第4講平面向量的綜合應用分層訓練A級基礎達標演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，則a·b＋b·c＋c·a＝________.解析由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，可得|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，所以a·b＋b·c＋c·a＝2cos120°＋2eq\r(3)cos150°＋0＝－4.答案－42．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，那么c＝________.解析由題知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2?c＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案eq\r(2)3．已知△ABO三頂點的坐標為A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐標平面內一點，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤0，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≥0，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的最小值為________．解析由已知得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案34．已知平面上有四個互異點A、B、C、D，若(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀為________．解析由(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，得[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC是等腰三角形．答案等腰三角形5.如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，BC＝eq\r(7)，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.解析eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，因為OA＝OB，所以eq\o(AO,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影為eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，同理eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(9,2)，故eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)6．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點D，E分別為AB，BC的中點，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))，則a2，b2，c2成________數列．解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))，得(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))，即eq\o(CB,\s\up6(→))2－eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2，所以a2－b2＝b2－c2，所以a2，b2，c2成等差數列．答案等差二、解答題(每小題15分，共30分)7．(·南京模擬)已知在銳角△ABC中的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，定義向量m＝(sinB，－eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，4cos2\f(B,2)－2))，且m∥n.(1)求函數f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的單調遞減區間；(2)若b＝1，求△ABC的面積的最大值．解(1)因為m∥n，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4cos2\f(B,2)－2))sinB＋eq\r(3)cos2B＝2sinBcosB＋eq\r(3)cos2B＝sin2B＋eq\r(3)cos2B＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,3)))＝0，所以B＝eq\f(π,3).所以f(x)＝sin(2x－B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).于是由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得函數f(x)的單調遞減區間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(5,12)π，kπ＋\f(11,12)π))，k∈Z.(2)當b＝1時，由余弦定理，得1＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)＝a2＋c2－ac≥ac，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)≤eq\f(\r(3),4)，當且僅當a＝c＝1時等號成立，所以(S△ABC)max＝eq\f(\r(3),4).8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(2a＋c)·eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋ceq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2eq\r(3)，試求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最小值．解(1)因為(2a＋c)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋ceq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，因為sin(B＋C)＝sinA≠0，所以cosB＝－eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(2π,3).(2)因為b2＝a2＋c2－2accoseq\f(2π,3)，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝accoseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)ac≥－2，當且僅當a＝c＝2時等號成立，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最小值為－2.分層訓練B級創新能力提升1．(·南京師大附中二模)已知點P是邊長為2的正三角形ABC邊BC上的動點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝________.解析如圖，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，△ABC為正三角形，所以四邊形ABDC為菱形，BC⊥AO，所以eq\o(AP,\s\up6(→))在向量eq\o(AD,\s\up6(→))上的投影為eq\o(AO,\s\up6(→)).又|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝6.答案62．(·天津卷改編)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R，若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，則λ＝________.解析以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，eq\r(3))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得P(2λ，0)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，得Q(1－λ，eq\r(3)(1－λ))，所以eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－λ－1，eq\r(3)(1－λ))·(2λ－1，－eq\r(3))＝－(λ＋1)(2λ－1)－eq\r(3)×eq\r(3)(1－λ)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)3．(·南京學情分析)設eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(0,1)，O為坐標原點，動點P(x，y)滿足0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))≤1,0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))≤1，則z＝y－x的最小值是________．解析由題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋\f(1,2)y≤1，,0≤y≤1，))所以可行域如圖所示，所以當直線y－x＝z經過點A(1,0)時，zmin＝－1.答案－14．(·廣東卷)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝eq\f(α·β,β·β).若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，且a°b和b°a都在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))中，則a°b＝________.解析根據題中給定的兩個向量的新運算可知a°b＝eq\f(a·b,b·b)＝eq\f(|a|×|b|×cosθ,|b|2)＝eq\f(|a|cosθ,|b|)，b°a＝eq\f(|b|cosθ,|a|)，又由θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))可得eq\f(\r(2),2)<cosθ<1，由|a|≥|b|>0可得0<eq\f(|b|,|a|)≤1，于是0<eq\f(|b|cosθ,|a|)<1，即b°a∈(0,1)，又由于b°a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))，所以eq\f(|b|cosθ,|a|)＝eq\f(1,2)，即|a|＝2|b|cosθ.①同理eq\f(|a|cosθ,|b|)>eq\f(\r(2),2)，將①代入后得2cos2θ>eq\f(\r(2),2)，又由于a°b∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))，所以a°b＝2cos2θ＝eq\f(n,2)(n∈Z)，于是1<eq\f(n,2)<2，故n＝3，∴cosθ＝eq\f(\r(3),2)，|a|＝eq\r(3)|b|，∴a°b＝eq\f(\r(3)|b|,|b|)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).(1)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求角α的值；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，求eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)的值．解(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα，sinα－3)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，可得eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\o(BC,\s\up6(→))2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴α＝eq\f(5π,4).(2)由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝eq\f(2,3).①又eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)＝eq\f(2sin2α＋2sinαcosα,1＋\f(sinα,cosα))＝2sinαcosα.由①式兩邊分別平方，得1＋2sinαc