1.3復數【題型解讀】【知識儲備】1．復數的有關概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4．復數的三角形式如圖的復平面中，r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)，tanθ＝eq\f(b,a)(a≠0)．任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我們把r(cosθ＋isinθ)叫做復數的三角形式．對應于復數的三角形式，把z＝a＋bi叫做復數的代數形式．復數乘、除運算的三角表示：已知復數z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．【題型精講】【題型一復數的有關概念】必備技巧解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．例1(2023·安徽淮北·一模）若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（

）A．的虛部為 B．在復平面內對應的點在第四象限C． D．的共軛復數為例2(2023·安徽黃山·二模）已知復數滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．例3(2023·遼寧·二模）設（i為虛數單位），若為實數，則a的值為（

）A．2 B． C．1 D．【題型精練】1.(2023·浙江省義烏中學模擬預測）已知復數，其中是虛數單位，，下列選項中正確的是（

）A．若是純虛數，則這個純虛數為B．若為實數，則C．若在復平面內對應的點在第一象限，則D．當時，2．(2023·廣東茂名·二模）（多選）已知復數，，若為實數，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數 D．對應的點位于第三象限3．(2023·江西鷹潭·一模）已知復數滿足（其中為虛數單位），則復數的虛部為（

）A．1 B． C．2 D．4.(2023·內蒙古赤峰·三模）若復數滿足，則（

）A．B．是純虛數C．復數在復平面內對應的點在第二象限D．若復數在復平面內對應的點在角的終邊上，則【題型二復數的四則運算】必備技巧復數的四則運算(1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算．(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數．例4(2023·陜西·西安中學二模）若復數，則的虛部為（

）A． B． C． D．例5(2023·河北·高三階段練習）已知復數，則（

）A． B． C． D．例6(2023·江蘇連云港·模擬預測）已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·上海民辦南模中學高三階段練習）在復數范圍內，下列命題中為真命題的序號是______．①；

②若，則；③若，則；

④；⑤，則；

⑥；⑦兩個共軛復數的差是純虛數；⑧若，則z必為實數．2.（2023·北京·高考真題）在復平面內，復數滿足，則（

）A． B． C． D．3.(2023·江蘇·新沂市第一中學模擬預測）復數（

）A． B． C．1 D．4.(2023·全國·高三專題練習）已知a，，i是虛數單位.若，則（）A． B． C． D．【題型三復數的幾何意義】必備技巧復數的幾何意義(1)復數z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．例7(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高三階段練習）復數滿足，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例8(2023江西省景德鎮一中月考）在復平面內，平行四邊形的三個頂點，A，B，C對應的復數分別為，，(為虛數單位)，則點D對應的復數為（）A. B. C. D.例9(2023·貴州畢節·三模）已知復數在復平面內對應的點與復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則復數的共軛復數（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·全國·江西科技學院附屬中學高三階段練習）如圖所示，在復平面內，復數對應的點為，則（

）A． B． C． D．2.(2023·全國·模擬預測）已知點，，，復數，在復平面內對應的向量分別是，，則復數（

）A． B． C． D．3.(2023·寧夏·石嘴山市第一中學三模）設復數，若復數對應的點在直線上，則的最小值為___________【題型四復數的模】必備技巧復數的模1.復數的模：設eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數為z＝a＋bi，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的長度叫做復數z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.兩個復數的差的模的幾何意義兩個復數的差的模的幾何意義是∶復平面內與這兩復數對應的兩點之間的距離.即設復數在復平面內對應的點分別是，則=例10(2023·北京市十一學校高三階段練習）若復數z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．例11(2023·河南開封·高三階段練習）已知為虛數單位，且，復數滿足，則復數對應點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例12(2023·全國·高三專題練習）若復數z滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．5 D．6【題型精練】1．(2023·陜西西安·三模）已知復數滿足，則（

）A． B． C． D．2.(2023·廣東·金山中學高三階段練習）已知復數z滿足，若z在復平面內對應的點為，則（

）A． B．C． D．3.(2023·全國·高三專題練習）若z是復數，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（）A． B． C． D．1.3復數【題型解讀】【知識儲備】1．復數的有關概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4．復數的三角形式如圖的復平面中，r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)，tanθ＝eq\f(b,a)(a≠0)．任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我們把r(cosθ＋isinθ)叫做復數的三角形式．對應于復數的三角形式，把z＝a＋bi叫做復數的代數形式．復數乘、除運算的三角表示：已知復數z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．【題型精講】【題型一復數的有關概念】必備技巧解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．例1(2023·安徽淮北·一模）若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（

）A．的虛部為 B．在復平面內對應的點在第四象限C． D．的共軛復數為答案：D【解析】.的虛部為，故A錯誤；在復平面內對應的點在第一象限，故B錯誤；，故C錯誤；的共軛復數為，故D正確.故選：D.例2(2023·安徽黃山·二模）已知復數滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，，，故復數的虛部為.故選：A例3(2023·遼寧·二模）設（i為虛數單位），若為實數，則a的值為（

）A．2 B． C．1 D．答案：A【解析】，因為為實數，所以，解得.故選：A.【題型精練】1.(2023·浙江省義烏中學模擬預測）已知復數，其中是虛數單位，，下列選項中正確的是（

）A．若是純虛數，則這個純虛數為B．若為實數，則C．若在復平面內對應的點在第一象限，則D．當時，答案：D【解析】，對于A：當是純虛數時，則且，解得，此時這個純虛數為，故A不正確；對于B：當為實數時，則，解得，故B不正確；對于C：當在復平面內對應的點在第一象限，則，解得，故C不正確；對于D：當時，，所以，故D正確，故選：D.2．(2023·廣東茂名·二模）（多選）已知復數，，若為實數，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數 D．對應的點位于第三象限答案：AC【解析】因為為實數，所以，解得，所以，，所以，故A正確，，故B錯誤，因為，所以，故C正確，因為，所以，其對應的點在第四象限，故D錯誤．故選:AC．3．(2023·江西鷹潭·一模）已知復數滿足（其中為虛數單位），則復數的虛部為（

）A．1 B． C．2 D．答案：C【解析】依題意，，所以的虛部為.故選：C4.(2023·內蒙古赤峰·三模）若復數滿足，則（

）A．B．是純虛數C．復數在復平面內對應的點在第二象限D．若復數在復平面內對應的點在角的終邊上，則答案：D【解析】由題設，且對應點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數，B錯誤；由在復平面內對應的點為，所以，D正確.故選：D【題型二復數的四則運算】必備技巧復數的四則運算(1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算．(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數．例4(2023·陜西·西安中學二模）若復數，則的虛部為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為.所以，故的虛部為.故選：A例5(2023·河北·高三階段練習）已知復數，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，故選：C．例6(2023·江蘇連云港·模擬預測）已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，，，；故選：D.【題型精練】1．(2023·上海民辦南模中學高三階段練習）在復數范圍內，下列命題中為真命題的序號是______．①；

②若，則；③若，則；

④；⑤，則；

⑥；⑦兩個共軛復數的差是純虛數；⑧若，則z必為實數．答案：①⑤⑧【解析】①設，則，所以①正確②設，，但與不能比較大小所以②不正確③設，，則所以③不正確④設，則，所以④不正確⑤設，則，⑥當，時，，所以⑥不正確⑦如果兩個復數是實數，差值也是實數，所以⑦不正確⑧設（，），則，所以⑧正確故答案為：①⑤⑧2.（2023·北京·高考真題）在復平面內，復數滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可得：.故選：D.3.(2023·江蘇·新沂市第一中學模擬預測）復數（

）A． B． C．1 D．答案：D【解析】因為，所以故選：D4.(2023·全國·高三專題練習）已知a，，i是虛數單位.若，則（）A． B． C． D．答案：B【解析】因，a，，則有，所以.故選：B【題型三復數的幾何意義】必備技巧復數的幾何意義(1)復數z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．例7(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高三階段練習）復數滿足，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】，，，，則對應的點為，位于第四象限.故選：D.例8(2023江西省景德鎮一中月考）在復平面內，平行四邊形的三個頂點，A，B，C對應的復數分別為，，(為虛數單位)，則點D對應的復數為（）A. B. C. D.答案：A【解析】由題知，，，，設.則，.因為為平行四邊形，所以.由，解得，所以點對應的復數為.故選：A.例9(2023·貴州畢節·三模）已知復數在復平面內對應的點與復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則復數的共軛復數（

）A． B． C． D．答案：D【解析】復數在復平面內對應的點為，關于虛軸對稱的點為，所以，復數在復平面內對應的點為，即，所以，.故選：D【題型精練】1．(2023·全國·江西科技學院附屬中學高三階段練習）如圖所示，在復平面內，復數對應的點為，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】依題意，得，則.故選：A.2.(2023·全國·模擬預測）已知點，，，復數，在復平面內對應的向量分別是，，則復數（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意知，，于是，故選：C.3.(2023·寧夏·石嘴山市第一中學三模）設復數，若復數對應的點在直線上，則的最小值為___________答案：9【解析】故復數對應的點的坐標為，又因為點在直線，整理得：當且僅當時，即時等號成立，即的最小值為9故答案為：9【題型四復數的模】必備技巧復數的模1.復數的模：設eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數為z＝a＋bi，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的