廣東省實驗中學2023-2024高三數學大灣區沖刺卷四數學（新高考I卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（本題5分）（2023·新疆·校聯考一模）已知復數滿足，其中是虛數單位，則（

）A． B． C． D．2．（本題5分）（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．（本題5分）（2024·河南鄭州·統考一模）已知，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（本題5分）（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，設都是銳角，若的始邊都與軸的非負半軸重合，終邊分別與圓交于點，且滿足，則當最大時，的值為（

）A． B． C． D．5．（本題5分）（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）數列中，，若，都有恒成立，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．6．（本題5分）（2023上·遼寧大連·高一期末）生物學上，J型增長是指在理想狀態下，物種迅速爆發的一種增長方式，其表達式為，其中為初始個體數，為最終個體數.若某種群在該模型下，個體數由100增長至120消耗了10天，則個體數由120增長至160消耗的時間大約為（

）（參考數據：，）A．14 B．15 C．16 D．177．（本題5分）（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（本題5分）（2023上·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）已知圓D是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓，圓與圓D交于A，B兩點，則當最大時，的面積為（

）A．2 B． C． D．1二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（本題5分）（2023上·全國·高三專題練習）為考察一種新藥預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數據后將所得結果填入相應的列聯表中.由列聯表中的數據計算得.參照附表，下列結論正確的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物有效”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物無效”C．根據小概率值α＝0.0001的獨立性檢驗，認為“藥物有效”D．對分類變量X與Y，統計量的值越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大10．（本題5分）（2023上·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習）關于等差數列和等比數列，下列四個選項中正確的有（

）A．等差數列，若，則B．等比數列，若，則C．若為數列前n項和，則，仍為等差數列D．若為數列前n項和，則，仍為等比數列11．（本題5分）（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）如圖，設正方體的棱長為，點是的中點，點為空間內兩點，且，則（

）

A．若平面，則點與點重合B．設，則動點的軌跡長度為C．平面與平面的夾角的余弦值為D．若，則平面截正方體所得截面的面積為12．（本題5分）（2023上·浙江·高三校聯考階段練習）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（本題5分）（2024上·黑龍江·高二校聯考期末）已知展開式的常數項為60，則實數的值為.14．（本題5分）（2023上·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校聯考學業考試）已知函數，把函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象.若，是關于x的方程在內的兩根，則的值為.15．（本題5分）（2023上·四川成都·高二校聯考期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區間形式）．16．（本題5分）（2023上·福建泉州·高二統考階段練習）已知函數，當時，，則實數的取值范圍為.解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（本題10分）（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知函數.(1)求的最小正周期；(2)在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.18．（本題12分）（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）已知為數列的前項和，且為正項等比數列，，.(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的通項公式；(3)設，且數列的前項和為，若恒成立，求實數的取值范圍.19．（本題12分）（2023上·遼寧沈陽·高三校聯考期中）如圖，是三棱柱的高，，，E是對角線和的交點．(1)證明：//平面；(2)若二面角的正切為，，，，求直線與平面所成角的正弦值．20．（本題12分）（2024上·黑龍江·高二校聯考期末）直播帶貨是一種直播和電商相結合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針對這種現狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨銷售金額穩步提升，以下是該公司2023年前6個月的帶貨金額：月份123456帶貨金額萬元25435445495416542054(1)根據統計表中的數據，計算變量與的樣本相關系數，并判斷兩個變量與的相關程度（若，則認為相關程度較強；否則沒有較強的相關程度，精確到0.01）；(2)若與的相關關系擬用線性回歸模型表示，試求關于的經驗回歸方程，并據此預測2023年10月份該公司的直播帶貨金額（精確到整數）.附：經驗回歸方程，其中，樣本相關系數；參考數據：.21．（本題12分）（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考階段練習）設雙曲線的離心率為，且頂點到漸近線的距離為.已知直線過點，直線與雙曲線的左，右兩支的交點分別為，直線與雙曲線的漸近線的交點為，其中點在軸的右側.設的面積分別是.(1)求雙曲線的方程；(2)求的取值范圍.22．（本題12分）（2023上·上海虹口·高三統考期末）已知點在拋物線：上，點F為的焦點，且．過點F的直線l與及圓依次相交于點A，B，C，D，如圖．(1)求拋物線的方程及點M的坐標；(2)證明：為定值；(3)過A，B兩點分別作的切線，，且與相交于點P，求與的面積之和的最小值．廣東省實驗中學2023-2024高三數學大灣區沖刺卷四全解全析數學（新高考I卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（本題5分）已知復數滿足，其中是虛數單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出復數，利用復數的模長公式可求得的值.【詳解】因為，則，故.故選：B.2．（本題5分）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解對數不等式和絕對值不等式求出集合、，再根據交集的定義計算可得.【詳解】由，即，所以，所以，由，即，解得，所以，所以.故選：C3．（本題5分）已知，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用求投影向量的公式進行求解即可.【詳解】向量在向量方向上的投影向量為.故選：D.4．（本題5分）在平面直角坐標系中，設都是銳角，若的始邊都與軸的非負半軸重合，終邊分別與圓交于點，且滿足，則當最大時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角函數的定義，由，有，利用兩角差的正弦公式化簡得，由兩角差的正切公式結合基本不等式求的最大值，再由倍角公式求的值.【詳解】由，有，即，則有，得，，當且僅當時等號成立，是銳角，所以當最大時，，則.故選：B.5．（本題5分）數列中，，若，都有恒成立，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得，再由，都有恒成立，可得對，都有恒成立，令，求出數列的最大項即可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以數列是等差數列，首項為，公差為，所以，，又因為，都有恒成立，所以，都有恒成立，令，則，所以=，所以當時，，；當時，，；所以在數列中，第8項最大，且，所以，故的最小值為.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點有2個：一是將已知條件變形得數列是等差數列，首項為，公差為；二是判斷出在數列中，第8項最大.6．（本題5分）生物學上，J型增長是指在理想狀態下，物種迅速爆發的一種增長方式，其表達式為，其中為初始個體數，為最終個體數.若某種群在該模型下，個體數由100增長至120消耗了10天，則個體數由120增長至160消耗的時間大約為（

）（參考數據：，）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】將已知數據代入函數模型，利用對數的運算性質求出即可.【詳解】由題意可得，，所以，即，所以，當，時，，即，所以，由給定數據.故選：B7．（本題5分）在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取的中點D，連接和，則為二面角的平面角，即，過點D作平面的垂線，過點作平面的垂線，則交點為球心，連接，，然后在、中分別運用勾股定理、余弦定理可得，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，因為，，所以，因為，所以為等邊三角形，所以.取的中點D，連接和，則為二面角的平面角，即.因為為直角三角形，所以D為的外心.設的外心為，過點D作平面的垂線，過點作平面的垂線，則交點為球心，連接，.設三棱錐外接球的半徑為R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是準確畫出圖形然后根據找到外接球心的位置，最終根據解三角形知識確定球的半徑即可順利求解.8．（本題5分）已知圓D是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓，圓與圓D交于A，B兩點，則當最大時，的面積為（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】設，寫出圓的方程，求得直線的方程，利用點到直線的最小值來求得最大時的面積.【詳解】設，則，設，，圓的方程為①，圓：的圓心為，半徑為，圓的方程可化為②，由①②得直線的方程為，即，是等腰三角形，為頂角，則當到直線的距離最小時，最大，當到直線的距離為，當且僅當時等號成立.當當到直線的距離取最小值時，，所以.故選：A

【點睛】在利用基本不等式求最值的過程中，要注意一正、二定、三相等.求解圓與圓位置關系有關問題，首先考慮數形結合的數學思想方法，畫出圖象，然后根據圖象、圓的幾何性質來對問題進行分析和求解.二、多選題（共20分）9．（本題5分）為考察一種新藥預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數據后將所得結果填入相應的列聯表中.由列聯表中的數據計算得.參照附表，下列結論正確的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物有效”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物無效”C．根據小概率值α＝0.0001的獨立性檢驗，認為“藥物有效”D．對分類變量X與Y，統計量的值越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大【答案】AD【分析】根據與參考值比較，結合獨立性檢驗的定義，即可判斷；【詳解】因為，即，所以根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為藥物有效，故BC錯誤．而根據統計量的意義，可得其值越大，則判斷與有關系的把握程度越大，故D正確.故選：AD．10．（本題5分）關于等差數列和等比數列，下列四個選項中正確的有（

）A．等差數列，若，則B．等比數列，若，則C．若為數列前n項和，則，仍為等差數列D．若為數列前n項和，則，仍為等比數列【答案】AC【分析】利用等差數列下標和性質判斷A；舉例說明判斷B；利用等差數列定義判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，由等差數列下標和性質知，A正確；對于B，取，顯然數列成等比數列，且，而，B錯誤；對于C，等差數列的公差為，，，有，因此成等差數列，C正確；對于D，當等比數列的公比，為正偶數時，，顯然不成等比數列，D錯誤.故選：AC11．（本題5分）如圖，設正方體的棱長為，點是的中點，點為空間內兩點，且，則（

）

A．若平面，則點與點重合B．設，則動點的軌跡長度為C．平面與平面的夾角的余弦值為D．若，則平面截正方體所得截面的面積為【答案】ABD【分析】假設點不與重合，根據平面，平面，可得，而，故假設不成立，A正確；根據已知判斷出動點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓的，，進而判斷選項B；建立空間直角坐標系，利用向量法求解面面夾角余弦值即可判斷選項C；根據已知條件做出圖形，即可求出面積判斷選項D.【詳解】由正方體的性質知，平面，若點不與重合，因為平面，則，與矛盾，故當平面時，點與重合，故A正確；因為，所以點在平面上，因為，所以，則動點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓的，故其長度為，故B正確；對于C，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以.設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則得，令，，所以，同理結合得，因為，所以平面與平面的夾角的余弦值為，故C錯誤；對于D，過的直線分別交的延長線于點，然后再分別連接，交側棱于點，交側棱于點，連接和，如圖所示：

則得截面為五邊形，易求，，故，所以，，所以五邊形的面積，故D正確.故選：ABD12．（本題5分）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先根據條件分析出的周期性對稱性，再得到的周期性的對稱性，最后由求導得到和的周期性和對稱性，代入求解即可.【詳解】由題意得，所以，兩式相減可得①，所以關于點中心對稱，又因為為奇函數，所以②，即，所以關于點中心對稱，而定義域為，所以，A正確；②式兩邊對求導可得，所以是偶函數，以替換①中的可得，所以，所以是最小正周期為4的周期函數，因為，所以也是最小正周期為4的周期函數，即，兩邊求導可得，所以也是最小正周期為4的周期函數，所以不恒成立，B錯誤；由①得，令，解得，所以③，即關于直線對稱，以替換③中的可得，由②可知，所以④，所以，所以C正確；由上可知關于點中心對稱，所以又因為是偶函數，所以又因為是最小正周期為4的周期函數，所以，由條件可得，所以，由④知，所以，D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點睛：解決這類題的關鍵是熟練掌握對稱與周期的關系，若關于兩點（縱坐標相同）或者兩條直線（平行于軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關于一點和一直線（平行于軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.第II卷（非選擇題）三、填空題（共20分）13．（本題5分）已知展開式的常數項為60，則實數的值為.【答案】【分析】根據二項式定理得到通項公式，進而得到方程，求出，根據常數項得到方程，求出.【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為，解得.故答案為：14．（本題5分）已知函數，把函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象.若，是關于x的方程在內的兩根，則的值為.【答案】－/【分析】根據三角恒等變換整理的解析式，再結合圖象變換求的解析式，最后根據正弦函數的對稱性運算求解.【詳解】其中，因為把函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，所以，當時，，因為，是關于x的方程在內的兩根，所以有，因此，故答案為：15．（本題5分）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區間形式）．【答案】【分析】設P的坐標為，根據求出，故點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，分圓M與直線AB相切和兩種情況，求出離心率的取值范圍.【詳解】直線AB方程為，設點P的坐標為，，故，所以點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，①圓M與直線AB相切，則原點到直線的距離等于半徑，，即，，方程兩邊同除以得，，解得，故，②若，，解得，綜上，的取值范圍為．故答案為：.【點睛】橢圓離心率是最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).16．（本題5分）已知函數，當時，，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】將不等式等價變形成在上恒成立，構造函數，利用放縮可得，化簡后可得，即可求出實數的取值范圍.【詳解】根據題意可知，由可得，兩邊同時取對數可得，即在上恒成立，令，則只需即可；又，因為，當且僅當時等號成立，利用可得，當且僅當時等號成立，所以，當有解時等號成立；令，則，即在上單調遞增，由可得使得，所以可得，即，所以實數的取值范圍為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用分離參數和放縮法，借助導數研究函數單調性和最值，從而解決恒成立問題求解參數范圍.四、解答題（共70分）17．（本題10分）已知函數.(1)求的最小正周期；(2)在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用降冪公式及兩角和正弦公式化簡得，根據最小正周期公式即得.（2）由（1）得，利用正弦面積公式與余弦定理得到，再借助正弦定理得結果.【詳解】（1），的最小正周期；（2）由，可得，又，，，，由，得，由余弦定理得：，得，由正弦定理得外接圓的半徑.18．（本題12分）已知為數列的前項和，且為正項等比數列，，.(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的通項公式；(3)設，且數列的前項和為，若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用整理化簡可得，再結合得到數列為等差數列，即可求出數列的通項公式，將數列的通項公式代入，計算即可得結論；（2）利用數列的通項公式即可得數列的通項公式；（3）先利用錯位相減法求出，再將恒成立轉化為，構造，計算的正負確定其單調性，進而可得最值.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，所以，整理得，①所以，②由①-②得，所以數列為等差數列，因為，所以數列的公差為，所以.設，則，因為（常數），所以數列是等差數列；（2）設數列的公比為，結合（1）及已知得，解得，所以；（3）由（1）（2）得，，所以，①又②①-②，得，所以，由，解得.設，則，故，因為，故恒成立，知單調遞減，故的最大值為，則，即的取值范圍為.19．（本題12分）如圖，是三棱柱的高，，，E是對角線和的交點．(1)證明：//平面；(2)若二面角的正切為，，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取中點，依題意可得面，進而得到，則有，為的中點，再根據線面平行的判定定理進行證明即可.（2）根據已知條件求出各邊長，以，的正方向分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，利用進行求解.【詳解】（1）取中點，連接，，連接BO并延長交AC于點M，連接.

因為，所以.因為是三棱柱的高，所以面，又面，所以.因為，面，面，所以面，因為面，所以.因為，所以，故為的中點.因為為的中點，所以，又，平所以平面.（2）由（1）可知，為二面角的平面角，因為且二面角的正切為，所以.在中，，所以，則在中，，因為，且根據最小角定理，，，所以，，所以，，，.如圖以，的正方向分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，

，，，，所以所以設平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個法向量為；又，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.20．（本題12分）直播帶貨是一種直播和電商相結合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針對這種現狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨銷售金額穩步提升，以下是該公司2023年前6個月的帶貨金額：月份123456帶貨金額萬元25435445495416542054(1)根據統計表中的數據，計算變量與的樣本相關系數，并判斷兩個變量與的相關程度（若，則認為相關程度較強；否則沒有較強的相關程度，精確到0.01）；(2)若與的相關關系擬用線性回歸模型表示，試求關于的經驗回歸方程，并據此預測2023年10月份該公司的直播帶貨金額（精確到整數）.附：經驗回歸方程，其中，樣本相關系數；參考數據：.【答案】(1)，與相關程度較強，且正相關；(2)，預測2023年10月份該公司的直播帶貨金額為3443萬元.【分析】（1）直接代入相關系數方程即可.（2）求出線性回歸方程，再將代入計算即可.【詳解】（1）由已知可得.又，所以，則樣本相關系數因為樣本相關系數，所以與相關程度較強，且正相關.（2）設關于的經驗回歸方程為，其中，，所以關于的經驗回歸方程為.把代入得（萬元）.所以預測2023年10月份該公司的直播帶貨金額為3443萬元.21．（本題12分）設雙曲線的離心率為，且頂點到漸近線的距離為.已知直線過點，直線與雙曲線的左，右兩支的交點分別為