三校聯考2024年春季學期高一年級第一次月考數學本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷（選擇題，共60分）注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名?準考證號?考場號?座位號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合，再求集合交集即可.【詳解】由得：，即所以，且，因此，故選：B.2.下列函數中，以點為對稱中心的函數是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據正弦、余弦、正切函數的性質計算可得.【詳解】對于A：函數，令，解得，所以函數的對稱中心為，，故A錯誤；對于B：函數，令，解得，所以函數的對稱中心為，，故B錯誤；對于C：函數，令，解得，所以函數的對稱中心為，，故C錯誤；對于D：函數，令，解得，所以函數的對稱中心為，，故D正確.故選：D3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分必要條件的定義判斷.【詳解】若，即，則，或，所以“”不是“”的充分條件；若，則，所以，所以“”是“”的必要條件，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數化簡得，從而可求解.【詳解】由，所以，故B正確.故選：B.5.已知函數，若，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據分段函數的解析式，分和兩種情況分別求解即可.【詳解】由已知得：當時，，解得：，或（舍），當時，，解得：，綜上：的值為或,故選：C.6.函數在區間上單調遞減，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復合函數的單調性判斷的單調性，即可求出參數的取值范圍.【詳解】令，，顯然在上單調遞增，且的值域為，又，所以在上單調遞減，在上單調遞增，令，解得，由復合函數的單調性可得在上單調遞減，在上單調遞增，因為函數在區間上單調遞減，所以，即的取值范圍為.故選：A7.已知函數滿足，且函數為偶函數，若，則（）A.0 B.1012 C.2024 D.3036【答案】B【解析】【分析】由題意得，的圖象關于直線對稱，函數的周期為4，進一步，由此即可得解.【詳解】由題意函數為偶函數，所以，的圖象關于直線對稱，所以，所以函數的周期為4，在中，分別令和1，得，，即，所以，所以.故選：B.8.若關于的不等式的解集中恰有三個整數，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分類討論的兩根大小，結合已知條件，通過求一元二次不等式即可求解.【詳解】原不等式可化為，當時，得，此時解集中的整數為2，3，4，則；當時，得，此時解集中的整數為，，，則，綜上所述，的取值范圍是.故選：A二?多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.若關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（）A.B.C.的解集為D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】題意說明的兩根為,代入法1得的值，從而可逐項判斷.【詳解】根據題意，關于的不等式的解集為，所以的兩根為，則，解得，所以，即A錯誤，B正確；且為，解得或，所以的解集為，C正確；，所以的最大值為，D錯誤.故選：BC10.下列說法正確的是（）A.奇函數的定義域為，則B.對任意且，函數的圖象都過定點C.與同一個函數D.【答案】BC【解析】【分析】對A，根據奇函數的定義域對稱求解；對B，當時，，可判斷；對C，兩個函數的定義域均為R，對應法則也相同，是相同函數；對D，根據誘導公式運算得解.【詳解】對于A，根據題意得，解得或，故A錯誤；對于B，由，且，當時，，所以函數過定點.故B正確；對于C，與定義域均為R，對應法則也相同，所以它們是相同函數.故C正確；對于D，.故D錯誤.故選：BC.11.已知函數，下列說法正確的是（）A.函數的最大值為B.函數的圖象關于中心對稱C.函數的最小正周期為D.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位，最后再向上平移個單位【答案】AD【解析】【分析】根據二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡函數解析式，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.【詳解】因為，又，所以，即函數的最大值為，故A正確；因為，所以函數的圖象關于直線，不關于中心對稱，故B錯誤；函數的最小正周期，故C錯誤；將函數的圖象橫坐標伸長為原來的倍得到，再將向左平移個單位，最后將向上平移個單位得到，故D正確.故選：AD12.已知為函數的兩個不相同的零點，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】分析可知直線與函數的圖象有兩個交點，數形結合并計算可得出，D正確，利用基本不等式可判斷AB選項,由對數的性質可判斷C選項.【詳解】令可得，則直線與函數的圖象有兩個交點，且這兩個交點的橫坐標分別為，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數的圖象有兩個交點，設，則，由，可得，解得，由，可得，解得，所以，，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，則，C對；對于D選項，由上可知，D對.故選：CD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.計算：__________.【答案】【解析】【分析】根據對數的運算性質計算可得.【詳解】.故答案為：14.某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為__________.【答案】170【解析】【分析】設該商店銷售商品袋，則商品袋，根據題意求得利潤的函數解析式，結合二次函數的性質，即可求解．【詳解】設該商店銷售商品袋，則商品袋，所以可獲得的利潤，，當或10時，利潤最大，最大利潤為170元.故答案為：170.15.若、為銳角，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】首先求出、的范圍，再根據余弦函數的性質判斷即可.【詳解】因為、為銳角，所以，，又，且在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即.故答案為：16.如圖所示，以為始邊作鈍角，角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊順時針旋轉得到角.角的終邊與單位圓相交于點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，兩角和差的三角公式，求得再利用正弦函數的定義域和值域，求出的取值范圍.【詳解】由題意可得，，，所以，因為，所以，則，所以.故答案為：.四?解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知二次函數的解集為.（1）若，求的值；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，轉化為是方程的兩個實數根，結合根與系數的關系，以及，即可求解.（2）根據題意，轉化為方程的兩個負實數根，結合一元二次方程根的分布情況，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：當時，函數，因為的解集為，且，即是方程的兩個實數根，可得，則.【小問2詳解】解：因為的解集為，且，即是方程的兩個實數根，又因為，即方程的兩個負實數根，則滿足，解得且，所以實數的取值范圍為.18.已知是的內角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，從而可求得，得到，從而可求解.（2）由（1）結論可求出，然后再利用二倍角公式及兩角和的余弦公式從而可求解.【小問1詳解】由，所以，則，因為，則，所以，則，所以，則.【小問2詳解】由（1）得，解得，且，，所以.19.已知函數為冪函數，且在上單調遞減.（1）求實數的值；（2）若函數，判斷函數在上的單調性，并證明.【答案】（1）（2）單調遞增,證明見詳解【解析】【分析】（1）根據冪函數定義和單調性求解；（2）利用函數單調性定義證明.【小問1詳解】因為函數為冪函數，所以，解得：或，當時，冪函數，此時冪函數在上單調遞增，不符合題意；當時，冪函數，此時冪函數在上單調遞減，符合題意；所以實數的值為；【小問2詳解】因為函數，則函數，函數在上單調遞增，證明如下：，且，則，因為，所以，又，所以，從而，即，所以函數在上單調遞增.20.設函數，其中.（1）若命題“”為假命題，求實數的取值范圍；（2）若函數在區間內恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，轉化為命題“”為真命題，結合，即可求解；.（2）根據題意，轉化為在區間內恒成立，利用基本不等式求得的最小值為，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因為函數，由命題“”為假命題，即命題“”為真命題，根據二次函數的性質，可得，解得或，所以實數的取值范圍為.【小問2詳解】解：由函數，可得，因為函數在區間內恒成立，即在區間內恒成立，又因為，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以，解得，所以實數的取值范圍為.21已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求在區間上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式化簡得，再根據正弦函數的周期性即可得解；（2）根據題意即可求出，然后即可求出的值域．【小問1詳解】，所以最小正周期為.【小問2詳解】由，所以，則，所以.故函數在區間上的值域為.22.已知函數.（1）若的定義域為