第02講導數與函數的單調性目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 ②若在某個區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區間上單調遞減．【診斷自測】（2024·高三·上海松江·期末）函數的圖象如圖所示，為函數的導函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．知識點2：利用導數判斷函數單調性的步驟（1）確定函數的定義域；（2）如果導函數中未知正負，則需要單獨討論的部分．如果導函數恒正或恒負，則無需單獨討論；（3）求出導數的零點；（4）用的零點將的定義域劃分為若干個區間，列表給出在各區間上的正負，由此得出函數在定義域內的單調性；（5）如果找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導；求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導．通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段.【診斷自測】（2024·湖南懷化·二模）已知，則的單調增區間為．解題方法總結1、使的離散點不影響函數的單調性，即當在某個區間內離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區間上仍舊是單調遞增（或遞減）的．例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調遞增函數．2、若函數在區間上單調遞增，則（不恒為0），反之不成立．因為，即或，當時，函數在區間上單調遞增．當時，在這個區間為常值函數；同理，若函數在區間上單調遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個區間上函數的導數大于零，是這個函數在該區間上單調遞增的充分不必要條件．于是有如下結論：單調遞增；單調遞增；單調遞減；單調遞減．題型一：利用導函數與原函數的關系確定原函數圖像【典例1-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數，為實數，的導函數為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·廣東廣州·一模）已知函數的圖像如圖所示，則其導函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．【方法技巧】原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）．【變式1-1】（2024·高三·陜西西安·期中）已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．【變式1-2】（2024·北京海淀·一模）函數是定義在上的偶函數，其圖象如圖所示，.設是的導函數，則關于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．題型二：求單調區間【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則當時，的單調遞增區間為．【典例2-2】函數的嚴格遞減區間是.【方法技巧】求函數的單調區間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出．（4）在定義域內，令，解出的取值范圍，得函數的增區間；令，解出的取值范圍，得函數的減區間．若一個函數具有相同單調性的區間不只一個，則這些單調區間用“和”或“，”隔開．【變式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函數的導函數為，若當時，且.則的單調增區間為.【變式2-2】（2024·廣西·模擬預測）函數的單調遞增區間為．【變式2-3】函數在上的單調遞減區間為.題型三：已知含參函數在區間上的遞增或遞減，求參數范圍【典例3-1】已知函數在上為減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3-2】已知函數在，上為增函數，在（1，2）上為減函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】已知函數在區間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于零求解．【變式3-1】已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式3-2】（2024·高三·廣東汕頭·期中）設，若函數在遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·陜西西安·三模）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-4】（2024·高三·江蘇南通·期中）已知函數的減區間為，則.題型四：已知含參函數在區間上不單調，求參數范圍【典例4-1】（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【典例4-2】已知函數在上不單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】已知區間上函數不單調，轉化為導數在區間內存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍．【變式4-1】函數在上不單調，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式4-2】函數在上不單調的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【變式4-3】若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．不存在這樣的實數k【變式4-4】函數在R上不單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：已知含參函數在區間上存在增區間或減區間，求參數范圍【典例5-1】已知函數在上有增區間，則a的取值范圍是.【典例5-2】若函數在存在單調遞減區間，則a的取值范圍為．【方法技巧】已知函數在區間上存在單調遞增或遞減區間，轉化為導函數在區間上大于零或小于零有解．【變式5-1】若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是.【變式5-2】若函數在上存在單調遞增區間，則實數的最大值為．【變式5-3】（2024·高三·湖北襄陽·期末）函數的導函數為，若在的定義域內存在一個區間在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則稱區間為函數的一個“漸緩增區間”．若對于函數，區間是其一個漸緩增區間，那么實數的取值范圍是．【變式5-4】若函數在上存在單調遞減區間，則的取值范圍是．題型六：不含參數單調性討論【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函數.若，討論的單調性；【典例6-2】（2024·高三·天津·開學考試）已知函數．當時，求的單調區間；【方法技巧】確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意兩點：一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區間不能用并集，而用“，”或“和”隔開．【變式6-1】已知函數．判斷的單調性，并說明理由；【變式6-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知函數，若，求的單調區間.【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數．當時，討論函數的單調性．【變式6-4】函數.當時，求函數的單調性；題型七：導函數為含參一次函數的單調性分析【典例7-1】已知函數．討論函數的單調性；【典例7-2】已知函數.討論函數的單調性；【方法技巧】導函數的形式為含參一次函數，首先討論一次項系數為0的情形，易于判斷；當一次項系數不為零時，討論導函數的零點與區間端點的大小關系，結合導函數的圖像判定導函數的符號，從而寫出函數的單調區間．【變式7-1】（2024·陜西渭南·二模）已知函數，其中.討論的單調性；【變式7-2】設函數．討論的單調性；題型八：導函數為含參準一次函數的單調性分析【典例8-1】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知函數，為的導數,討論的單調性；【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函數.討論的單調性；【方法技巧】導函數的形式為含參準一次函數，首先對定號，然后討論導函數的零點與區間端點的大小關系，結合導函數的圖像判定導函數的符號，從而寫出函數的單調區間．【變式8-1】已知函數.討論的單調性；【變式8-2】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知函數.討論的單調性;題型九：導函數為含參可因式分解的二次函數單調性分析【典例9-1】已知函數．討論的單調性；【典例9-2】已知函數.討論函數的單調性；【方法技巧】若導函數為含參可因式分解的二次函數，令該二次函數等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導函數的符號，從而確定原函數的單調性.【變式9-1】已知函數，討論函數的單調性；【變式9-2】已知函數（，為自然對數的底數）.討論函數的單調性；【變式9-3】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性．【變式9-4】已知函數，．求函數的單調區間.題型十：導函數為含參不可因式分解的二次函數單調性分析【典例10-1】已知函數．討論的單調性【典例10-2】已知函數．討論函數的單調性；【方法技巧】若導函數為含參不可因式分解的二次函數，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.【變式10-1】討論函數，的單調性【變式10-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知函數．討論的單調性．【變式10-3】設函數,求的單調區間.題型十一：導函數為含參準二次函數型的單調性分析【典例11-1】已知函數,其中.求的單調區間．【典例11-2】已知函數.討論的單調性；【方法技巧】若導函數為含參準二次函數型，首先對導函數進行因式分解，求導函數的零點并比較大小，然后再劃分定義域，判定導函數的符號，從而確定原函數的單調性.【變式11-1】已知函數，.若，討論函數的單調性；【變式11-2】已知函數．時，討論的單調性．題型十二：分段分析法討論函數的單調性【典例12-1】已知函數（，且）求函數的單調區間；【典例12-2】已知函數，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數在上的單調性；【方法技巧】分段討論導函數的正負.【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數.判斷函數的單調性.【變式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函數，．討論函數在上的單調性．【變式12-3】設函數，其中，討論的單調性.1．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是.3．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．1．判斷下列函數的單調性：（1）；

（2）2．證明函數在區間上單調遞減．3．利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：，，4．利用信息技術工具，根據給定的a，b，c，d的值，可以畫出函數的圖象，當，，，時，的圖象如圖所示，改變a，b，c，d的值，觀察圖象的形狀：（1）你能歸納函數圖象的大致形狀嗎？它的圖象有什么特點？你能從圖象上大致估計它的單調區間嗎？（2）運用導數研究它的單調性，并求出相應的單調區間．5．求函數的單調區間．6．作函數的大致圖象．易錯點：對“導數值符號”與“函數單調性”關系理解不透徹易錯分析：一個函數在某個區間上單調增（減）的充要條件是這個函數的導函數在這個區間上恒大（小）于等于0，且導函數在這個區間的任意子區間上都不恒為0．一定要注意導函數在某區間上恒大（小）于0僅為該函數在此區間上單調增（減）的充分條件．【易錯題1】若函數在區間上單調遞增，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【易錯題2】“當時，函數在區間上不是單調函數”為真命題的的一個取值是