考研數學三（微積分）模擬試卷2（共9套）（共264題）考研數學三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、下列各式中正確的是（）A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由重要極限結論=e，可立即排除B、D。對于A、C選項，只要驗算其中之一即可。對于C選項，因=e—1，故C不正確，選A。2、設對任意的x，總有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，則A、存在且等于零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標準答案：D知識點解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，顯然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但[g（x）一φ（x）]=0，但=1，可見C也不正確，敬選D。3、設f（x）在[a，b]可導，f（a）=，則（）A、f+’（0）=0B、f+’（a）≥0C、f+’（A）＜0D、f+’（a）≤0標準答案：D知識點解析：由題設條件f+’（a）=≤0，故選D。4、設f（x）在（1—δ，1+δ）內存在導數，f’（x）嚴格單調減少，且f（1）=f’（1）=1，則（）A、在（1—δ，1）和（1，1+∞內均有f（x）＜xB、在（1—δ，1）和（1，1+∞內均有f（x）＞xC、在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）內均有f（x）＞xD、在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）內均有f（x）＜x標準答案：A知識點解析：f’（x）在（1—δ，1+δ）上嚴格單調減少，則f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此區間上，y=f（x）在點（1，1）處的切線為y—l=f’（1）（x—1），即y=x在此曲線的上方（除切點外）。因此f（x）＜x（x∈（1—δ，1+δ），x≠1）。5、已知f（x）在x=0的某個鄰域內連續，且f（0）=0，=2，則在點x=0處f（x）（）A、不可導B、可導且f’（0）≠0C、取得極大值D、取得極小值標準答案：D知識點解析：因當x→0時，1—cosx～，故極限條件等價于=2。從而可取f（x）=x2，顯然滿足題設條件。而f（x）=x2在x=0處取得極小值，故選D。6、若f（x）的導函數是sinx，則f（x）有一個原函數為（）A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1—cosx標準答案：B知識點解析：由f’（x）=sinx，得f（x）=∫f’（x）dx=∫sinxdx=—cosx+C1，所以f（x）的原函數是F（x）=∫f（x）dx=∫（一cosx+C1）dx=—sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數。令C1=0，C2=1得F（x）=1—sinx。故選B。7、方程根的個數為（）A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：設F（x）=∫0x則F（x）在（一∞，+∞）內連續，又F（0）=，由零點定理得F（x）=0至少有一個根。又易知且當x∈（一∞，+∞）時，≥1（等號僅當x=0成立），又≤1，—1≤sinx≤1，所以有—1≤≤1，又F’（0）=1＞0，因此F’（x）＞0，從而有F（x）在（一∞，+∞）嚴格單調遞增，由此F（x）=0最多有一個實根。綜上，F（x）=0在（一∞，+∞）上有且僅有一個實根，故選B。8、設可微函數f（x，y）在點（x0，y0）取得極小值，則下列結論正確的是（）A、f（x0，y）在y=y0處的導數大于零B、f（x0，y）在y=y0處的導數等于零C、f（x0，y）在y=y0處的導數小于零D、f（x0，y）在y=y0處的導數不存在標準答案：B知識點解析：因可微函數f（x，y）在點（x0，y0）取得極小值，故有fx’（x0，y0）=0，fy’（x0，y0）=0。又由f’（x0，y0）f（x0，y）|y=y0，可知B正確。9、交換積分次序∫1edx∫0lnxf（x，y）dy為（）A、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxB、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxC、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxD、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dx標準答案：D知識點解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf（x，y）dy=∫01dy∫eyef（x，y）dx。10、已知級數an收斂，則下列級數中必收斂的是（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于（an+an+k）=an去掉了前k項，因此也收斂，故（an+an+an+k）必收斂，應選D。11、設冪級數的收斂半徑為（）A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：設極限都存在，則由題設條件可知12、具有特解y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex的三階常系數齊次線性微分方程是（）A、y"’—y"—y’+y=0B、y"’+y"—y’—y=0C、y"’—6y"+11y’—6y=0D、y"—2y"—y’+2y=0標準答案：B知識點解析：由y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex是所求方程的三個特解知，r=—1，—1，1為所求三階常系數齊次微分方程的特征方程的三個根，則其特征方程為（r—1）（r+1）2=0，即r3+r2—r—1=0，對應的微分方程為y"’+y"—y’—y=0，故選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、數列xn=標準答案：知識點解析：利用等價無窮小因子代換，14、已知y=lnlnlnx，則y’=________。標準答案：知識點解析：15、設f（x）在x=0處連續，且=2，則曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為________。標準答案：知識點解析：當x→0時，arcslnx—x～由極限的運算法則可得所以曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為16、設a＞0，則I=標準答案：知識點解析：由題干可知，原式可化為17、設二元函數z=xex+y1+（x+1）ln（1+y），則出|（1，0）=________。標準答案：2edx+（e+2）dy知識點解析：由已知因此dz|（1，0）=2edx+（e+2）dy。18、交換積分次序∫—10dy∫21—y（x，y）dx=________。標準答案：∫12dx∫01—xf（x，y）dy知識點解析：由累次積分的內外層積分限可確定積分區域D（如圖1—4—11）：—1≤y≤0，1—y≤x≤2。則有∫—10dy∫1—y2f（x，y）dx=交換積分次序∫—10dy∫21—y（x，y）dx=∫—12f（x，y）dx=一∫12dx∫1—x0f（x，y）dy=∫12dx∫01—xf（x，y）dy。19、在x=—1處的泰勒展開式為_________。標準答案：（—1）n（x+1）n，（—2＜x＜0）知識點解析：20、微分方程xy’+y=0滿足條件y（1）=1的特解為y=________。標準答案：知識點解析：由兩邊積分，得ln|y|=—ln|x|+C，代入條件y（1）=1，得C=0。所以y=三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、求函數的間斷點，并指出類型。標準答案：函數f（x）的間斷點只有x=0和x=1。所以x=0為可去間斷點，x=1為跳躍間斷點。知識點解析：暫無解析22、設函數f（x）在（一∞，+∞）上有定義，在區間[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若對任意的x都滿足f（x）=kf（x+2），其中k為常數。（Ⅰ）寫出f（x）在[—2，0）上的表達式；（Ⅱ）問k為何值時，f（x）在x=0處可導。標準答案：（Ⅰ）當—2≤x＜0，即0≤x+2＜2時，則f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）2—4]=kx（x+2）（x+4），所以f（x）在[—2，0）上的表達式為f（x）=kx（x+2）（x+4）。（Ⅱ）由題設知f（0）=0。令f—’（0）=f+’+（0），得k=時，f（x）在x=0處可導。知識點解析：暫無解析23、設=1，且f"（x）＞0，證明f（x）＞x（x≠0）。標準答案：由=0，所以f（0）=0（因為f"（x）存在，則f（x）一定連續）。且f（x）在x=0處展成一階麥克勞林公式因為f"（x）＞0，所以f"（ξ）＞0，即f（x）＞f（0）+f’（0）x=x。知識點解析：暫無解析24、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析25、設曲線y=ax2（x≥0，常數a＞0）與曲線y=1—x2交于點A，過坐標原點O和點A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求：（Ⅰ）D繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積V（a）；（Ⅱ）a的值，使V（a）為最大。標準答案：由題意知，y=ax2與），=1—x2的交點為直線OA的方程為（Ⅰ）旋轉體的體積當a＞0時，得V（a）的唯一駐點a=4。當0＜a＜4時，V’（a）＞0；當a＞4時，V’（a）＜0。故a=4為V（a）的唯一極大值點，即為最大值點。知識點解析：暫無解析26、設y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所確定的函數，其中f和F分別具有一階連續導數和一階連續偏導數，求標準答案：分別在z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0的兩端對x求導，得知識點解析：暫無解析27、已知=x+2y+3，u（0，0）=1，求u（x，y）及u（x，y）的極值，并問此極值是極大值還是極小值？說明理由。標準答案：由=2x+y+1，有u（X，y）=x2+xy+x+φ（y），再結合=x+2y+3，有x+φ’（y）=x+2y+3，得φ’（y）=2y+3，φ（y）=y2+3y+C。于是u（x，y）=x2+xy+x+y2+3y+C。又由M（0，0）=1得C=1，因此u（x，y）=x2+xy+y2+x+3y+1。知識點解析：暫無解析28、標準答案：知識點解析：暫無解析29、（Ⅰ）驗證函數y（x）=（—∞＜x＜+∞）滿足微分方程y"+y’+y=ex；（Ⅱ）求冪級數y（x）=的和函數。標準答案：（Ⅰ）因為冪級數的收斂域是（—∞＜x＜+∞），因而可在（一∞＜x＜+∞）上逐項求導數，得（Ⅱ）與y"+y’+y=ex對應的齊次微分方程為y"+y’+y=0，其特征方程為λ2+λ+1=0，特征根為λ1，2=因此齊次微分方程的通解為設非齊次微分方程的特解為y*=Aex，將y*代入方程y"+y’+y=ex可得因此，方程通解為當x=0時，有知識點解析：暫無解析30、用變量代換x=cost（0＜t＜π）化簡微分方程（1—x2）y"—xy’+y=0，并求其滿足y|x=0=1，y’|x=0=2的特解。標準答案：解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+C2將y|x=0=1，y’|x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故滿足條件的特解為y=2x+知識點解析：暫無解析考研數學三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、若f(x)在x=0的某鄰域內二階連續可導，且，則下列正確的是()．A、x=0是f(x)的零點B、(0，f(0))是y=f(x)的拐點C、x=0是f(x)的極大點D、x=0是f(x)的極小點標準答案：D知識點解析：2、設f(x)在x=0的鄰域內有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：3、設曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3一1在點(1，一1)處切線相同，則()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．標準答案：B知識點解析：由y=x2+ax+b得y’=2x+a，2y=xy3一1兩邊對x求導得2y’=y3+3xy2y’，解得，因為兩曲線在點(1，一1)處切線相同，所以，應選B．4、設f(x)在(一∞，+∞)上有定義，x0≠0為函數f(x)的極大值點，則()．A、x0為f(x)的駐點B、一x0為一f(一x)的極小值點C、—x0為一f(x)的極小值點D、對一切的x有f(x)≤f(x0)標準答案：B知識點解析：因為y=f(一x)的圖像與y=f(x)的圖像關于y軸對稱，所以一x0為f(一x)的極大值點，從而一x0為—f(一x)的極小值點，選B．5、設f’(x0)=f"(x0)=0，f’"(x0)＞0，則下列正確的是()．A、f’(x0)是f’(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極大值C、f(x0)是f(x)的極小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點標準答案：D知識點解析：因為f’"(x0)＞0，所以存在δ＞0，當0＜｜x—x0｜＜δ時，，從而當x∈(x0一δ，x0)時，f"(x)＜0；當x∈(x0，x0+δ)時，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，選D．6、設f(x)=x3+ax2+bx在x=1處有極小值一2，則()．A、a=1，b=2B、a=一1，b=一2C、a=0，b=一3D、a=0，b=3標準答案：C知識點解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因為f(x)在x=1處有極小值一2，所以，解得a=0,b=一3，選C。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、設f(x)二階連續可導，且標準答案：知識點解析：8、設f(u)可導，y=f(x2)在x0=一1處取得增量△x=0．05時，函數增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=__________．標準答案：知識點解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因為△y的線性部分為dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．9、設標準答案：知識點解析：10、設標準答案：知識點解析：11、設f(x)=ln(2x2一x一1)，則f(n)(x)=_________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、證明不等式：xarctanx≥ln(1+x2)．標準答案：令f(x)=xarctanx一，所以x=0位f(x)的極小值點，也為最小值點，而f(0)=0，故對一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥ln(1+x2)．知識點解析：暫無解析13、求y=(1一t)arctantdt的極值．標準答案：令y’=(1—x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=一arctanx+，因為y"(0)=1＞0，y"(1)=一＜0，所以x=0為極小值點，極小值為y=0；x=1為極大值點，極大值為知識點解析：暫無解析14、設PQ為拋物線y=的弦，它在此拋物線過P點的法線上，求PQ長度的最小值．標準答案：知識點解析：暫無解析15、證明：當0＜x＜1時，(1+x)ln2(1+x)＜x2．標準答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；故當0＜x＜1時，(1+x)ln2(1+x)＜x2知識點解析：暫無解析16、證明：對任意的x，y∈R且x≠y，有．標準答案：令f(t)=et，因為f"(t)=et＞0，所以函數f(t)=et為凹函數，根據凹函數的定義，對任意的x，y∈R且x≠y，有知識點解析：暫無解析17、設b>a>0，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析18、證明：標準答案：知識點解析：暫無解析19、證明方程x+p+qcosx=0有且僅有一個實根，其中p，q為常數，且0＜q＜1．標準答案：令f(x)=x+p+qcosx，因為f’(x)=1—qsinx＞0，所以f(x)在(一∞，+∞)上單調增加，又因為，所以f(x)有且僅有一個零點，即原方程有且僅有一個實根．知識點解析：暫無解析20、證明方程在(0，+∞)內有且僅有兩個根．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設k＞0，討論常數k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定義域內沒有零點、有一個零點及兩個零點．標準答案：f(x)的定義域為(0，+∞)，．由f’(x)=lnx+1=0，得駐點為為f(x)的極小值點，也為最小值點，最小值為，(1)當k＞時，函數f(x)在(0，+∞)內沒有零點；(2)當k=時，函數f(x)在(0，+∞)內有唯一零點x=；(3)當時，函數f(x)在(0，+∞)內有兩個零點，分別位于內．知識點解析：暫無解析22、設，討論f(x)的單調性、凹凸性、拐點、水平漸近線．標準答案：因為，所以f(x)在(一∞，+∞)上單調增加．因為，當x＜0時，f"(x)＞0；當x＞0時，f"(x)＜0，則y=f(x)在(一∞，0)的圖形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)內是凸的，(0，0)為y=f(x)的拐點．因為f(一x)=一f(x)，所以f(x)為奇函數．由為曲線y=f(x)的兩條水平漸近線．知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得．標準答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0，故f(ξ)=．知識點解析：暫無解析24、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．標準答案：(1)令φ(x)=f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在φ∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故nf’(φ)+f(η)=0．知識點解析：暫無解析25、設f(x)在[1，2]上連續，在(1，2)內可導，證明：存在ξ∈(1，2)，使得∈f’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．標準答案：令，則φ(x)在[1，2]上連續，在(1，2)內可導，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．知識點解析：26、設f(x)在[1，2]上連續，在(1，2)內可導，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得。標準答案：令F(x)=lnx，F’(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得知識點解析：暫無解析考研數學三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設f(x)二階連續可導，，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點D、f(2)不是函數f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：由，則存在δ＞0，當0＜｜x一2｜＜δ時，有，即當x∈(2一δ，2)時，f’(x)＞0；當x∈(2，2+δ)時，f’(x)＞0，于是x=2為f(x)的極小點，選A．2、設f(x)在x=0的鄰域內連續可導，g(x)在x=0的鄰域內連續，且，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，則()．A、x=0是f(x)的極大值點B、x=0是f(x)的極小值點、C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：3、設f(x)二階連續可導，且，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0是f(x)的駐點但不是極值點標準答案：C知識點解析：x∈(一δ，0)時，f(x)＞0，當x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點，選C．4、設函數f(x)滿足關系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點，選C．5、下列說法正確的是()．A、設f(x)在x0二階可導，則f"(x)在x=x0處連續B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f(x)在(a，b)內有唯一的極值點，則該極值點一定為最值點標準答案：D知識點解析：令不存在，所以A不對；若最大值在端點取到則不是極大值，所以B不對；C顯然不對，選D．6、設f(x)在[a，+∞)上二階可導，f(a)＞0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內的零點個數為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標準答案：B知識點解析：因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(x＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調增加，所以零點是唯一的，選B．7、設k＞0，則函數f(c)=lnx一+k的零點個數為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標準答案：C知識點解析：函數f(x)的定義域為(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，當0＜x＜e時，f’(x)＞0；當x＞e時，f’(x)＜0，由駐點的唯一性知x=e為函數f(x)的最大值點，最大值為f(e)=k＞0，又，于是f(x)在(0，+∞)內有且僅有兩個零點，選C．8、曲線y=的漸近線的條數為()．A、0條B、1條C、2條D、3條標準答案：D知識點解析：9、設函數f(x)在(一∞，+∞)內連續，其導數的圖形如右圖，則f(x)有()．A、兩個極大點，兩個極小點，一個拐點B、兩個極大點，兩個極小點，兩個拐點C、三個極大點，兩個極小點，兩個拐點D、兩個極大點，三個極小點，兩個拐點標準答案：C知識點解析：設當x＜0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當x＞0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．當x＜x1時，f’(x)＞0，當x∈(x1，x2)時，f’(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點；當x∈(x2，0)時，f’(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小點；當x∈(0，x3)時，f’(x)＜0，則x=0為f(x)的極大點；當x∈(x3，x4)時，f’(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小點；當x＞x4時，f’(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大點，即f(x)有三個極大點，兩個極小點，又f"(x)有兩個零點，根據一階導數在兩個零點兩側的增減性可得，y=f(x)有兩個拐點，選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)10、設函數y=y(x)由確定，則y=y(x)在x=ln2處的法線方程為________．標準答案：知識點解析：當x=ln2時，t=±1；當t=±i時，y=0．11、設在x=1處可微，則a=________，b=________．標準答案：2；-1知識點解析：因為f(x)在x=1處可微，所以f(x)在x=1處連續，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1處可微得a=2，所以a=2，b=一1．12、設F(x)=∫0x(x2一t2)f’(x)出，其中f’(x)在x=0處連續，且當x→0時，F’(x)～x2，則f’(0)=________．標準答案：知識點解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，13、設f(x)在(一∞，+∞)上可導，，則a=________．標準答案：1知識點解析：14、設f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’(1．2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=________．標準答案：47知識點解析：因為φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．15、曲線的斜漸近線為________．標準答案：y=2x-4知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)16、就k的不同取值情況，確定方程x2一3x+k=0根的個數．標準答案：令f(x)=x3一3x+k，．由f’(x)=3x2一3=0，得駐點為x1=一1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(一1)=一6，f"(1)=6，得x1=一1，x2=1分別為f(x)的極大值點和極小值點，極大值和極小值分別為f(一1)=2+k，f(1)=k一2．(1)當k＜一2時，方程只有一個根；(2)當k=一2時，方程有兩個根，其中一個為x=一1，另一個位于(1，+∞)內；(3)當一2＜k＜2時，方程有三個根，分別位于(一∞，-1)，(一1，1)，(1，+∞)內；(4)當忌一2時，方程有兩個根，一個位于(一∞，一1)內，另一個為x=1；(5)當k＞2時，方程只有一個根．知識點解析：暫無解析17、設k為常數，方程kx一+1=0在(0，+∞)內恰有一根，求k的取值范圍．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[一1，1]上可導，f(x)在x=0處二階可導，且f’(0)=0，f"(0)=4．求標準答案：知識點解析：暫無解析19、設f(x)二階連續可導且f(0)=f’(0)=0，f"(x)＞0．曲線y=f(x)上任一點(x，f(x))(x≠0)處作切線，此切線在x軸上的截距為u，求．標準答案：曲線y=f(x)在點(x，f(x))處的切線方程為Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知識點解析：暫無解析20、設函數其中g(x)二階連續可導，且g(0)=1．(1)確定常數a，使得f(x)在x=0處連續；(2)求f’(x)；(3)討論f’(x)在x=0處的連續性．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f’+(a)f’-一(b)＜0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．標準答案：不妨設f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根據極限的保號性，f’+(a)=＞0，則存在δ＞0(δ＜b一a)，當0＜x一a＜δ時，，即f(x)＞f(x)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因為f(x)在[a，b]上連續，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)內取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)為f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[0，2]上三階連續可導，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=2．標準答案：先作一個函數P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得令g(x)=f(x)一P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)一2，所以f"’(ξ)=2．知識點解析：暫無解析23、設f(x)是在[a，b]上連續且嚴格單調的函數，在(a，b)內可導，且f(a)=a＜b=f(b)．證明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．標準答案：令h=．因為f(x)在[a，b]上連續且單調增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端點介值定理和函數單調性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得f(c1)一f(a)=f’(ξ)(c1一a)，ξ∈(a，c1)，f(c2)一f(c1)=f’(ξ2)(c2一c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)一f(cn-1)=f’(ξn)(b一cn-1)，ξ∈(cn-1，b)，從而有知識點解析：暫無解析24、設函數y=f(x)二階可導，f’(x)≠0，且與x=φ(y)互為反函數，求φ"(y)．標準答案：因為函數的一階導數與其反函數的一階導數互為倒數，所以知識點解析：暫無解析25、設f(x)在x=x0的鄰域內連續，在x=x0的去心鄰域內可導，且=M．證明：f’(x0)=M．標準答案：由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f’(ξ)(x一x0)，其中ξ介于x0與x之間．知識點解析：暫無解析26、設f(x)在[0，1]上二階可導，且f(0)=f(1)=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=標準答案：令φ(x)=(x一1)2f’(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導，由f(0)=f(1)=0，根據羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根據羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x一1)f’(x)+(x一1)2f"(x)，所以2(ξ一1)f’(ξ)+(ξ一1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=．知識點解析：暫無解析27、設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得標準答案：因為f(x)在[0，1]上連續，f(0)=0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端點介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=．由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知識點解析：暫無解析28、設f(z)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．證明：(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；(2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；(3)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；(4)存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．標準答案：(1)令F(x)=∫axf(x)dt，則F(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，6)，使得∫abf(x)dx=F(b)一F(a)=F’(c)(b一a)=f(c)(b一a)=0，即f(c)=0．(2)令h(x)=exf(x)，因為h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．(3)令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．(4)令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．知識點解析：暫無解析29、設a1＜a2＜…＜an，且函數f(x)在[a1，an]上n階可導，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．證明：存在ξ∈(a1，an)，使得標準答案：當c=ai(i=1，2，…，n)時，對任意的ξ∈(a1，an)，結論成立；設c為異于a1，a2，…，an的數，不妨設a1＜c＜a2＜…＜an．令，構造輔助函數φ(x)=f(x)一k(x一a1)(x一a2)…(x一an)，顯然φ(x)在[a1，an]上n階可導，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由羅爾定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an-1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)內至少有n個不同零點，重復使用羅爾定理，則φ(n-1)(x)在(a1，an)內至少有兩個不同零點，設為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)一n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，從而有知識點解析：暫無解析30、設f(x)二階連續可導，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．證明：．標準答案：由泰勒公式得知識點解析：暫無解析31、設f(x)在[0，1]連續可導，且f(0)=0．證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標準答案：因為f’(x)在區間[0，1]上連續，所以f’(x)在區間[0，1]上取到最大值M和最小值m，對f(x)一f(0)=f’(f)x(其中c介于0與x之間)兩邊積分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析32、求的最大項．標準答案：當x∈(0，e)時，f’(x)＞0；當x∈(e，+∞)時，f’(x)＜0，則x=e為f(x)的最大點，知識點解析：暫無解析33、設x3一3xy+y3=3確定隱函數y=y(x)，求y=y(x)的極值．標準答案：k3一3xy+y3=3兩邊對x求導得3x2一3y一3xy’+3y2y’=0，知識點解析：暫無解析考研數學三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數+6x+1的圖形在點(0，1)處的切線與x軸交點的坐標是()A、(一1，0)B、C、(1，0)D、標準答案：B知識點解析：因為f’(x)=x2+x+6，所以f’(0)=6．故過(0，1)的切線方程為y一1=6x，因此與x軸的交點為2、函數f(x)=2x+()A、只有極大值，沒有極小值B、只有極小值，沒有極大值C、在x=-1處取極大值，x=0處取極小值D、在x=-1處取極小值，x=0處取極大值標準答案：C知識點解析：令f’(x)=0，得x=-1，且當x=0時，f’(x)不存在，f(x)在x=-1左側導數為正，右側導數為負，因此在x=-1處取極大值；在x=0左側導數為負，右側導數為正，因此在x=0處取極小值．3、設f(x)在(一∞，+∞)內可導，且對任意x1，x2，當x1＞x2時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意x，f’(x)＞0B、對任意x，f’(一x)≤0C、函數f(一x)單調增加D、函數一f(一x)單調增加標準答案：D知識點解析：根據單調性的定義直接可以得出(D)項正確．4、兩曲線y=與y=ax2+b在點處相切，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：因兩曲線相切于點，故相交于該點。將x=2，y=代入y=ax2+b中得=4a+b，又因為相切于該點，故切線斜率相等，即導數相等，所以=2ax，將x=2代入得5、設函數在x=0處f(x)()A、不連續B、連續，但不可導C、可導，但導數不連續D、可導，且導數連續標準答案：C知識點解析：6、設g(x)在x=0處二階可導，且g(0)=g’(0)=0，設則f(x)在x=0處()A、不連續B、連續，但不可導C、可導，但導函數不連續D、可導，導函數連續標準答案：D知識點解析：所以導函數在x=0處連續．7、設函數f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n為正整數，則f’(0)=()A、(一1)n-1(n一1)!B、(一1)n(n—1)!C、(一1)n-1n!D、(一1)nn!標準答案：A知識點解析：8、給出如下5個命題：(1)若不恒為常數的函數f(x)在(一∞，+∞)內有定義，且x0≠0是f(x)的極大值點，則一x0必是一f(-x)的極大值點；(2)設函數f(x)在[a，+∞)上連續，f"(x)在(a，+∞)內存在且大于零，則F(x)=在(a，+∞)內單調增加；(3)若函數f(x)對一切x都滿足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x，且y(x0)=0，x0≠0，則f(x0)是f(x)的極大值；(4)設函數y=y(x)由方程2y3一2y2+2xy一x2=1所確定，則y=y(x)的駐點必定是它的極小值點；(5)設函數f(x)=xex，則它的n階導數f(n)(x)在點x0=-(n+1)處取得極小值。正確命題的個數為()A、2B、3C、4D、5標準答案：B知識點解析：對上述5個命題一一論證．對于(1)，只要注意到：若f(x)在點x0取到極大值，則-f(x)必在點x0處取到極小值，故該結論錯誤；對于(2)，對任意x＞a，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，x)使f(x)-f(A)=f’(ξ)(x-a)，則由f"(x)＞0知，f’(x)在(a，+∞)內單調增加，因此，對任意的x與ξ，a＜ξ＜x，有f’(x)＞f’(ξ)，從而由上式得F’(x)＞0，所以函數F(x)在(a，+∞)內單調增加，該結論正確；對于(3)，因f’(x0)=0，故所給定的方程為，顯然，不論x0＞0，還是x0＜0，都有f"(x0)＞0，于是由f’(x0)=0與f"(x0)＞0得f(x0)是f(x)的極小值，故該結論錯誤；對于(4)，對給定的方程兩邊求導，得3y2y’一2yy’+xy’+y—x=0，①再求導，得(3y2-2y+x)y"+(6y-2)(y’)2+2y’=1②令y’=0，則由式①得y=x，再將此代入原方程有2x3-x2=1，從而得y=y(x)的唯一駐點x0=1，因x0=1時y0=1，把它們代入式②得y"|(1，1)＞0，所以唯一駐點x0=1是y=y(x)的極小值點，該結論正確；對于(5)，因為是求n階導數f(n)(x)的極值問題，故考慮函數f(x)=xex的n+1階導數f(n+1)(x)，由高階導數的萊布尼茨公式得f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n-1)=(x+n)ex，f(n+1)(x)=[x+(n+1)]ex；f(n+2)(x)=[x+(n+2)]ex．令f(n+2)(x)=0，得f(n)(x)的唯一駐點x0=-(n+1)；又因f(n+2)(x0)=e-(n+1)＞0，故點x0=一(n+1)是n階導數f(n)(x)的極小值點，且其極小值為f(n)(x0)=-ef-(n+1)，該結論正確．故正確命題一共3個，答案選擇(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)9、若函數f(x)一asinx+處取得極值，則a=________．標準答案：2知識點解析：10、曲線的斜漸近線方程為________．標準答案：y=2x+1知識點解析：所以斜漸近線為y=2x+1．11、=________．標準答案：∫x20cost2dt-2x2cosx4知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、設f(x)=x3+4x2一3x一1，試討論方程f(x)=0在(一∞，0)內的實根情況．標準答案：因為f(一5)=-11＜0，f(一1)=5＞0，f(0)=一1＜0，所以f(x)在[一5，一1]及[一1，0]上滿足零點定理的條件，故存在ξ1∈(-5，-1)及ξ2∈(-1，0)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，所以方程f(x)=0在(一∞，0)內存在兩個不等的實根．又因為f(1)=1＞0，同樣f(x)在[0，1]上滿足零點定理的條件，在(0，1)內存在一點ξ3，使得f(ξ3)=0，而f(x)=0為三次多項式方程，它最多只有三個實根，因此方程f(x)=0在(一∞，0)內只有兩個不等的實根．知識點解析：暫無解析13、設y=，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析14、曲線的切線與x軸和y軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標為a，求切線方程和這個圖形的面積．當切點沿曲線趨于無窮遠時，該面積的變化趨勢如何?標準答案：先求曲線處的切線方程．所以切線斜率，切線方程為知識點解析：暫無解析設fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．證明：15、方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一實根xn；標準答案：fn(x)連續，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理，∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0時，f’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)嚴格單增，因此xn是fn(x)=1在[0，+∞)內的唯一實根．知識點解析：暫無解析16、求標準答案：由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界．又因為fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以xn+xn2+…+xnn=xn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1，即(xn+xn2+…+xnn)一(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1，n=2，3，…，即{xn}嚴格單調減少。于是由單調：有界準則知=1．因為0＜xn＜1，所以知識點解析：暫無解析17、f(x)在(一∞，+∞)上連續，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，證明：f(f(x))至少在兩點處取得最小值．標準答案：令F(x)=f(x)一x0，則F(x)在(一∞，+∞)上連續，且F(x0)＜0，F(x)=+∞，由F(x)=+∞，知＜x0，使得F(A)＞0；＞x0，使得F(b)＞0，于是由零點定理，知∈(a，x0)，使得F(x1)=0；∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，從而得f(f(x1))=f(x0)=f(f(x2))．知識點解析：暫無解析18、已知f(x)是周期為5的連續函數，它在x=0的某鄰域內滿足關系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是當x→0時比x高階的無窮小，且f(x)在x=1處可導，求y=f(x)在點(6，f(6))處的切線方程．標準答案：求切線方程的關鍵是求斜率，因f(x)的周期為5，故在(6，f(6))處和點(1，f(1))處曲線有相同的斜率，根據已知條件求出f’(1)．則4f’(1)=8，f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切線方程為y=2(x一6)．知識點解析：暫無解析19、試證明：曲線恰有三個拐點，且位于同一條直線上．標準答案：所以這三個拐點在一條直線上．知識點解析：暫無解析20、設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續(a，b＞0)，在(a，b)內可導，試證：在(a，b)內至少有一點ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．標準答案：令它們在區間[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且G’(x)=滿足柯西中值定理的三個條件，于是在(a，b)內至少有一點ξ，使得知識點解析：暫無解析21、設f(x)在[a，b]上連續，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．試證：在[a，b]內存在ξ，使得標準答案：因為f(x)在[a，b]上連續，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分別為f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②知識點解析：暫無解析設f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導，g"(x)≠0，f(A)=f(b)=g(A)=g(b)=0．證明：22、在(a，b)內，g(x)≠0；標準答案：設c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上兩次運用羅爾定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，對g’(x)在[ξ1，ξ2]上運用羅爾定理，可得g"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．知識點解析：暫無解析23、在(a，b)內至少存在一點ξ，使標準答案：F(x)=(x)g’(x)一f’(x)g(x)在[a，b]上運用羅爾定理，F(a)=0，F(b)=0．故知識點解析：暫無解析24、設f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導，且f(A)=f(b)=g(A)=0．證明：∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．標準答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a點展開泰勒公式．因f(a)=f(b)=g(a)=0，則F(a)=F(6)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析25、若函數φ(x)及ψ(x)是n階可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0時，φ(n)(x)＞ψ(k)(x0)．試證：當x＞x0時，φ(x)＞ψ(x)．標準答案：令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ).(x—x0)，x＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即當x＞x0時，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)．同理u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψu(n-2)(x)＞0．歸納有u(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，當x＞x0時，φ(x)＞ψ(x)．知識點解析：暫無解析26、設函數f(x)在(一∞，+∞)內二階可導，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)內有界，證明：f’(x)在(一∞，+∞)內有界．標準答案：存在正常數M0，M2，使得對∈(一∞，+∞)，恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有所以函數f’(x)在(一∞，+∞)內有界．知識點解析：暫無解析已知f(x)二階可導，且f(x)＞0，f(x)f"(x)一(f'(x))2≥0(x∈R)．27、證明：f(x1)f(x2)≥標準答案：知識點解析：暫無解析28、若f(0)=1，證明：f(x)≥ef’(0)x(x∈R)．標準答案：g(x)=g(0)+g’(0)x+≥f’(0)x，即f(x)≥ef’(0)x．知識點解析：暫無解析29、設b＞a＞e，證明：ab＞ba．標準答案：設，其中lnx＞lne=1，所以，f’(x)＜0，即函數f(x)單調遞減。所以，當b＞a＞e時，知識點解析：暫無解析考研數學三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設f（x）=則（）A、f（x）在點x=1連續，在點x=—1間斷B、f（x）在點x=1間斷，在點％=—1連續C、f（x）在點x=1，x=—1都連續D、f（x）在點x=1，x=—1都間斷標準答案：B知識點解析：由函數連續的定義可知，所以，f（x）在x=—1處連續，故選B。2、設f（x）=|x|sin2x，則使導數存在的最高階數n=（）A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：故f（3）（0）不存在。因此n=2，選C。3、設f（x）為可導函數，且滿足條件=—1，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為（）A、2B、—1C、D、—2標準答案：D知識點解析：將題中極限條件兩端同乘2，得由導數定義可知，f’（1）=一2，故選D。4、曲線y=（x—1）2（x—3）2的拐點個數為（）A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：對于曲線y，有y’=2（x—1）（x—3）2+2（x—1）2（x—3）=4（x—1）（x—2）（x—3），y"=4[（x—2）（x—3）+（x—1）（x—3）+（x—1）（x—2）]=4（3x2—12x+11），令y"=0，得x1=2—又由y"’=24（x—2），可得y"’（x1）≠0，y"’（x2）≠0，因此曲線有兩個拐點，故選C。5、設函數f（x）連續，則在下列變上限積分定義的函數中，必為偶函數的是（）A、∫0xt[f（t）—f（—t）]dtB、∫0xt[f（t）+f（—t）]dtC、∫0xf（t2）dtD、∫0x[f（t）]2dt標準答案：B知識點解析：取f（x）=x，則相應的∫0xt[f（x）一f（一t）]dt=2t2dt=∫0xf（t2）dt=∫0xt2dt=∫0x[f（t）]2dt=∫0xt2dt=均為奇函數，故不選A、C、D。應選B。6、設=0，則f（x，y）在點（0，0）處（）A、不連續B、連續但兩個偏導數不存在C、兩個偏導數存在但不可微D、可微標準答案：D知識點解析：f（x，y）—f（0，0）+2x—y=o（p），（當（x，y）→（0，0）時）即f（x，y）—f（0，0）=—2x+y+o（p），由微分的定義可知f（x，y）在點（0，0）處可微，故選D。7、設D為單位圓x2+y2≤1，I1=（2x6+y5）dxdy，則（）A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I3＜I2＜I1D、I1＜I3＜I2標準答案：D知識點解析：由于積分域D關于兩個坐標軸都對稱，而x3是x的奇函數，y3是y的奇函數，則由于在D內|x|≤1，|y|≤1，則x6+y6≤x4+y4，則0＜（x4+y4）dxdy，從而有I1＜I3＜I2。故選D。8、設區域D由曲線y=smx，x=（x5y—1）dxdy=（）A、πB、2C、—2D、—π標準答案：D知識點解析：區域D如圖1—4—8中陰影部分所示，引入曲線y=—sinx將區域分為D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2關于y軸對稱，可知在D1∪D2上關于x的奇函數積分為零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4關于x軸對稱，可知在D3∪D4上關于y的奇函數為零，故x5ydxdy=0。因此，=一π，故選D。9、若級數bn發散，則（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由（an+|bn|）必發散，故選D。10、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y|x=2=1的特解為（）A、xy2=4B、xy=4C、x2y=4D、—xy=4標準答案：C知識點解析：原微分方程分離變量得兩端積分得ln|y|=—2ln|x|+lnC，x2y=C，將y|x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。應選C。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、標準答案：ln2知識點解析：因為=e3a=8，所以a=ln2。12、已知f（x）=則f’（x）=________。標準答案：知識點解析：當x＜0時，f’（x）=cosx；當x＞0時，f’（x）=1；13、已知xy=ex+y，則標準答案：知識點解析：在方程兩端分別對x求導，得y+xy’=ex+y+y（1+y’），即其中y=y（x）是由方程xy=ex+y所確定的隱函數。故14、曲線y=（x—5）的拐點坐標為________。標準答案：（—1，—6）知識點解析：已知x=—1時，y"=0，在x=—1左、右兩側的微小鄰域內，y"異號；x=0時，y"不存在，在x=0左、右微小鄰域內，y"＞0。其中y（—1）=—6，故曲線的拐點為（—1，—6）。15、標準答案：—4π知識點解析：16、∫0+∞標準答案：ln2知識點解析：原式整理得17、將∫01dy∫0yf（x2+y2）dx化為極坐標下的二次積分為________。標準答案：知識點解析：如圖1—4—9所示，則有18、交換積分次序標準答案：知識點解析：由題干可知，積分區域如圖1—4—13所示，則有19、冪級數的收斂半徑R=_________。標準答案：知識點解析：根據收斂半徑的判斷方法，有由于該冪級數缺奇數項，則20、微分方程xy’+y=0滿足初始條件y（1）=2的特解為________。標準答案：知識點解析：原方程可化為（xy）’=0，積分得xy=C，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2，即y=21、設y=ex（asinx+bcosx）（a，b為任意常數）為某二階常系數線性齊次微分方程的通解，則該方程為________。標準答案：y"—2y’+2y=0知識點解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個根是r1，r2=1±i，因此特征方程為（r—r1）（r—r2）=r2一（r1+r2）r+r1r2=r2—2r+2=0，故所求微分方程為y"—2y’+2y=0。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)22、證明：（Ⅰ）對任意正整數n，都有成立；（Ⅱ）設an=1+—lnn（n=1，2，…），證明{an}收斂。標準答案：（Ⅰ）令=x，則原不等式可化為＜ln（1+x）＜x，x＞0。先證明ln（1+x）＜x，x＞0。令f（x）=x—ln（1+x）。由于f’（x）=1—＞0，x＞0，可知f（x）在[0，+∞）上單調遞增。又由于f（0）=0，因此當x＞0時，f（x）＞f（0）=0。也即In（1+x）＜x，x＞0。可知g（x）在[0，+∞）上單調遞增。又因g（0）=0，因此當x＞0時，g（x）＞g（0）=0。即再代入=x，即可得到所需證明的不等式。（Ⅱ）an+1—an=可知數列{an}單調遞減。又由不等式因此數列{an}是有界的。由單調有界收斂定理可知數列{an}收斂。知識點解析：暫無解析23、證明函數恒等式arctanx=，x∈（—1，1）。標準答案：令f（x）=arctanx，g（x）=要證f（x）=g（x）在x∈（—1，1）時成立，只需證明：（Ⅰ）f（x），g（x）在（—1，1）內可導，且當x∈（—1，1）時，f’（x）=g’（x）；（Ⅱ）存在x0∈（—1，1），使得f（x0）=g（x0）。由初等函數的性質知，f（x）與g（x）都在（—1，1）內可導，且容易計算得到即當x∈（一1，1）時，f’（x）=g’（x）。又f（0）=g（0）=0，因此當x∈（一1，1）時f（x）=g（x），即原等式成立。知識點解析：暫無解析24、設分（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，且f（a）=f（b）=1，證明：必存在ξ，η∈（a，b）使得eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。標準答案：設F（x）=exf（x），由已知f（x）及ex在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，均滿足拉格朗日中值定理條件，因此，存在ξ，η∈（a，b），使得F（b）—F（a）=ebf（b）—eaf（A）=F’（η）（b—a）=eη[f’（η）+f（η）]（b—a）及eb—ea=eξ（b—a）。將以上兩式相比，且由f（a）=f（b）=1，則有eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。知識點解析：暫無解析25、設f（x）在區間[a，b]上可導，且滿足f（b）．cosb=證明至少存在一點ξ∈（a，b），使得f’（ξ）=f（ξ）．tanξ。標準答案：由f（x）在區間[a，b]上可導，知f（x）在區間[a，b]上連續，從而F（x）=f（x）cosx在（a，b）使F’（ξ）=f’（ξ）cosξ—f（ξ）sinξ=0，即f’（ξ）=f（ξ）tanξ，ξ∈（a，b）。undefinedundefined知識點解析：暫無解析26、設z=f（xy，yg（x）），其中函數f具有二階連續偏導數，函數g（x）可導，且在x=1處取得極值g（1）=1，求標準答案：由題意=f1’（xy，yg（x））y+f2’（xy，yg（x））yg’（x），=f11"（xy，yg（x））xy+f12"（xy，yg（x））yg（x）+f1’（xy，yg（x））+f21"（xy，yg（x））xyg’（x）+f22"（xy，yg（x））yg（x）g’（x）+f2’（xy，yg（x））g’（x）由g（x）在x=1處取得極值g（1）=1，可知g’（1）=0．故|x=1，y=1=f11"（1，g（1））+f12"（1，g（1））g（1）+f1’（1，g（1））+f21"（1，g（1））g’（1）+f22"（1，g（1））g（1）g’（1）+f2’（1，g（1））g’（1）=f11"（1，1）+f12"（1，1）+f1’（1，1）。知識點解析：暫無解析27、求二重積分（x—y）dxdy，其中D={（x，y）|（x—1）2+（y—1）2≤2，y≥x}。標準答案：由已知條件，積分區域D={（x，y）I（x—1）2+（y—1）2≤2，y≥x}。由（x—1）2+（y—1）2≤2，得r≤2（sinθ+cosθ），于是知識點解析：暫無解析28、設區域D={（x，y）x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分標準答案：積分區域D如圖1—4—22所示。因為區域D關于x軸對稱，知識點解析：暫無解析29、求冪級數的收斂區間，并討論該區間端點處的收斂性。標準答案：因為所以收斂半徑為R=3，相應的收斂區間為（—3，3）。當x=3時，因為都收斂。所以原級數在點x=—3處收斂。知識點解析：暫無解析考研數學三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、下列廣義積分發散的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：2、設在區間[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f"(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)]，則()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1標準答案：B知識點解析：因為函數f(x)在[a，b]上為單調減少的凹函數，根據幾何意義，S1＜S2＜S3，選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、=__________標準答案：知識點解析：因為對[一a，a]上連續的函數f(x)有∫—aaf(x)dx=∫0af(x)+f(—x)]dx，所以4、=__________標準答案：知識點解析：5、設f(x)在[0，1]上連續，且f(x)=，則f(x)=__________．標準答案：知識點解析：6、設f(x)∈c[1，+∞)，廣義積分∫1+∞f(x)dx收斂，且滿足f(x)=，則f(x)=__________．標準答案：知識點解析：7、設=__________標準答案：e—1—1知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)8、設f(x)=求∫02f(x一1)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析9、求∫0nπ｜cosx｜dx．標準答案：知識點解析：暫無解析10、求∫0nπ｜cosx｜dx．標準答案：知識點解析：暫無解析11、求∫02π｜sinx—cosx｜dx．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設f(x)∈c[一π，π]，且f(x)=，求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析13、設f(x)=，求∫01x2f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析14、設f(x)=，求∫01f(x)dx標準答案：令∫01f(x)dx=A，知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、求標準答案：知識點解析：暫無解析17、設f(x)=f(x一π)+sinx，且當x∈[0，π]時，f(x)=x，求∫π3πf(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設標準答案：知識點解析：暫無解析19、設y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設標準答案：知識點解析：暫無解析21、設f(x)=sin3x+∫—ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．標準答案：令∫—ππxf(x)dx=A，則f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax兩邊積分得∫—ππxf(x)dx=∫—ππxsin3xdx+∫—ππAxdx，知識點解析：暫無解析22、求∫—11(｜x｜+x)e—｜x｜dx．標準答案：由定積分的奇偶性得知識點解析：暫無解析23、計算標準答案：知識點解析：暫無解析24、求標準答案：知識點解析：暫無解析25、求標準答案：知識點解析：暫無解析26、求∫—22max(1，x)dx．標準答案：因為max(1，x)是偶函數，知識點解析：暫無解析27、設標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設條件收斂，且=r，則()．A、|r|＜1B、|r|＞1C、r=一1D、r=1標準答案：C知識點解析：因為un條件收斂，所以級數un一定不是正項或負項級數，故r≤0．2、設un=(一1)nln，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：顯然un條件收斂，收斂，所以un2收斂，選(B)．3、設冪級數an(x一2)n在x=6處條件收斂，則冪級數(x一2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標準答案：A知識點解析：因為anx(x一2)n在x=6處條件收斂，所以級數ann的收斂半徑為R=4，又因為級數anxn有相同的收斂半徑，所以的收斂半徑為R=4，于是(x一2)2n的收斂半徑為R=2．選(A)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)4、已知f(x)=，則f(n)(3)=________．標準答案：知識點解析：5、標準答案：3e．知識點解析：6、標準答案：2(1一ln2)．知識點解析：7、設級數條件收斂，則p的取值范圍是________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)8、計算標準答案：知識點解析：暫無解析9、計算其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析10、計算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=az(x2一y2)圍成的區域．標準答案：根據對稱性(x2+4x+y2)dxdy=(x2+y2)dxdy，其中D1是D位于第一卦限的區域．知識點解析：暫無解析11、設半徑為R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，問R取何值時，球面S在定球面內的面積最大？標準答案：設球面S:x2+y2+(z一a)2=R2，由得球面S在定球內的部分在xOy面上的投影區域為Dxy:x2+y2≤(4a2一R2),球面S在定球內的方程為因為時球面S在定球內的面積最大．知識點解析：暫無解析12、設f(x)在[a，b]上連續，證明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．標準答案：令F（x）=∫abf(t)dt，則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx一∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)知識點解析：暫無解析13、設f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區域D上連續，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得標準答案：因為f(x，y)在D上連續，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得