2024江蘇中考數學二輪專題復習逆等線之乾坤大挪移

歡型.解讀

一罐hW；襁瓢薛行西麗

2022年四川省內江中考

2022濱州中考

題型二構造SAS型全等拼接線段

2022?貴州遵義?統考中考真題

2023?日照?二模

2023?咸陽?二模

2023?深圳中學聯考

2023?甘肅武威中考真題拆解

2023?黃岡中考真題拆解

題型三構造相似求加權線段和

2023年成都市天府新區二模

2022?廣州中考真題（7種解法）

2023?湖北黃石中考拆解

題型四取到最小值時對其它量進行計算

湖北武漢?中考真題

l^l滿分?技巧

一、什么是逆等線段。

兩個動點分別在直線上運動，且它們各自到某一定點的距離始終相等,那么這兩條始終相等

的線段稱為逆等線段。

二、解題步驟：

1.找三角形。找一條逆等線段，一條動線段構成的三角形。（圖中本身就有的三角形，不要

添加輔助線以后構成的三角形）

2.確定該三角形的不變量。在動點移動過程中，該三角形有一個邊長度不變，有一個角的大

小不變。

3.從另一逆等線段的定點引一條線。使得線段長度等于第二步中的那個不變的邊長，與這個

逆等線段的夾角等于第二步中那個不變的角。

4.問題轉化為將軍飲馬問題求最值。

【模型解讀】

△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE,即逆向相等，則稱AD和CE為逆等

線，就是怎么別扭怎么來。

一般情況下，題目中有兩個沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動，也歸為逆等線問題。

觀察圖形，我們很容易發現，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方

法構造全等三角形來實現線段轉移，從而使逆等線段產生關系，最終解決問題。

這樣解釋很籠統很枯燥，我們以具體例題來描述

如圖，在4ABC中，NABC=60°,BC=8,AC=10,點D、E分另U是AB、AC上的動點，且AD=CE,

求CD+BE的最小值。

A

分析思路：

①AD在aADC中，那么我們就以CD為一邊構造另一個三角形與之全等，這個

也叫做一邊一身造全等。

②即過點C作CF〃AB,且CF=AC。(構造一邊一角，得全等)

③構造出△ADCgZ\CEF(SAS),證出EF=CD

④CD+BE=EF+BE,根據兩點之間，線段最短，連接BF,則BF即為所求

此時，B、E、F三點共線，本題中，也可以利用三角形三邊關系去求最值

⑤求BF

AB

核心.題型

""^

題型一半移，對稱或構造平行四邊形

2022年四川省內江中考

1.如圖，矩形ABCD中，AB=E),八。=4,點E、F分別是AB、0c上的動點，EF〃BC,則

AF+CE的最小值是.

2.如圖，RtZVlBC中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E為AB邊上的兩個動點，且AD=BE,

連接CD,CE,若AC=2,則CD+CE的最小值為.

3.如圖，在矩形48co中，AB=1,AD=2,點E在/。上，點F在8c上，且/E=C尸,

連結C￡,DF,則CE+D尸的最小值為

2022濱州中考

4.如圖，在矩形4BCD中，AB=5,AD=10,點E是邊A。上的一個動點，過點E作EFLAC,

分別交對角線AC,直線BC于點O,F,則在點E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值

為.

5.如圖，在矩形ABCO中，AB=6,/。=5,點P在邊/W上，點Q在邊BC上，且/尸=C。，

連接CP,QD,則尸C+。。的最小值為.

6.如圖，正方形48CD的邊長為2,M是8c的中點，N是/”上的動點，過點N作EF

分別交AS,CD于點、E,F.

(2)EN+4F的最小值為.

題型二構造SAS型全等拼接線段

7.如圖，在△ABC中，/4BC=90。，ZA=60°,AB=2,。、E分別是AC、AB上的動點，且

AD=BE,F是BC的中點，貝!IB0+EF的最小值為.

BC

8.如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=3而，點、E、F分別是對角線AC和邊CD上的動點,

且AE=CF,則BE+BF的最小值是.

9.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,E為邊BC上一點，AE=AD,M,N分別為線段

AE,BE上的動點，且AM=EN,連接。M、DN,則DM+DN的最小值為.

10.如圖，菱形ABC。中，/ABC=60。，48=2,E、F分別是邊BC和對角線8。上的動點,

且BE=DF,則AE+AF的最小值為.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,6),C(4,3),CD_Ly軸于。，連接。C,

E、F分別是線段CD、OC上的動點，且CE=OF,連接AE、AF,則AE+AF的最小值為

，此時點E的坐標為.

12.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,/ACB=30。，AB=2,將△ABC繞點A順時針旋轉30。

到△ABC,M、N分別為邊AC'上的動點，且A/W=CW,連接C/W、CN,則C/W+

CN的最小值為.

2022?貴州遵義?統考中考真題

13.如圖，在等腰直角三角形48C中，447=90。，點M,N分別為BC,/C上的動點,

且4N=CW,AB=42.當MW+8N的值最小時，CM的長為.

2023-日照?二模

14.如圖，在平面直角坐標系中，等腰RtaABC三個頂點在坐標軸上，/&4C=90°,點。,

E分別為BC,NC上的兩個動點，S.AE=CD,AC=2^2.當4。+BE的值最小時，則

點D的坐標為.

2023?咸陽?二模

15.如圖，在RtZX/BC中，/C=2,8c=1,N/3C=90。，點P是邊BC上的動點，在邊NC

上截取CQ=BP,連接AP.BQ,則AP+BQ的最小值為.

2023?深圳中學聯考

16.如圖，點E是正方形48co內部一個動點，且NO=E8=8,BF=2,則DE+C尸的最

小值為（）

C.7A/2D.V97

17.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,48=6,BC=4,D,E分別是AC,AB上的動點,

且AD=BE,連結BO,CE,則BO+CE的最小值為.

BC

18.如圖，菱形ABCD中，ZABC=&0°,AB=2,E、F分別是邊BC和對角線B。上的動點,

2023?甘肅武威中考真題拆解

19.如圖1,拋物線/=*+&與x軸交于點A,,與直線歹=-%交于點8(4,-4),點C(0,-4)

在了軸上.點尸從點B出發，沿線段60方向勻速運動，運動到點。時停止.

(1)求拋物線、=--+云的表達式;

(2)如圖2,點尸從點8開始運動時，點。從點。同時出發，以與點P相同的速度沿x軸正方

向勻速運動，點P停止運動時點。也停止運動.連接8。，PC,求。尸+8。的最小值.

2023?黃岡中考真題拆解

13

20.已知拋物線＞=-萬/+萬X+2與x軸交于43(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,2),點P為

如圖2,點。在y軸負半軸上，點Q為拋物線上一點，NQBD=90。，點、E,F

分別為△3D。的邊上的動點，QE=DF,記BE+。尸的最小值為m.

①求m的值；

②設尸CB的面積為S,若S=；機,一左，請直接寫出k的取值范圍.

4

題型三構造相似求加權線段和

2023年成都市天府新區二模

21.如圖，在中，ZBAC=90°,AB=l,AC=2.D,E分別是邊48,NC上的

動點，且CE=2/。，則8E+2C。的最小值為.

22.如圖，已知%BC=AB=3,片為雨邊上一動點，連接〃點在Z6延

長線上，旦CE=2BD,則2E+2C?的最小值為

23.如圖，菱形ABCD的邊長為1,ZABC=60°.E,F分別是BC,BD上的動點，且CE=

DF,則AE+AF的最小值為o

24.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4J3,E,F分別是BD,BC上的一動點，且BF

=2DE,則AF+2AE的最小值是.

25.如圖，等腰直角AABC中，斜邊BC=2,點D、E分別為線段AB和BC上的動點,

BE=y[2AD，求AE+0CD的最小值.

2022?廣州中考真題（7種解法）

26.如圖，在菱形4BCD中，ZBAD=120°,AB=6,連接BD.

⑴求BD的長；

（2）點E為線段BD上一動點（不與點B,D重合），點F在邊4D上，且BE=6DF,當四邊

形ABEF的面積取得最小值時，CE+y/jCF的值是否也最小？如果是，求CE+^CF的最小值;

如果不是，請說明理由.

2023?湖北黃石中考拆解

27.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線片-；f+gx+4與x軸交于兩點/（-3,0）,8（4,0）,

與y軸交于點。（0,4）.若點。，E分別是線段/C,上的動點，且NE=2CD,求

CE+28。的最小值.

題型四取到最小值時對其它量進行計算

28.如圖，為等邊/3C的高，M、N分別為線段40、NC上的動點，更AM=BN,當

3M+CN取得最小值時，ZANC=.

29.如圖，已知RtAABC,ZC=90°,ZC4B=30°,BC=2,點M,N分別為CB,CA上的動

點，且始終保持BM=CN,則當AM+BN取最小值時，CN=

30.如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點4c處各有一只電子烏龜P和Q同時

起步以相同的速度分別沿AH,CA向前勻速爬動.確定當兩只電子烏龜到B點距離之和

PB+QB最小時，ZPBQ的度數為

C

BH

31.如圖，已知直線AB：y=455x+A/五分別交x軸、y軸于點B、A兩點，C（3,0）,D、

3

E分別為線段40和線段AC上一動點，BE交y軸于點從且A0=CE.當BD+BE的值最

小時，則H點的坐標為

湖北武漢?中考真題

32.如圖（1）,在中，AB=AC,Z8ZC=90。，邊48上的點。從頂點A出發，向

頂點3運動，同時，邊3c上的點￡從頂點3出發，向頂點C運動，D,￡兩點運動速

度的大小相等，設x=y=AE+CD,V關于尤的函數圖象如圖（2）,圖象過點（0,2）,

則圖象最低點的橫坐標是.

參考答案與試題解析

題型一平移，對稱或構造平行四邊形

2022年四川省內江中考

33..

【答案】10

【分析】延長3C到G,使CG=EF,連接尸G,證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE

=FG,得出當點N、F、G三點共線時，NF+CE的值最小，根據勾股定理求出NG即可.

【詳解】解：延長5C到G,使CG=EF,連接尸G,

；EF〃CG,EF=CG,

：.四邊形EFGC是平行四邊形，

:.CE=FG,

：.AF+CE^AF+FG,

當點/、F、G三點共線時，/b+CE的值最小為NG,

由勾股定理得，AG=ylAB2+BG2=后+(4+4)2=需,

尸+CE的最小值為10

34..

【答案】4

解：如圖：

A..................................."尸

構造矩形ACBF,連接DF,EF,CF交AB于點O,

則OF=OC,OA=OB,AB=CF,

VAD=BF,.,.OD=OE,四邊形CEFD為平行四邊形,

；.DF=CE,CD+CE=CD+DFCF,

：RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,

；.AB=2AC=4,ACD+CE^4,故答案為：4.

35..

【答案】2A/2

【分析】證BAE咨DCF得CE+DF^CE+BE,作點5關于AD的對稱點B',則

CE+BE^CE+B'E>CB',據此即可求解.

【詳解】解：連接5E,作點3關于/。的對稱點B',連接C8',EB'

由題意得：AB=CD,ABAE=DCF=90°

AE=CF

BAE^DCF

：.BE=DF,CE+DF^CE+BE

?；BE=B'E,

：.CE+BE=CE+B'E>CB'

CB'=^JCB2+BB'2=V22+22=2V2

CE+O尸的最小值為2J5

2022濱州中考

36..

［答案］25+5—

2

【解析】?；AB=5,AD=10,.*.AC=752+102=575.

VEF±AC,二由矩形內十字架模型可知，

EFABEF5575

——=—,=一，,\EF=—.

ACAD5j5102

以EF,EC為鄰邊作OEFGC,則EC=FG,CG=EF=上叵，

2

ZACG=ZEOC=90°.

在RtaACG中，AG=^AC2+CG2=~，

AF+FE+EC=AF+FG+FE》AG+FE=25+5—

2

AAF+FE+EC的最小值為25+5、.

2

37..

【答案】13

【分析】連接8尸，在8/的延長線上截取4E=N5=6,連接尸E,CE,PC+QD=PC+PB,則

PC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值，在A4的延長線上截取AE=AB=6,則

PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,根據勾股定理可得結果.

【詳解】解：如圖，連接3P,

在矩形/BCD中，AD//BC,AD=BC,

■：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

：.四邊形DPBQ是平行四邊形，

J.PB//DQ,PB=DQ,

則PC+QD=PC+PB,則PC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值,

在BA的延長線上截取AE=AB=6,連接PE,

'：PA±BE,

:.PA是BE的垂直平分線，

：.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

連接CE,則PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

,:BE=2AB=12,BC=AD=5,

:-CE=y)BE2+BC2=A/122+52=13.

J.PC+PB的最小值為13

38..

［答案］VsM

【分析】(1)根據正方形的性質求得48與無攸，再由勾股定理求得ZM；

(2)過戶作FG-LAB于G,證明畦4BM咨AFGE得AM=EF,再將所沿方向平移至MH,

連接小，當/、F、X三點共線時，的值最小，由勾股定理求出此時

的AH的值便可.

【詳解】解：(1)：正方形A8CD的邊長為2,

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

是BC的中點，

：.BM=-BC=1,

AM=^AB2+BM2=V?,

故答案為：5

(2)過F作FGLAB于G,則FG=BC=AB,ZABM=ZFGE=90°,

"：EF±AM,

：.NBAM+NAEN=ZAEN+ZGFE=90°,

：.NBAM=NGFE,

：./\ABM咨△FGE(ASA),

：.AM=EF,

將M沿EN方向平移至連接FH,則EF=MH,N4MH=90°,EM=FH,

當/、尸、〃三點共線時，EM+4F=FH+4F=4H的值最小,

此時EM+AF=AH=yjAM2+MH2=4s+5=V10,**?EM+AF的最小值為V10

題型二構造SAS型全等拼接線段

39.如圖，.

【答案】V13

提示：作BG//AC且BG=AB,連接GE,作GH±BC于H

則NG5〃=NC=30。，GH=l,HB=^

BF=?HF=2?GF=J13

/XABD^/XBGE(SAS),BD=GE

BD+EF=GE+EF、GF=\Ki,最小值為行

40.如圖，.

【答案】3s

提示：作/G-L/C且/G=8C,連接8G、EG

則BF=GE

BE+BF=BE+GE，BG

解AABG得BG=3由,8E+8尸的最小值是3s

41.如圖_________

【答案】4仍

提示：連接4V

由題意，AD=AE,NDAM=NAEN=3Q°,AM=EN

:.工ADM沿/\EAN,:.DM=AN

延長48至點使⑷B=4B,連接/'N、A'D

則AN=A'N,:.DM+DN=AN+DN=A'N+DNNA'D

當/'、N、。三點共線時。M+ZW的值最小

此時A'N=DN,：.AN=；AD=DN

...點N在線段ND的垂直平分線上

:.BN=十BC=2,.XN=/A8=2也

DM+DN^A'D-2AN=4^2

即DM+ZW的最小值為4也

42..

【答案】2仍

提示：作且5G=/2,連接NG、EG

則AD=BG,NADF=NGBE=30°

文,：DF=BE,：./\ADF^AGBE,：.AF=EG

：.AE+AF=AE+EG^AG=yj2AB=2\l2

即4B+/P的最小值為2仍

43..

【答案】(―,0)

13

NACE=NOCE=ZBOF

又,：CE=OF,：./\ACE^/\BOF(SAS),:.AE=BF

,：A(0,6),B(5,0),:

：.AE+AF^AF+BF^AB^\l61,即/￡+//的最小值為M

此時點尸落在線段43上，即直線與OC的交點

易求直線45:y=---；%+6,直線。C:y—x

可得/（--，團-）,CE=OF=DE=CD-CE=4-包-=工

1313131313

7

J此時點E的坐標為（——,0）

44..

【答案】4/

提示：連接AN

由題意，AM=C'N,NC'=NACB=NC4C'=3Q°,AC^AC

：./\ACM^/\C'AN,:.CM=AN

延長48'至點使4'B'=AB',連接/'N、A'C

則AN=A'N,：.CM+CN=AN+CN=AW+CN^A'C

當N'、N、。三點共線時CA/+CN的值最小

此時A'N=CN,：.AN=-A'C=CN

:.點N在線段NC的垂直平分線上

：.B'N=AC=AB=AB',:.AN=@4B，=\^AB=2出

：.CM+CN^A，C=2AN=4/

即CM+CN的最小值為4/

2022?貴州遵義?統考中考真題

45..

【答案】2-V2

【分析】過點八作40〃8。，且力c,證明△4ND咨ACMA,可得AM=DN,當B,N,D

三點共線時，5N+/"取得最小值，證明=即可求解.

【詳解】如圖，過點A作且仞=/。，連接DN,如圖1所示，

ZDAN=ZACM,

又AN=CM,

/.AND沿CMA,

AM=DN,

BN+AM=BN+DN>BD,

當氏N,Z）三點共線時，BN+力M取得最小值，

此時如圖2所示，

在等腰直角三角形45C中，ABAC=90°,AB=42

BC=6AB=2,

△AND94CMA,

/.ZADN=ZCAM,

AD=AC=AB,

ZADN=/ABN,

AD〃BC,

:"ADN=/MBN,

/.AABN=/MBN,

設NM/C=a,

/.ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

/./ABM=ZABN+ZNBM=2a=45°,

/.a=22.5°,

/.ZAMB=180。—NBAM-/ABM=180。—90。+a—45。=67.5。，ZBAM=90°-22.5°=67.5°,

AB=BM=6,

:.CM=BC-BM=2-y[l,

即8N+ZM取得最小值時，CM的長為2-亞，

故答案為：2-血.

圖1

圖2

2023?日照,二模

46..

【答案】(2V2-2,0)/(-2+2V2,0)

【分析】如圖：過點。作C5'J_8C使C8'=A8,連接B'。；證C8Z)(SAS)可得

DB'=BE,/8=CS';將NO+BE■最小值可轉化成4D+CB最小值，則當在同一

直線上時，4D+BE最小，即48,長度；；再根據/C=2后求得48=C3'=/C=2j5、

OA=OC=^x2y/2=2,即/(0,2),"(2,-2后)；再運用待定系數法求得直線/夕表達式，

最后將＞=0代入表達式求得x的值即可解答.

【詳解】解：如圖：過點C作CB'，6c使C3'=/B,連接9。，

在ABE和ACB'D中，

AB=CB'

＜ABAE=ZB'CD,

AE=CD

：.ABE=CB'D(SAS),

：.DB'=BE,AB=CB',

，NO+BE最小值可轉化成4D+CB'最小值，

當A、D、B在同一直線上時，4D+BE最小，即4夕長度;

AC=2y/2,

AB=CB'=AC=2y[2,OA=OC=^—X242=2

2

/(0,2),8”,-20)

設N8'表達式為：y=Ax+6(左＜0),由題意可得:

b=2

2k+b=-2y/2)

b=2

解得:

k=-41-X'

AB'表達式為:y=—^A/2+1）x+2,

將y=0代入得：0=-（V2+l）x+2,

解得：x=2&-2,

點坐標為（2行一2,0）.

故答案為：（2后-2,0）.

2023?咸陽?二模

47..

【答案】近

【分析】由“SAS”可證ABP沿DCQ,可得AP=DQ,則N尸+8。的最小值為8。，由勾

股定理可求解.

【詳解】解：過點C作CD_L/C,并截取CD=4B,連接BD,設BD交AC于點、E,

■：AC^2,BC=LZABC=90°,

AB=y）AC2-BC2=V4-1=V3,cosZACB=1,

ZACB=60°,

VAB=CD=^3,ZABP=ZDCQ=90°,BP=CQ,

：.ABP出DCQ（SAS）,

：.AP=DQ,

AP+BQ=DQ+BQ,

在△B。。中，BQ+DQ>BD,

：.4P+8。的最小值為3。，

如圖，過點、B作BFLCD于F,

:.BF//AC,

：./FBC=/ACB=60°,

BCF=3。。,

ii同

:?BF=—BC=—,CF=—,

222

2

/.BD=yjBF2+FD2=

2023?深圳中學聯考

48.()

【答案】A

【分析】取BG=5尸=2,貝ICG=8-2=6,證明BGEqBFC得出/BEG=/BCF,進而證

明"CE=NGEC,即可證明FCE會GEC,得出EG=CF,則當E,G,Z)三點共線時，

DE+Cb取得最小值，最小值為。G的長，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取8G=B尸=2,則CG=8-2=6,連接EG,

,:AD=EB=8,BF=2,

...點￡在以3為圓心8為半徑的圓上運動，點戶在以3為圓心2為半徑的圓上運動,

在BGE,BFC中，

BF=BG

<ZEBG=ZCBF,

BE=BC

：.BGE出BFC,

：.ZBEG=NBCF,ZBGE=ABFC

，ZFGC=ZCFE,

?/BE=BC=8,

：.ZBEC=ZBCE,

即ZFEC=ZGCE,

ZFCE=ZGEC,

又CG=￡F=6,ZFGC=ZCFE,

：.FCE出GEC,

：.EG=FC,

當EG=FC時，則當E,G,。三點共線時，DE+CF取得最小值，最小值為。G的長,

在RtZXCDG中，DG=ylDC2+CG2=10

49..

解：過B作8F〃AC,在平行線上取8F=AB,連接EF,如圖:

：.ZEBF=ZA,

VBF=AB,BE=AD,

:.ABEF咨dADB(SAS),：.EF=BD,：.BD+CE=EF+CE,

當C,E,F共線時，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即為CF的長度,

VBF//AC,ZACB=90°,

；./FBC=90°,

/.CF=NBe?+BF?=2VT3,

??.BD+CE最小為2屈，故答案為：25.

50..

【答案】272

【詳解】解：如圖，BC的下方作/CB7=30°,在87■上截取BT,使得BT=AO,連接ET,

AT.

：.ZADC=ZABC=60°，ZADF=-ZADC=30°,

2

'：AD=BT,NADF=NTBE=30°,DF=BE,

:.AADF與ATBE(SAS),：.AF=ET,

VZABT^ZABC+ZCBT^60°+30°=90°,AB=AD=BT^2,

：.AT=yjAB2+BT2=2V2,：.AE+AF=AE+ET,'：AE+ET^AT,：.AE+AF^272,

.?.AE+AF的最小值為20,故答案為20.

2023?甘肅武威中考真題拆解

51..

【答案】⑴)=-丁+3%

(2)473

【分析】(1)用待定系數法求二次函數解析式即可；

(2)由題意得，BP=OQ,連接3c.在。/上方作OMQ,使得/MOQ=45。，OM=BC,

證明△CAPg/\M9Q(SAS),根據"+5。=河0+5。之班得出。尸+8。的最小值為班，

利用勾股定理求得出，即可得解.

【詳解】(1)解：,拋物線歹=*+反過點8(4,-4),

???—16+46=—4,

:?6=3,

y=-x2+3x;

(2)如圖2,由題意得，BP=OQ,連接3C.

在。4上方作OMQ,使得/兒。。=45。，OM=BC,

?：OC=BC=4,BCLOC,

：.ZCBP=45°,

/.ACBP=AMOQ,

,:BP=OQ,ZCBP=ZMOQ,BC=OM,

：.△CB尸之△/O0（SAS）,

：.CP=MQ,

：.CP+BQ=MQ+BQ>MB（當M,Q,3三點共線時最短）,

CP+3。的最小值為Affi,

ZMOB=ZMOQ+ZBOQ=45°+45°=90°,

MB=yiOM2+OB2=,+（4⑹2=4百,

即CP+8。的最小值為4JL

2023?黃岡中考真題拆解

52.連接C4c

【答案】m=2岳,134人<17

【分析】①作。且使DH=BQ,連接FH.根據SAS證明BQE^HDF,可得

BE+QF=FH+QF>QH,即。，F,〃共線時，8E+。尸的值最小.作QGL48于點G,

設G(",0),則+根據。G=BG求出點。的坐標，燃然后利用勾股定理

求解即可；

②作尸T〃y軸，交3c于點7,求出3c解析式，設—+P^a,——a2+—a+2^j,

利用三角形面積公式表示出S,利用二次函數的性質求出S的取值范圍，結合①中結論即可

求解.

【詳解】解：①如圖2,DHVDQ,且使DH=BQ,連接FH.

?：ZBQD+ZBDQ=90°,ZHDF+ZBDQ=90°,

ZQD=ZHDF,

QE=DF,DH=BQ,

：.BQE沿HDF(SAS),

BE=FH,

：.BE+QF=FH+QF>QH,

：.Q,F,H共線時，BE+Q廠的值最小.作。G_L/B于點G,

VOB=OD,/BOD=90。,

：.NOBD=45。,

?.?/QBD=90。,

：./QBG=45。,

JQG=BG.

設G(”,0),則。+[”+2),

i3

?2+—n+2=4—H,解得〃=1或〃=4(舍去),

???。(2,3),

0G=5G=4—1=3,

BQ=DH=3V2,QD=5亞,

m=QH=J(3碼2+(5匈2=2V17；

②如圖3,作PT〃》軸，交BC于點、T,待定系數法可求解析式為y=—gx+2,

設T(。,一5Q+2),尸a2+5q+2),

則s=+|.Q+2+；Q_2]X4=_("2/+4,

.*.0<5<4,

19,

0<—JTI—左44,

4

???0<17—左<4,

A13<A:<17.

題型三構造相似求加權線段和

2023年成都市天府新區二模

53.最小值為.

【答案】V29

【分析】過C作CFL/C于尸，使CF=2/C=4,連接跖、BF,即可得到￡尸2CD,

BE+2CD=BE+EF>BF,即最小值為3月的長.

【詳解】方法一：過C作CF_L/C于尸，<CF=2AC=4,連接所、BF,

：CE=2AD,

.CECF

?萬一就一

；ZDAC=ZFAC=90°,

DACECF,

??烏="=空=2,即EF=2CD,

ADACCD

??BE+2CD=BE+EF2BF,

,?當AE、尸三點共線時8E+2CQ有最小值，最小值為5尸的長

??ZDAC=ZFAC=90°

?.ABCF,

.OBOAAB

，9~OF~OC~CF9

VAB=\,AC=2,CF=2AC=4

.OBOAAB

548

.?.BF=-OF,OC=-AC=-,

455

???OF=y/0C2+CF2+42=1^29,

BF=-OF=429

4

BE+2CD的最小值為莊

方法二：AD=x,則CE=2/￡>=2x,AE=AC-CE=2-2x,

??BE=-\lAE2+AB~—J（2—2x）+『，CD=yjAD2+AC2=ylx2+22

設2y=BE+2CD,

?.y=^BE+CD=^（2-2X）2+12+VX2+22=^（X-1J+1+&+4

=j（x_l）2+（0_J+J（x-0）2+（0+2）2

...y可以看成點M（x,0）到點A",m和B（0,-2）的距離之和，

當M（x,0）、/"，曰、5（0,-2）三點共線時V最小，最小值

y="=J（o-1『+卜2-￡|=與

54.為________

【答案】3皿

解：作CF_LCB,且使得CF=6,連接EF

過點A做AG-LCF,交FC延長線于點G

?.?空=空=2,

.,.△FCE^ACBD,EF=2CD

；.AE+2CD=AE+EF

當A、E、F三點一線時，AE+EF取到最小值，此時AE+EF=AF

易知：四邊形ABCG為正方形AG=3,CG=3

FG=9在RtAFAG中，由勾股定理得AF=3vT0

AE+2CD的最小值為3\W

55.為o

【答案】V2

【解答】解：如圖，連接AC,過點C作CT_LCA,使得CT=AD=1,連接AT.

?.?四邊形ABCD是菱形,

，AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=60°,ZADB=-ZADC=30°,

2

/.AABC是等邊三角形，

NACB=60°,AC=AB=1,

VAC±CT,

AZECT=30°,

/.NADF=NECT,

VCE=DF,CT=DA,

.?.△ADF四△TCE(SAS),

；.AF=ET,

，AE+AF=AE+ET丁AT,

VZACT=90°,AC=CT=1,

二AT=7^C2+CT2=Vl2+12=6'

AE+AF》J],AE+AF的最小值為J].

56.是o

【答案】4V13

【解答】解：連接DF,延長AB到T,使得BT=AB,連接DT.

?四邊形ABCD是矩形，

ZBAD=ZABC=90°,BC/7AD,

ADV3

.".tanZDBA=——,NADE=NDBF,

AB3

AZDBA=30°,

；.BD=2AD,

：BF=2DE,

.?.△DBF^AADE,

.\DF=2AE,

；.AF+2AE=AF+DF,

VFB±AT,BA=BT,

；.FA=FT,

AF+2AE=DF+FT》DT,

'-,DT=1AT?+AD?=4V13

AF+2AE24屈，

.'.AF+2AE的最小值為4713

57.值.

【答案】JR)

解：作BF_LBC并且使得BF=2,連接EF

......MEFSAADC

，EF=OCD；.AE+、/2CD=AE+EF

當A、E、F三點共線時，AE+EF取到最小值，此時AE+EF=AF

反向延長BF,過點A作AH_LBF于點H

在RtAAHF中，由勾股定理易得：AF=vIo

...AE+v^CD的最小值為、訶

2022?廣州中考真題（7種解法）

58.BD.

【答案】（1）8。=66；（2）最小值為12

【分析】（1）證明△4BC是等邊三角形，可得8。=36，即可求解；

（2）過點E作/。的垂線，分別交和2C于點W,N,根據菱形的面積可求出MN=36,

]1

設BE=x,則EN=-X,從而得到EM=MN-EN=343一一x,再由BEfDF,可得DF=—x,

223

從而得到四邊形ABEF的面積S=S/AD-S40EF=^1（X-3V3）2+岑1,作CH_L4D于氏

可得當點E和尸分別到達點。和點〃位置時，CF和CE分別達到最小值；再由

s=^|（x-3百丫+^^,可得當》=3百，即3￡=36時，s達到最小值，從而得到此時

點E恰好在點。的位置，而點F也恰好在點H位置,即可求解.

【詳解】（1）解：連接NC,設AC與BD的交點、為O,如圖，

:四邊形/BCD是菱形，

C.ACLBD,OA=OC,AB//CD,/C平分/DAB,

ZBAD=120°,

：.ZCAB=60°,

：.△48C是等邊三角形，

BO=AB'sm6Q°=6x=373,

2

：.BD=2BO=643；

(2)解：如圖，過點E作/。的垂線，分別交4D和3c于點M,N,

:△/8C是等邊三角形，

：.AC=AB=6,

由⑴得：BD=6拒;

菱形N5CD中，對角線3。平分NN3C,AB//CD,BC=AB=6,

:.MN1BC,

'：ZBAD=nO0,

：.ZABC=60°,

：.NEBN=3Q°;

：.EN=^-BE

?：%形小=-AC-BD=MNBC,

:.MN=3B

設BE=x,則￡7V=；x,

EM=MN-EN=3痔gx,

StiyABCD=AD'MN=6x3A/3=18A/3,

:.SMBD=ff/ABCD=9^3,

:BEfDF,

.3軍國,

A/33

：.SADEF=vDF-EM==-—x2+-x,

22312J122

記四邊形48所的面積為s,

2

5=SAABD-SADEF=973-x+-x)=-(x-3^,

12212\"4

:點￡在8D上，且不在端點，：.0<BE<BD,即0<x<6。；

作CHLAD于H,如圖，

\'CO±BD,CHLAD,而點E和尸分別在BO和40上，

，當點E和尸分別到達點。和點〃位置時，CF和CE1分別達到最小值；

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,VZBAD=12O°,：.ZADC=60°,

...△/CD是等邊三角形，：.AH=DH=3,:.CH=3日

..,5=*1-36)2+^^,?,.當x=3—，即8￡=36時，s達到最小值，

;BE=#,DF,：.DF=3,此時點￡恰好在點。的位置，而點歹也恰好在點〃位置，

當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值，

.-.CE+V3CF的值達到最小，其最小值為CO+V3CH=3+V3X3A/3=12.

【其它幾何構造方法】

法2：EE+收方核心是處理,剛好有BE=?DF,還有維和作兩個動點需

要拼一起，所以考慮把△勿尸放大百倍后拼到BE處

過夕作BI：LBC,BI-BD=^CDnACDFsAiBE=CE+也CF=

<^E+IE>CI=2BC=n

法3：運D代DC,CD,跳DG=、^CDnXDCFsXBCE

3

則CE+CCF=My-CE+CF=^〈GF+CF)2也CG=\2

D

E

G

AB

法4：先把分放大G倍，再把AC空拼過來，延長〃到夕使“>=62疾■GH〃AD

交妨于H,作CO：綺且G0=AB=6nACDF?ACGH,下略

法5：企對稱轉化為2E過6作夕A2區13]=13D=+AB0KCDFSMBE

由于對稱性，CE=AE,所以拼在上面也可以?這個算湊數吧

法6：先把分放大百倍，再把拼過來

延長叱到少使DG=BD,作GHIICF爻AD千H

作DO1DC,且DO=AB=gxCDFsXCDH,

DH=43DF=BE,GH=瓜F7%空△BCE,CE=OH

時有CE+也CF=OH+GH2OG=12

法7:先把延縮小放大6倍到/〃，再把△"加"拼過來

在叼上取CH=2出,過，作H!//勿交C￡于/,作HCLBC,則HG=AB='CIH

s&CEB,13E=V3HI,Hl=D4&CDP^XCH10CF=CH

(反、

—CE+CF=V3(C/+G/)>V3CG=12

3

2023?湖北黃石中考拆解

59..

【答案】V233.

【分析】作/E4G=/8C。，證明且相似比為1：2,故當C、E、G共線時,

CE+2BD=CE+EG=CG為最小,進而求解.

【詳解】解：作/E/G=N8CD,

設4G=28C=2x4^=872-

AE=2CD,

:./\BCD^/\GAE且相似比為1:2,

貝ijEG=2BD,

故當C、E、G共線時，CE+2BD=CE+EG=CG為最小,

在4BC中，設NC邊上的高為〃，

則4/BC=gx/C.力=gx/8x