2022年高中數學選擇性必修第二冊：函數的最大(小)值及其

應用

一、選擇題

1.(2020江西南昌二中高二上期末,#?)函數f(x)=2x2《x3在區間[0,6]上

的最大值是()

A.-B.-

33

C.12D.9

2.(2019四川瀘州高三上診斷性考試,*；)已知函數f(x)=ln

*-如2+伯_1以+29〉0)的值域與函數y=f(f(x))的值域相同,則實數a的取

值范圍為()

A.(0,l]B,(l,+oo)

c.(詞D-[?+°°)

3.(2019浙江鎮海中學高二上期末,")已知函數f(x)=xeX,g(x)=xlnx,若

f(Xl)=g(X2)=t,其中t>0,則型的最大值為()

%1%2

A.-B.-

ee

c，4ezD，4ez

4.(2019安徽十校高三聯考,")已知函數f(x)=--+2g(x)=^gU(e是自

1—XXX

然對數的底數)，若Vx1e(0,l),3X2hl,3],使得f(xi)》g(X2)成立，則正

實數k的最小值為()

1

A.-B.1

2

C.4-2V3D.4+2V3

5.(多選)(*)已知函數f(x)==^，則下列結論正確的是()

ex

第1頁共15頁

A.函數f(x)存在兩個不同的零點

B.函數f(x)既存在極大值又存在極小值

C.當-e<k<0時，方程f(x)=k有且只有兩個實根

D.若當X￡[t,+oo)時，f(X)max=*則t的最小值為2

6.(多選)(*9已知函數f(x)=x2(lnx-a)+a,則下列結論正確的是()

A.3a>O,Vx>0,f(x)20

B.3a>0,2x>0,f(x)WO

C.Va>O,Vx>0,f(x)20

D.Va>0,3x>0,f(x)WO

二'填空題

7.(*：)若不等式ex-l^kx+lnx對于任意的x￡(0,+8)恒成立，則k的最

大值為.

8.(2020福建師范大學附中高二上期末,")若函數f(x)=3x-x3在區間

(a-1,a)上有最小值,則實數a的取值范圍是.易錯

三'解答題

9.(2019山東煙臺高三上期中,*?)某工廠加工一批零件，加工過程中會

產生次品,根據經驗可知，其次品率p與日產量x(萬件)之間滿足函數關

仔,lWx<4,

系式p=H3已知每生產1萬件合格品可獲利2萬元，但生

匕G+l，x之4,

產1萬件次品將虧損1萬元(次品率=次品數/生產量).

(1)試寫出加工這批零件的日盈利額y(萬元)與日產量x(萬件)的函數

關系式；

第2頁共15頁

(2)當日產量為多少時，可獲得最大利潤?最大利潤為多少?

10.(2020北京石景山高三上期末,*)已知函數f(x)=eX-ax(a￡R).

⑴求函數f(x)的單調區間；

⑵若a=3,f(x)的圖象與y軸交于點A,求曲線y=f(x)在點A處的切線

方程；

(3)在(2)的條件下，證明:當x>0時一，f(x)>x?-3x+l恒成立.

第3頁共15頁

11.(2020天津和平高三上期末設函數f(x)=aeX,g(x)=lnx+b,其中

a,b￡R,e是自然對數的底數.

⑴設F(x)=xf(x),當a=e-1時，求F(x)的最小值;

⑵證明:當a=e”,b<1時，總存在兩條直線和曲線y=f(x)與y=g(x)都相切;

(3)當a吟時,證明:f(x)>x[g(x)-b].

12.(2019福建三明高二上期末,")已知函數f(x)=ax+lnx(a￡R).

(1)討論f(x)的單調性；

⑵當a=l時,不等式xex+l>f(x)+m對任意的x￡(0,+8)恒成立，求實數

m的取值范圍.

第4頁共15頁

13.(2019湖南瀏陽一中、醴陵一中高二月考,")已知函數f(x)=ln

x-*g(x)=f(x)+ax-61nx,其中a￡R.

⑴討論f(x)的單調性；

(2)設函數h(x)=x2-mx+4,當a=2時，若mxie(0,l),VX2￡[l,2],總有

g(xi)Nh(X2)成立,求實數m的取值范圍.

第5頁共15頁

答案全解全析

一'選擇題

1.Af(x尸2x2-1x3,，f(x)=4x-x2,

令f(x)=0,得x=0或x=4.

列表如下：

X0(0,4)4(4,6)6

f(x)0+0-

f(x)0/0

3

因此f(x)在［0,6］上的最大值為拳故選A.

2.D由題可知，函數f(x)的定義域為(0,+oo).

f(x)=lnx-|ax2+(a-1)x+a(a>0),

..f(x)=—ax+a-l=-------

XX

.,.當x>l時f(x)<0;當0<x<l時f(x)〉0,

，f(x)在(0,l)上單調遞增，在(l,+oo)上單調遞減，

???f(x)max=f(l)=|a-l,即f(x)的值域為.

要使y=f(f(x))的值域也為(-oo,|a-J,則只要f(X)max2l,

則即a咨故選D.

3.A由題意可知「1，”t①短記m=lnX2,則②式可化為

lx2ln%2=t②，

em,m=mem=t,因為f(x)=xe'在(0,+oo)上單調遞增，故xi=m,即xi=lnX2,

代入①式，可得xielnX2=t^>xiX2=t,Ki］-^-=—.

%1%2t

第6頁共15頁

t己w(t)=^(t>。),貝Ijw'(t)=i^,

令w'(t)>0,得0<t<e;令w'(t)<0,得t>e,故w(t)在(0,e)上單調遞增，在(e,+co)

上單調遞減，當t=e時,w(t)max=w(e)=士故選A.

e

4.CVxie(0,l),3X2hl,3］,使得f(xi)與g(X2)成立等價于

f(x)min三g(x)min,

1k徂、_1k_(l-k)x2+2kx-k

由f(x)=

付(X)-q.%)2-,一-%2(i?x)2-,

當0<k<l時，令F(x)=O,得X3;當(舍去),X4=離,

，f(x)在(0刈上單調遞減，在［X4,D上單調遞增,.?.f(X)min=f(X4)=(遍+1)2.

當k=l時，令f(x)=O,解得x=|,

f(X)min=fG)=4=(V^+1)2.

當k>l時，f(X)在(0,X4］上單調遞增，在［X4,l)上單調遞減,

當Xf0時,f(x)f+8,且當X-*1時，f(x)f+oo,f(x)無最小值.

由或刈=竺詈=4-萼，

得小)=喈2

令g'(x)=0,得x=e,

g(x)在［1⑶上單調遞減，在［e,3］上單調遞增,g(x)min=g(e)=3,

.?.(4+l)223,，k24-2B.故選C.

5.ABC由f(x)=0得x2+x-l=0,解得*=三￡所以A正確；

心/、X2-X-2(X+1)(X-2)

F(x)=-==1^，

當-l<x<2時，f(x)>0,當x<-l或x>2時,f(x)<0,

第7頁共15頁

所以函數的單調遞減區間為(-00,-1),(2,+8),函數的單調遞增區間為

(-1,2),所以f(-l)是函數的極小值，f(2)是函數的極大值，所以B正確；

當Xf+CO時,f(x)f0,根據B可知，函數的最小值是f(-l尸-e,再根據單調

性可知，當-e<k<0時，方程f(x)=k有且只有兩個實根，所以C正確；

畫出f(x)的大致圖象如圖，因為f(2)=言所以t的最大值是2,所以D不

正確.故選ABC.

6.ABD當a=j時，f(x)=x2(ln%-m+去函數的定義域為(0,+oo),

F(x)=2x(ln%-0+x2,：=2xlnx-x+x=2xlnx,

令f(x)=0,得x=l,當x>l時，f(x)>0,此時函數單調遞增，當0<x<l時，

f(x)<0,此時函數單調遞減，

故當x=l時，函數f(x)取得極小值,也是最小值，f(l)=-荊=0,

則Vx>0,f(x)2f⑴=0,故A正確.

當a=5時，f(x)=x2(lnx-5)+5,

貝1Jf(e)=e2(lne-5)+5=-4e2+5<0,

故ma>0,3x>0,f(x)W0,故B正確,C錯誤.

因為f(l)=12(lnl-a)+a=-a+a=0,所以Va>0,2x=l>0,使f(x)W0成立，因

此D正確.故選ABD.

二、填空題

7.答案e-1

第8頁共15頁

解析由題意得,kW亨當寸任意x￡(0,+oo)恒成立，

構造函數h(X)="4

X

貝h，(x)=e，(*+l\

易得h(x)在(0,1)上單調遞減，在(l,+oo)上單調遞增，故當x=l時,h(x)取到

極小值，也是最小值，且最小值為e-1,故k的最大值為e-1.

8.答案(-1,0)

解析,/f(x)=3x-x3,/.f(x)=3-3x2,

令f(x)=0,得3-3x2=。,解得x=±l,

X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+co)

f(x)-0+0-

f(x)、極小值/極大值

?；f(x)在(a-l,a)上有最小值,

...一心<；l‘解得-l<a<0,①

VUx>一1,

易得f(-1)=-3-(-1)=-2,

令f(x)=-2,得x3-3x-2=0,

即(x+l)2(x-2尸0,解得x=-l或x=2.

因此aW2.②

由①②知a的取值范圍是(-1,0).

易錯警示由函數的最大(小)值確定參數的取值范圍不僅要考慮極

值點,而且要考慮端點的函數值.

第9頁共15頁

三'解答題

9.解析⑴當lWx<4時,y=2x(l—^-x?*=2x-/,

當x>4時,丫=2*卜-(妥-|+1)40l)x=9-x-p

所以日盈利額y(萬元)與日產量x(萬件)的函數關系式為

(r2

2『T，1WX<4,

y=\9

9—x—,x之4.

IX

y21

⑵當lWx<4時,y=2xg=-#x-2)2+2,

所以當x=2時一,y取得最大值2;

當x24時,y=9-x-g,y'=-l+姿=^1-<0,

所以函數在［4,+oo)上單調遞減，

所以當x=4時,y取得最大值*

又?>2,所以當日產量為4萬件時可獲得最大利潤,最大利潤為?萬元.

10.解析⑴依題意得f(x)=eX-a,

當aWO時;f(x)20恒成立，所以f(x)在R上單調遞增，

當a>0時，令f(x)=O,得x=lna.

當x發生變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X(-oo,Ina)Ina(Ina,+oo)

f(x)-0+

f(x)\極小值/

所以當@>。時一，1?儀)在600,111a)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增.

綜上所述，當aWO時-，f(x)的單調遞增區間為R,無單調遞減區間，

第10頁共15頁

當a>0時，，f(x)的單調遞增區間為(Ina,+00),單調遞減區間為(-00,Ina).

(2)當a=3時,f(x)=ex-3x.

令x=0,得y=l,則A(0,l),

因為f(x)=eX-3,所以f(0)=l-3=-2,

所以曲線y=f(x)在A點處的切線方程為y-l=-2(x-0),即y=-2x+l.

(3)證明:令g(x)=f(x)-(x2-3x+l)=e'-x2-l,則g'(x)=ex-2x.

令h(x)=e、-2x,則h'(x)=ex-2,

當0<x<ln2時,h，(x)<0,h(x)單調遞減，

當x>ln2時,h，(x)>0,h(x)單調遞增,

所以h(x)2h(ln2)=eln2-21n2=2-21n2>0,即g，(x)>0恒成立.

所以g(x)在(0,+oo)上單調遞增，

所以g(x)>g(0)=l-0-l=0,所以ex-x2-l>0,

即當x>0時,f(x)>x?-3x+l恒成立.

11.解析⑴由題可得,F(x)=xeR

貝!JF'(x)=(x+l)ex-1,

當x￡(-oo,-l)時,F(x)<0,F(x)單調遞減;當x￡(-l,+oo)時,F(x)>0,F(x)單

調遞增，

.,.當x=-l時,F(x)取得極小值也是最小值，且最小值為F(-l)=-e2.

(2)證明:由題可得,f(x)=ex-1,F(x)=ex-1,

曲線y=f(x)在點⑺聲點處的切線方程為y=em-|x+(l-rn)em-1.

1

:g(x)=lnx+b,/.g'(x)=-,

曲線y=g(x)在點(n,lnn+b)處的切線方程為y=，x+lnn+b-1.

第11頁共15頁

人fe"i=

令1n

l(l-m)em_1=Inn+b-1,

則(m-1把"*1"-m+b=O.

令h(m)=(m-l)eml-m+b,

貝1Jh'(m)=mem_1-l,

由⑴得當m<-l時,h〈m)單調遞減，且h'(m)<0,

又h'(l)=O,m<l時,h，(m)<0,

.,.當m<l時,h'(m)<O,h(m)單調遞減；

當m>l時,h'(m)〉O,h(m)單調遞增.

易得h(b-1)=(b-2)eb-2+l>--+1>0,

e

又h(3-b)=(2-b)e2-b+2b-3>(2-b)(3-b)+2b-3=(h-|了+|>0,

11(1)=，1<0,，函數蟲01)在(，1,1)和(1,34)內各有一個零點,

當a=e-1,b<l時，總存在兩條直線和曲線y=f(x)與y=g(x)都相切.

(3)證明:f(x)>x[g(x)-b]=(--lnx〉0.

令G(x)=--Inx(x>0),以下證明當a>4時,G(x)的最小值大于0.

求導得6(刈=寫過]

_a(x-l)ex-x

①當0<xWl時G(x)<0,G(x)2G(l)=ae>0;

②當x>l時，

G'(x)=a#i)\ex-x

x2a(x-Y)y

令H(x)=ex-—^―,

uQX-1)

1

H'(x尸ex+許>0,

第12頁共15頁

H(2尸e2-2=空文>0,取1￡(1,2)且使七*2,即

aaa(t-l)ae2-l

貝！JH(t)=el-<e2-e2=0,

a(t-l)

,/H(t)H(2)<0,H(x)存在唯一零點xoe(1,2),

即G(x)有唯一的極值點且為極小值點x()￡(l,2),又G(xo)=竺上-Inx0,

x0

且H(xo)=ex0--^-=O,

Q(%oj)

即e%。一^,

a(x0-l)

G(x())=^--InXo,

%0-l

11

???G'(xo)=-zV。，

xo

...G(xo)是(1,2)上的減函數.

工G(xo)>G(2)=1-ln2>0,G(x)>0.

綜上，當a■時,f(x)>x[g(x)-b].

12.解析⑴函數f(x)的定義域為(0,+oo),

?、1ax+1八

f(x)=a+-=----,x>0.

XX

當a20時，f(x)>0,所以f(x)在(0,+oo)上單調遞增；

當a<0時，由ax+l=0得x=--,

則函數f(x)在(0,—J上單調遞增，在(4+8)上單調遞減.

綜上所述，當a20時,f(x)在(0,+oo)上單調遞增;當a<0時,f(x)在(0,-：

上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減.

⑵當a=l時,f(x)=x+lnx.設g(x)=xe'+l-f(x)=xeX-x-lnx+l(x>0),

則由題意可知當x>0時,g(x)>m恒成立，即g(x)min>m恒成立.

1

gf(x)=(x4-l)ex-l--

_(x+l)(xex-l)

x

第13頁共15頁

設h(x)=x