第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些常用函數(shù)？一次函數(shù)二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)（a≠0）導(dǎo)入新課大家首先來看一個(gè)例子

郵局規(guī)定，郵寄包裹，在5千克內(nèi)每千克5元，超過5千克的超出部分按每千克3元收費(fèi)，郵費(fèi)與郵寄包裹重量的函數(shù)關(guān)系式為____．f（x）＝

從中可以知道，函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界有著緊密的聯(lián)系，有著廣泛應(yīng)用的，那么我們能否通過更多的實(shí)例來感受它們的應(yīng)用呢？若能的話，那么如何在實(shí)際問題中建立函數(shù)模型呢？例3：一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖：x13452y1020304070605080905080657590(1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義。

（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時(shí)間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖像。x13452y102030407060508090tt(2)解:x13452y20002100220023002400......分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要模型解決應(yīng)用題的一般程序是：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義．

例4：人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率。下面是1950~1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：55196563005748258796602666145662828645636599467207

(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；

1950195119521953195419551956195719581959

(2)如果按表中數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？于是,1951~1959年期間,我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為5000055000600006500070000012345ty6789

由上圖可以看出,所得模型與1950~1959年的實(shí)際人中數(shù)據(jù)基本吻合.（2）將y=1300000代入

y=55196e0.0221t，由計(jì)算機(jī)可得：t≈38.76

這就是說按照這個(gè)增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年（即1989年），我國(guó)的人口就已經(jīng)達(dá)到13億。如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力！解模驗(yàn)?zāi)Ｓ媚＠?某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240分析：由表中信息可知①銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶②銷售利潤(rùn)怎樣計(jì)算較好？解：設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)為y元，則有日均銷售量為480-40（x-1）=520-40x

（桶）

而有最大值

只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn)。解模驗(yàn)?zāi)Ｓ媚＿x模例6某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表所提供的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常?作出散點(diǎn)圖分析畫出大致圖像觀察這個(gè)圖象，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線，根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況，我們可以考慮用函數(shù)y=a?bx來近似反映.解：⑴將已知數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，畫出圖象；如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70，7.90）,（160，47.25）根據(jù)圖象，選擇函數(shù)進(jìn)行擬合．代入函數(shù)由計(jì)算器得從而函數(shù)模型為⑵將x=175代入得由計(jì)算器計(jì)算得y≈63.98，所以，這個(gè)男生偏胖．由于給出數(shù)據(jù)建模的程序收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇模型求解模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪褂媚Ｐ筒环献⒁恻c(diǎn)：

1．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求．2．在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母，列表，畫圖等使實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號(hào)化．3．對(duì)于建立的各種數(shù)學(xué)模型，要能夠模型識(shí)別，充分利用數(shù)學(xué)方法加以解決，并能積累一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決實(shí)際問題的重要資本．小結(jié)

本節(jié)內(nèi)容主要是運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)去解決實(shí)際問題，要求學(xué)生掌握函數(shù)應(yīng)用的基本方法和步驟．函數(shù)的應(yīng)用問題是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，必須下功夫練好基本功．本節(jié)涉及的函數(shù)模型有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及較簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)．其中，最重要的是二次函數(shù)模型．1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天房?jī)r(jià)住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達(dá)到最高，每間定價(jià)應(yīng)為（）A.20元B.18元C.16元D.14元2.將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了取得最大利潤(rùn)，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為()A.95元B.100元C.105元D.110元CA課后練習(xí)3．某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20％，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5％以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）

（參考數(shù)據(jù)lg2＝0.3010，lg3＝0.4771