2=PA?PB

10.切割線定理及其推論：幾何表達式舉例：

(1)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到(1)：PC是切線,

割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；PB是割線

(2)從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線.*.PC2=PA?PB

與圓的交點的兩條線段長的積相等.(2)VPB>PD是割線

APA?PB=PC?PD

幾何表達式舉例:

(1)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦;(1)VOpO,是圓心

(2)假如兩圓相切，那么切點一定在連心線上..?.OQ垂直平分AB

-基本概念：圓的幾何定義和集合定義、弦、弦心距、弧、等弧、弓

形、弓形高

三角形的外接圓、三角形的外心、三角形的內切圓、三角形的內心、圓心角、圓周

角、弦

切角、圓的切線、圓的割線、兩圓的內公切線、兩圓的外公切線、兩圓

的內（外）

公切線長、正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心

距、正

多邊形的中心角.

二定理:

1.不在一直線上的三個點擬定一個圓.

2.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.

3.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形.（、

三公式：1.有關的計算：（1）圓的周長C=2nR；（2）弧長L=述；（3）圓的面

180天二

2

積S=mRl（4）扇形面積S扇彩=UT=^LR；（5）弓形面積S朧=扇形面積S.土AA0B

3602

的面積.（如圖）

2.圓柱與圓錐的側面展開圖:

（1）圓柱的側面積：S=2itrh；（r:底面半徑；h:圓柱高）

（2）圓錐的側面積：SBWW=|LR.（L=2mr,R是圓錐母線長；r是底面半徑）

四常識：

1.圓是軸對稱和中心對稱圖形.

2.圓心角的度數等于它所對弧的度數.

3.三角形的外心。兩邊中垂線的交點o三角形的外接圓的圓心；

三角形的內心O兩內角平分線的交點O