平方根

知識要點：

一、1.算術(shù)平方根的定義

如果一個正數(shù)X的平方等于a,即f=a,那么這個正數(shù)X叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)

定0的算術(shù)平方根還是0）;a的算術(shù)平方根記作右，讀作“a的算術(shù)平方根”，a

叫做被開方數(shù).

2.平方根的定義

如果x2=a,那么x叫做a的平方根.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

平方與開平方互為逆運算.a（a20）的平方根的符號表達為土&（a20）,其中&

是a的算術(shù)平方根.

二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

1.區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：±&和

2.聯(lián)系：（1）包含關(guān)系；（2）被開方數(shù)非負；（3）0的平方根和算術(shù)平方

根均為0.

說明：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的

算術(shù)平方根；負數(shù)沒有平方根.

（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出

它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.

三、算術(shù)平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律

被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動2位，

其算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或向左移動1位.

例題分析

1、若2m—4與3m—1是同一個正數(shù)的兩個平方根，

求m的值.

2、x為何值時，下列各式有意義？

（1）5

（2）Jx-2

1

(3)\/%+1+y[\—X

⑷旦

x—2

3、求下列各式的值.

(1)V252-242732+42

(2)J20--->/036--V900

V435

4、求下列各式中的x.

(1)%2-361=0

(2)(x+l『=289

(3)9(3x+2)2-64=0

5、已知a、b是實數(shù)，且J2a+6+卜-闿=0

解關(guān)于x的方程：(a+2)x+〃=a—1

6、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面

積為300cm2的長方形紙片，使它長寬之比為3:2,請你說明小麗能否用

這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

鞏固練習

1.下列說法中正確的有().

①只有正數(shù)才有平方根.②-2是4的平方根.

③V16的平方根是±4.④/的算術(shù)平方根是a.

⑤(-2)2的平方根是-2.⑥y/9=±3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.若m=>/而-4,則估計m的值所在的范圍是()

A.l<m<2B.2<m<3

C.3<m<4D.4<m<5

3,有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下:

2

-----------------1是無理數(shù)--------

輸入T*取算術(shù)平方根一-T—?輸出

是有理數(shù)

當輸入的x=64時，輸出的y等于（）

A.2B.8C.2A/2D.3V2

3

立方根、實數(shù)

知識要點：

一、立方根的定義

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果V="，

那么x叫做a的立方根。求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.一個數(shù)a的立方根，

用蚣表示，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.

二、立方根的特征

立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.

說明：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)

的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).

三、實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類

按定義分-數(shù)1有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

"上”頭［無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

?正數(shù)

按與。的大小關(guān)系實數(shù),0

2.實數(shù)與數(shù)軸上的I負數(shù).

數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點

與之對應(yīng).

四、實數(shù)大小的比較

對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.

正實數(shù)大于0,負實數(shù)小于0,兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

開立方例題分析

1、下列結(jié)論正確的是（）

A.64的立方根是±4B.-L是的立方根

26

C.立方根等于本身的數(shù)只有0和1D.g=-河

2、求下列各式的值：

4

(2)#11X43+52

(4)^27+J(-3)2-V-f

3、求下列各式中的x值.

（1）271=8；

⑵（x-2）3+1=0；

（3）1000（X+1）3=-27;

⑷-（2X-3）3=54.

4

4.將棱長分別為acm和bcm的兩個正方體鋁塊熔化，制成一個大正方體

鋁塊，這個大正方體的棱長為cm.（不計損耗）

5.已知實數(shù)a,a+=&

求Ia—l+Ia+1I的值.

6.已知5x+19的立方根是4,

求2x+7的平方根.

開立方例題分析

1.判斷正誤，在后面的括號里對的用“J”，錯的記“X”表示，并

說明理由.

（1）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).（）

（2）無理數(shù)都是無限小數(shù).（）

（3）無限小數(shù)都是無理數(shù).（）

（4）無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù).（）

（5）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).（）

（6）帶根號的數(shù)都是無理數(shù).（）

（7）有理數(shù)都是有限小數(shù).（）

5

(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

2.已知實數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，

ftAAA-

*yo；

Ix—zI

一/…\x-y\-\y+z\+\x+z\+------?

試化簡：x-z

3.若a的兩個平方根是方程3x+2y=2的一組解.

(1)求a的值；

(2)求a?的算術(shù)平方根.

4、己知(。一2b+1)'+—3-0,且y/c-4,

求物川+。的值.

5、如圖：平行四邊形ABCO中，點A、C的坐標分別是

月(65,C(2有,0).

(1)寫出點B的坐標；

(2)將平行四邊形ABC0向左平移逐個單位長度，

求所得平行四邊形四個頂點的坐標；

(3)求平行四邊形ABC0的面積.

6

實數(shù)復習

知識要點：

一。平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)

符號表示±4al/a

一個正數(shù)有兩個平方根，且一個正數(shù)有一個正的立方

互為相反數(shù)；根；

性質(zhì)零的平方根為零；一個負數(shù)有一個負的立方

負數(shù)沒有平方根；根；

零的立方根是零；

(而)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結(jié)論療=M=卜3±0)=a

日a(a<0)

=-Va

—.實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類

按定義分^數(shù)［有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

“L"頭數(shù)1無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

,正數(shù)

按與0的大小關(guān)系實數(shù),0

2.實數(shù)與數(shù)軸上的I負數(shù).

數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點

與之對應(yīng).

三、實數(shù)大小的比較

對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.

正實數(shù)大于0,負實數(shù)小于0,兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

四.實數(shù)的運算：

數(shù)a的相反數(shù)是一a；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的

相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合

運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，

有括號先算括號里.

五.實數(shù)的大小的比較:

7

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。

法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)

大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而

小；

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法。

例題分析

3%才+12

1、己知了=空Jx---3--+13--x-----,

求％2了的值.

練習1.己知y—Jx—2+A/2—x+3)

求V的平方根。

練習2.若即3工-7和曲+4互為相反數(shù)，

求x+y的值。

2、已知必是滿足不等式-石的所有整a的和，N是滿足不等式

2的最大整數(shù).

求,什川的平方根.

3、己知a是質(zhì)的整數(shù)部分，8是它的4強部分，

求?-a「+1匕+39的值.

練習：已知5+而的d激部分為a,5—而的小數(shù)部分為b,

貝ija+b的值是;a-b的值是.

4、閱讀理解，回答問題.

在解決數(shù)學問題的過程中，有時會遇到比較兩數(shù)大小的問題，解決這類問題的關(guān)鍵

是根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論特征，采用相應(yīng)辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的

一種行之有效的方法：若a—b>0,則a>b；若a—b=0,則a=b；若a—b<0,則a(b.

例如：在比較m2+l與m2的大小時，小東同學的作法是：

8

（羽，+1）一（活=病+1-=1＞0,

..W24-1＞病.

請你參考小東同學的作法，比較大小:4杉-------（2+Jiy

練習：例々在數(shù)軸上的位置如圖所示，

則a,—q—尸2的大小關(guān)系是：

a

-1a0

5、已矢口a、b1^78+16-^1=0

解關(guān)于x的方，（以+2）x+"=°-1

練習：設(shè)a、b、c都是實數(shù)，上（2—以y+Ja，+.+c+r+8|=0

求代數(shù)2a-劭-。的值。

6、閱讀材料：

學習了無理數(shù)后，某數(shù)學興趣小組開展了一次探究活動：估算爐的近似值.

小明的方?.?加（后＜設(shè)歷=3+左（0＜左＜1）.

問題：（/.（V13）2=（3+左）L..13=9+6左+左？.

（2）i音幺4V—4

13?9+6k,解得A??—./.yjY3?3H—?3.67.

66

己知非負整數(shù)a、b、m,若+

且以=4+匕，則赤'曰?含a、3的代數(shù)式表示）；

（3）請用《2）中的結(jié)論估算后的近似值.

鞏固練習

1.已知a、。是實數(shù)，下列命題結(jié)論正確的是（）

A.若a＞6,則B.若a＞I61,則/＞匕2

C.若lai＞6,則D若則

2.下列式子表示算術(shù)平方根的是（）.

9

37=3?^(-25)(-11=5③y=

④-后=5⑤±V5?3T=±O.l⑥必=621<7>0I

A.①