人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1§4.2等差數列4.2.1等差數列的概念第1課時等差數列的概念及通項公式學習目標1.理解等差數列、等差中項的概念.2.掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差數列的判斷與證明方法．知識點一等差數列的概念一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負可為零．思考你能根據等差數列的概念寫出它的數學表達式嗎？〖答案〗an＋1－an＝d(d為常數，n∈N*)．知識點二等差中項的概念由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項且2A＝a＋b.思考下列所給的兩個數之間，插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.〖答案〗插入的數分別為(1)3，(2)2，(3)0，(4)eq\f(a＋b,2).知識點三等差數列的通項公式首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d.思考由等差數列的通項公式可以看出，要求an，需要哪幾個條件？〖答案〗只要求出等差數列的首項a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．知識點四從函數角度認識等差數列{an}若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.1．數列4,4,4，…是等差數列．(√)2．數列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n＋1，n≥2，))則{an}是等差數列．(×)3．若一個數列從第2項起每一項與它前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．(×)4．若三個數a，b，c滿足a＋c＝2b，則a，b，c一定是等差數列．(√)一、等差數列的通項公式及其應用例1在等差數列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.解(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5－1d＝－1，,a1＋8－1d＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋6－1d＝12，,a1＋4－1d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.反思感悟等差數列通項公式的求法與應用技巧(1)等差數列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數列的通項公式，只需求出首項與公差即可．(2)等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數，那么就可以由通項公式求出第四個數，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．(3)通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自變量為n的一次函數．跟蹤訓練1在等差數列{an}中，求解下列各題：(1)已知公差d＝－eq\f(1,3)，a7＝8，則a1＝

.(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d＝

.(3)已知{an}的前3項依次為2,6,10，則a15＝

.〖答案〗(1)10(2)－eq\f(1,2)(3)58〖解析〗(1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，故a1＝10.(2)設首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝0，,a1＋6d－2a1＋3d＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))(3)由題意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58.二、等差數列的判定與證明例2已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數列？說明理由；(2)求an.解(1)數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差為d＝eq\f(1,2)的等差數列．(2)由上述可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，∴an＝eq\f(2,n)，n∈N*.延伸探究將本例中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)”．(1)試證明數列{bn}為等差數列；(2)求數列{an}的通項公式．(1)證明bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數列{bn}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數列．(2)解由(1)知bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n.∵bn＝eq\f(1,an－2)，∴an＝eq\f(1,bn)＋2＝eq\f(2,n)＋2.∴數列{an}的通項公式為an＝eq\f(2,n)＋2，n∈N*.反思感悟判斷等差數列的方法(1)定義法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?數列{an}是等差數列.(2)等差中項法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?數列{an}為等差數列．(3)通項公式法數列{an}的通項公式形如an＝pn＋q(p，q為常數)?數列{an}為等差數列．跟蹤訓練2已知數列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數列{bn}是等差數列；(2)求數列{an}的通項公式．(1)證明∵eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1－1an－1)＝eq\f(1,3)，∴bn＋1－bn＝eq\f(1,3)，又b1＝eq\f(1,a1－1)＝1，∴{bn}是首項為1，公差為eq\f(1,3)的等差數列．(2)解由(1)知bn＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)，∴an－1＝eq\f(3,n＋2)，∴an＝eq\f(n＋5,n＋2).三、等差中項及應用例3(1)在－1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此數列．解因為－1，a，b，c，7成等差數列，所以b是－1與7的等差中項，則b＝eq\f(－1＋7,2)＝3，又a是－1與3的等差中項，所以a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3與7的等差中項，所以c＝eq\f(3＋7,2)＝5.所以該數列為－1,1,3,5,7.(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數列．求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差數列．證明因為eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．因為eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數列．反思感悟若a，A，b成等差數列，則A＝eq\f(a＋b,2)；反之，由A＝eq\f(a＋b,2)也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項?A＝eq\f(a＋b,2).跟蹤訓練3(1)若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項．解由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中項為eq\f(m＋n,2)＝3.(2)已知a，b，c成等差數列，證明：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差數列．證明因為a，b，c成等差數列，所以a＋c＝2b.又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)．故a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數列．等差數列的實際應用典例某公司經銷一種數碼產品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？解設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利潤構成一個等差數列{an}，從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損．∴由an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損．〖素養提升〗(1)解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息．若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列．合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題．(2)能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系，抽象出數列的模型，并能用有關知識解決相應的問題，是數學建模的核心素養的體現．1．已知等差數列{an}的通項公式an＝3－2n(n∈N*)，則它的公差d為()A．2B．3C．－2D．－3〖答案〗C〖解析〗由等差數列的定義，得d＝－2.2．若5，x，y，z，21成等差數列，則x＋y＋z的值為()A．26B．29C．39D．52〖答案〗C〖解析〗∵5，x，y，z，21成等差數列，∴y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項．∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.3．在等差數列{an}中，若a1＝84，a2＝80，則使an≥0，且an＋1<0的n為()A．21B．22C．23D．24〖答案〗B〖解析〗∵公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(88－4n≥0，,88－4n＋1<0))?21<n≤22.又∵n∈N*，∴n＝22.4．已知eq\r(3)＋1與eq\r(3)－1的等差中項為a，等差數列{an}的通項公式為an＝a2n＋1(n∈N*)，公差為d，則a＋d＝

.〖答案〗3＋eq\r(3)〖解析〗由題意，知a＝eq\f(\r(3)＋1＋\r(3)－1,2)＝eq\r(3)，d＝3，所以a＋d＝3＋eq\r(3).5．《九章算術》是我國古代數學名著，其中有道“竹九問題”：“今有竹九節，下三節容量四升，上四節容量三升．問中間二節欲均容各多少？”意思為：今有竹九節，下三節容量之和為4升，上四節容量之和為3升，且每一節容量變化均勻(即每節容量成等差數列)，則中間兩節各多少容量？在這個問題中，中間一節的容量為

升．〖答案〗eq\f(67,66)〖解析〗設從最上至最下每節的容量構成等差數列{