圓的有關性質（第4課時）教學目標1．理解圓周角的概念，知道圓周角與圓心角的異同．2．掌握圓周角定理及其推論，能靈活運用定理及其推論解決有關的證明與計算問題．3．經歷探索圓周角與圓心角的關系的過程，發展邏輯推理能力，進一步體會分類討論和轉化的數學思想．教學重點探索圓周角定理及其推論，并利用其解決問題．教學難點圓周角定理的證明中的分類討論．教學過程新課導入如圖，教練讓甲、乙、丙三人分別在C，D，E三處射門，僅從射門角度大小考慮，教練的做法公平嗎？為什么？【師生活動】教師給出分析：這個問題實際上就是比較∠C，∠D，∠E的大小，如果∠C＝∠D＝∠E，那么教練的做法是公平的．【設計意圖】從生活中的實際問題入手，將實際問題數學化，使學生認識到數學總是與現實問題密不可分．利用簡單的實例，引出本節課的學習內容——圓周角．新知探究一、探究學習【問題】如圖，∠ACB的頂點和邊有哪些特點？【師生活動】學生觀察圖形，教師引導學生結合圖形認識到：∠ACB的頂點在⊙O上，角的兩邊分別交⊙O于A，B兩點．【答案】（1）角的頂點在圓上；（2）角的兩邊都與圓相交（指除頂點外，角的兩邊分別與圓還有另外一個交點）．【新知】如圖中的∠ACB，它的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交，我們把這樣的角叫做圓周角．【設計意圖】讓學生結合圖形，獲得圓周角的定義，初步理解圓周角．【練習】結合下面的動圖，鞏固圓周角的特征．【師生活動】教師展示動圖，學生獨立思考總結．【設計意圖】同時呈現有關圓周角的正例和反例，加深學生對圓周角概念的理解．【問題】如圖，連接AO，BO，得到圓心角∠AOB．可以發現，∠ACB與∠AOB對著同一條弧，它們之間存在什么關系呢？【師生活動】教師提出問題：分別測量圖中所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的度數，你發現了什么？學生通過觀察、度量，猜想∠ACB＝∠AOB．教師追問：在⊙O上任取一條弧，作出這條弧所對的圓周角和圓心角，測量它們的度數，你能得出同樣的結論嗎？由此你能發現什么規律？學生動手畫圖、度量并驗證猜想．【答案】∠ACB＝∠AOB，即一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．【設計意圖】引導學生經歷觀察、操作、猜想、分析等基本數學活動，探索圓周角的性質：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．【問題】你能證明上面發現的結論嗎？【思考】在圓上任取，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，圓心與圓周角有幾種位置關系？結合動圖進行分析．【師生活動】教師展示動圖，學生觀察動圖，小組交流、思考，得到圓心與圓周角的三種位置關系．【分析】根據圓周角和圓心的位置關系，分三種情況討論：（1）圓心O在∠BAC的一條邊上，如圖①；（2）圓心O在∠BAC的內部，如圖②；（3）圓心O在∠BAC的外部，如圖③． 【師生活動】教師提問：在第（1）種情況下，如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？學生結合三種位置的圖形，認識到：第（1）種情況屬于特殊情況，另外兩種情況比第（1）種情況復雜．師生結合圖①，分析第（1）種情況，教師給出第（1）種情況的證明．【答案】（1）圓心O在∠BAC的一條邊上，如圖①．．【歸納】符號“?”讀作“推出”，“A?B”表示由條件A推出結論B．【設計意圖】從特殊情況入手，證明猜想，既便于學生的學習，又為其他兩種情況的證明提供了轉化的方向．【思考】在第（2）（3）種情況下，如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？【師生活動】學生思考，嘗試解決．如果學生有困難，教師可提示學生：通過添加輔助線將第（2）（3）種情況轉化成第（1）種情況．根據學生的情況，師生共同完成第（2）種情況的證明．學生獨立完成第（3）種情況的證明．【答案】（2）圓心O在∠BAC的內部，如圖．證明：連接AO并延長交⊙O于點D．．同理，∠CAD＝∠COD．∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝(∠BOD＋∠COD)＝∠BOC．（3）圓心O在∠BAC的外部，如圖．證明：連接AO并延長交⊙O于點D．由（1）可知∠CAD＝∠COD，∠BAD＝∠BOD，∴∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝(∠COD－∠BOD)＝∠BOC．【新知】圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．符號語言：∠BAC，∠BOC分別是所對的圓周角和圓心角，那么∠BAC＝∠BOC．【設計意圖】將一般情況化為特殊情況，體現了化歸的數學思想．學生通過證明三種情況，感受分類證明的必要性，提升邏輯推理的能力．【問題】一條弧可以對著不同的圓周角，這些圓周角之間有什么關系？結合下面的動圖，你能說出同弧或等弧所對的圓周角的關系嗎？【師生活動】教師展示動圖，學生觀察、猜想，根據定理得到結論．【推論1】同弧或等弧所對的圓周角相等．符號語言：如圖，∠ACB，∠ADB是所對的圓周角，那么∠ACB＝∠ADB．【思考】你能證明推論1嗎？（1）如圖，在⊙O中，∠C1，∠C2，∠C3都是所對的圓周角，它們的大小有什么關系？由此你能得到什么結論？（2）如圖，在⊙O中，如果＝，那么它們所對的圓周角∠C1和∠C2的大小有什么關系？由此你能得到什么結論？【師生活動】教師可根據情況提示學生：用圓周角與圓心角之間的關系，弧與圓心角、圓周角之間的關系證明結論．學生小組交流，得出答案．【答案】（1）連接OA，OB．根據圓周角定理，得∠C1＝∠AOB，∠C2＝∠AOB，∠C3＝∠AOB，∴∠C1＝∠C2＝∠C3．由此可得，同弧所對的圓周角相等．（2）連接OA，OB，OD，OE，則∠AOB＝∠DOE．根據圓周角定理，得∠C1＝∠AOB，∠C2＝∠DOE，∴∠C1＝∠C2．由此可得，等弧所對的圓周角相等．【思考】在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等嗎？為什么？【歸納】在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．理由：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那么它們所對的圓心角相等，因此它們所對的弧也相等．【設計意圖】讓學生經歷觀察、猜想、證明得出推論的探索過程，得到圓周角定理的推論，進一步認識與圓有關的角和弧之間的關系．【問題】仔細觀察下面的動圖，想一想直徑所對的圓周角的度數確定嗎？如果確定，它是多少度？【師生活動】學生通過觀察動圖、猜想，根據定理得到結論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角．【答案】直徑所對的圓周角的度數為90°．理由如下：如圖，AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝180°．根據圓周角定理知，∠AC1B＝∠AC2B＝∠AC3B＝…＝∠ACnB＝∠AOB＝90°，∴直徑所對的圓周角的度數為90°．【思考】反過來，90°的圓周角所對的弦是直徑嗎？【答案】如圖，∠C＝90°，根據圓周角定理：圓周角∠C的度數等于它所對的圓心角∠AOB度數的一半，∴∠AOB＝180°．故90°的圓周角所對的弦是直徑．【推論2】半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．符號語言：若AB為⊙O的直徑，則∠ACB＝∠ADB＝90°；若∠ACB＝90°或∠ADB＝90°，則AB為⊙O的直徑．【設計意圖】由一般到特殊進一步認識定理，加深對定理的理解，獲得推論2．二、典例精講【例題】如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC的長為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC，AD，BD的長．【師生活動】師生共同分析已知條件、所求和解題思路．學生獨立完成解答，一名學生板書，教師給予指導．【答案】如圖，連接OD，CD．∵AB是圓O直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．在Rt△ABC中，BC＝＝8（cm）．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．∴∠AOD＝∠BOD．∴AD＝BD．又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝AB＝5（cm）．【歸納】巧用圓周角定理及其推論解決兩類問題：（1）解決與圓有關的角度的相關計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解．（2）在圓中有直徑即可連接圓上一