將軍飲馬最值系列問題

一、什么是將軍飲馬

【問題描述】

如圖，將軍在圖中點A處，現在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短?

.8軍營

將軍/

河

如圖在直線上找一點P使得PA+PB最小.

這個問題的難點在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結果，關于最小值，我們知道“兩點之間，線段最短”“點到

直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉化問題，將折線段變為直線段.

【問題解決】

作點A關于直線的對稱點A1連接PA；則PA，=PA,所以PA+PB=PA1+PB.

當A；P、B三點共線的時候,P4+PB=A'B,此時為最小值.（兩點之間線段最短）

B

4端點./'

EZ.

匚/p折點

【思路概述】

作端點（點A或點B）關于折點（上圖P點）所在直線的對稱點，化折線段為直線段.

二、將軍飲馬模型系列

一定兩動之點點

在OA、OB上分別取點M、N,使得APMN周長最小.

此處M、N均為折點，分別作點P關于0A（折點M所在直線）、0B（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P'M+

MN+NP",^P\M、N、P”共線時,APMN周長最小.

【典型題】如圖.點P是NAOB內任意一點NAOB=3（TQP=8,點M和點N分別是射線0A和射線0B上的動點，則△PMN周長

的最小值為一.

【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M,N均為折點，分別作點P關于OB、OA對稱點P;P"化PM+PN+M

N為P'N+MN+P"M.

當P、N、M、P”共線時彳導△PMN周長的最小值,即線段PP”長，連接OP；0P",可得△OPT”為等邊三角形，所以PT”=0P=0P=8.

兩定兩動之點點

在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小.

考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，因此，分別作點P、Q關于OA、OB的對稱點，化折線段PM+MN+N

Q為FM+MN+NQ；當P、M、N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小.

一定兩動之點線

在OA、OB上分別取點M、N使得PM+MN最小.

此處M點為折點，作點P關于0A對稱的點P'4等折線段PM+MN轉化為P,M+MN,

即過點P'作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值(點到直線的連線中，垂線段最短)

三、幾何圖形中的將軍飲馬

尋找幾何圖形中端點關于折點所在直線的對稱點位置.

1.正方形中的將軍飲馬

關于對角線對稱

如圖,正方形ABCD的邊長是4,M在DC上,且DM=1.N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是一

【分析】考慮DM為定值，故求ADMN周長最小值即求DN+MN最小值.點N為折點，作點D關于AC的對稱點，即點B,連接

BM交AC于點N,此時△DMN周長最小.

假裝不存在的正方形

【典型題1］如圖，在RtAABO中,NOBA=9(r,A(4,4),點C在邊AB上，且AC:CB=1:3,點D為OB的中點點P為邊0A上的動點,

當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為()

A.(2,2)

C信⑶

D.(3,3)A33J

【分析】此處點P為折點，可以作點D關于折點P所在直線0A的對稱點.

也可以作點C的對稱點.

隱身的正方形

【典型題2］如圖.在△ABC中,AC=BC,NACB=90。點D在BC上,BD=3,DC=1,點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（）

A.4

B.5

C.6

D.7

【分析】作點C關于P點所在直線AB的對稱點C1,當C\P、D共線時,PC+PD最小，最小值為5,故選B.

2.三角形中的將軍飲馬

等邊系列

【典型題3］如圖，在等邊4ABC中,AB=6,N為AB上一點且BN=2AN,BC的高線AD交BC于點D,M是AD上的動點，連接BM,

MN,則BM+MN的最小值是—.

【分析】M點為折點，作點B關于AD的對稱點，即C點，連接CN,即為所求的最小值.

過點C作AB的垂線，利用勾股定理求得CN的長為2V7.

隱身的等邊三角形

【典型題4］如圖.在RtAABD中,AB=6,ZBAD=30°,ZD=90°,N為AB上一點且BN=2AN,M是AD上的動點，連接BM,MN,則

BM+MN的最小值是____.

-----'D

【分析】對稱點并不一定總是在已知圖形上.作點B關于AD的對稱點C,連接NC即為BM+MN的最小值，再構造直角三角形

求NC,易得NC=2V7.

角分線系列之點點

【典型題5］如圖，在RtAABC中,NACB=9（T,AC=6.AB=12,AD平分NCAB,點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF

的最小值為（）

A.3

B.4

C.3V3

D.2V3

【分析】此處E點為折點，可作點C關于AD的對稱點C；對稱點C在AB上且在AB的中點，化折線段CE+EF為CE+EF,當C

E、F共線時得最小值，CF為CB的一半，故選C.

角分線系列之點線

【典型題6】如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4,ZABC=60°,BD平分NABC,交AC于點D,M、N分別是BD,BC上的動點，則

CM+MN的最小值是（）

A.V3

B.2

C.2V3

D.4

【分析】此處M點為折點，作點N關于BD的對稱點N,恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN'.

因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值，故選C.

A

3.矩形、菱形中的將軍飲馬

菱形高

【典型題7】如圖.在菱形ABCD中,AC=6V5,BD=6,E是BC的中點P、M分別是AC、AB上的動點，連接PE、PM,則PE+PM的

最小值是()

A.6

B.3V3

C.2V6

D.4.5

【分析】此處P為折點，作點M關于AC的對稱點恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM1.

當E、P、M共線時,EP+PM最小,最小值即為菱形的高，可用面積法：絲羅=BC?EM,故選C.

折點在邊上

【典型題8］如圖,矩形ABOC的頂點A的坐標為(-4,5),D是OB的中點,E是OC上的一點，當^ADE的周長最小時，點E的坐

標為()

4

A.(O,p

B.(0,|)

C.(0,2)

D.(O,y)

【分析】點E為折點，E是y軸上一點，作點D關于y軸的對稱點D：連接AD；與y軸交點即為所求E點，選B.

折點與面積

【典型題9］如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,動點P滿足S=9斤?…,則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值

PAB3匕ABLD

為（）

,4.2713

B.2V10

C.3V5

0.V41

【分析】由SPAB=可作出P點軌跡為直線MN(AM=BN=2)作點B關于MN的對稱點B；化折線PA+PB為PA+PB,.

當A、P、B，共線時，取到最小值，選A.

全等與對稱

【典型題10】如圖矩形ABCD中,AB=10,BC=5點E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG,BF=DH,則四邊形EFGH

周長的最小值為()

A.5V5

B.10V5

C.10V3

D.15V3

【分析】考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF的最小值，此處E為折點，作F關于AB的對稱點F；則BF'=BF=D

H=CM,AMF'=BC=5,MH=DC=IO".HF為5V5,周長最小值為10故選B.

四、特殊角的對稱

60。角的對稱

【典型題1】如圖,NAOB=60。,點P是NAOB內的定點且。P=但若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PM

N周長的最小值是()

4邯

2

B.也

2

C.6

D.3

【分析】此處M、N均為折點，分別作點P關于OB、OA的對稱點P；P”,化APMN周長為PN+NM+MP”.

當PlN、M、已共線時,取得最小值,利用60。角翻倍得々叱”=120。,0尸=(^”=(^,可得最小值為3,選口.

30。角的對稱

【典型題2］如圖,NAOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N(3,0)是OB上的一定點，點M是ON的中

點,NAOB=30。,要使PM+PN最小，則點P的坐標為___.

【分析】此處點P為折點，作點M關于OA的對稱點M如圖所示，連接PM；化PM+PN為PM,+PN.

當M;P、N共線時，得最小值，又NM，ON=60。且ON=20M；可得NOM，N=90。,故P點坐標為P修，手).

20。角的對稱

【典型題3］如圖，已知正比例函數y=kx(k>0)的圖象與x軸相交所成的銳角為70。,定點A的坐標為(0,4),P為y軸上的一

個動點,M、N為函數y=kx(k>0)的圖象上的兩個動點則AM+MP+PN的最小值為___.

【分析】先考慮M為折點，作點P關于OM對稱點P；化AM+MP+PN為AM+MP'+P'N.

此處P'為折點，作點N關于OP對稱點N；化AM+MP'+P'N為.AM+MP'+P'N'

當A、M、P；N共線且AN」ON時,值最小，最小值為2VI

將軍過橋

已知將軍在圖中點A處，現要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短?

考慮MN長度恒定,只需求AM+NB的最小值即可.問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起,

將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A，位置.

問題轉化為求.A'N+N8的最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置.

用幾何變換將若干段原本彼此分離線段組合到一起.

將軍過兩個橋

已知將軍在圖中點A處，現要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短?

8軍營

考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起.

B軍營

AP平移至AQNB平移至MB；化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'.

3軍營

當A\Q、M、B，共線時,4Q+QM+M夕取到最小值，再依次確定P、N的位置.

將軍遛馬

【典型題4】如圖，將軍在A點處，現在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營，問怎么走路程最短?

【問題簡化】已知A、B兩點，MN長度為定值,求確定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

【分析】考慮MN為定值，故只要AM+BN值最小即可.將AM平移使M、N重合,AM=AN,將AM+BN轉化為