第二章2.32.3.2一、選擇題1．若|a|＝3，|b|＝eq\r(3)，且a與b的夾角為eq\f(π,6)，則|a＋b|＝()導(dǎo)學(xué)號34340727A．3 B．eq\r(3)C．21 D．eq\r(21)[答案]D[解析]∵|a|＝3，|b|＝eq\r(3)，a與b的夾角為eq\f(π,6)，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×3×eq\r(3)×coseq\f(π,6)＋3＝9＋2×3×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋3＝21，∴|a＋b|＝eq\r(21).2．(2015·山東臨沂高一期末測試)若向量a、b滿足|a|＝|b|＝1，且a·(a－b)＝eq\f(1,2)，則向量a與b的夾角為()導(dǎo)學(xué)號34340728A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[答案]B[解析]設(shè)向量a與b的夾角為θ，∵a·(a－b)＝a2－a·b＝eq\f(1,2)，∴1－1×1×cosθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(1,2)，∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,3).3．設(shè)a、b、c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2等于()導(dǎo)學(xué)號34340729A．1 B．2C．4 D．5[答案]D[解析]∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＝5，故選4．已知兩個非零向量a、b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()導(dǎo)學(xué)號34340730A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b[答案]B[解析]本題考查向量的運算．由題意知|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b－b∴a·b＝0，∴a⊥b.注意：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b25．下列各式中正確命題的個數(shù)為()導(dǎo)學(xué)號34340731①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)；②|a·b|＝|a|·|b|；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；④(a·b)·c＝a·(b·c)．A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①、③正確，②、④錯誤．6．(2015·重慶理，6)若非零向量a、b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()導(dǎo)學(xué)號34340732A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．π[答案]A[解析]設(shè)a與b的夾角為θ，根據(jù)題意可知，(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，所以3|a|2－a·b－2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，再由|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|得eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,4).二、填空題7．設(shè)a、b、c是單位向量，且a－b＝c，則向量a與b的夾角等于________．導(dǎo)學(xué)號34340733[答案]eq\f(π,3)[解析]∵a、b、c是單位向量，∴|a|＝|b|＝|c|＝1.∵a－b＝c，∴|a－b|＝|c|＝1，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2∴1－2×1×1×cos〈a，b〉＋1＝1，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2).又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3)8．已知兩個單位向量e1、e2的夾角為120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，則a·b＝________.導(dǎo)學(xué)號34340734[答案]0[解析]∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1與e2的夾角為120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4eeq\o\al(2,1)＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－eq\f(1,2))＝0.三、解答題9．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求實數(shù)m的值．導(dǎo)學(xué)號343407[解析]a·b＝|a||b|cos60°＝1.因為c⊥d，所以c·d＝0，即(2a－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－310．已知a、b滿足|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(13)，求a＋b與a－b的夾角θ的余弦值．導(dǎo)學(xué)號34340736[解析]由已知|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(13)，∴(a＋b)2＝13.即a2＋2a·b＋b2∴2a·b∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·即|a－b|＝1，故cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝－eq\f(\r(13),13).一、選擇題1．若O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀為()導(dǎo)學(xué)號34340737A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．以上都不對[答案]C[解析]由(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0得eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0又∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0即|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC為等腰三角形．2．(2014·全國大綱理，4)若向量a、b滿足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|導(dǎo)學(xué)號34340738A．2 B．eq\r(2)C．1 D．eq\f(\r(2),2)[答案]B[解析]本題考查了平面向量的數(shù)量積的運算，由已知(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b·b＝0，(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0,2a·b＋|b|2＝0，又|a|＝1所以|b|＝eq\r(2).3．(2015·陜西理，7)對任意向量a、b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()導(dǎo)學(xué)號34340739A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2[答案]B[解析]A項，|a·b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a||b|cosα))(α為a、b夾角)，因為cosα≤1，所以|a·b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a||b|cosα))≤|a||b|，故A項不符合題意；B項，兩邊平方得a2＋b2－2a·b≤a2＋b2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b＝|a||b|cosα(α為a、b夾角)，當α不為0時，此式不成立，應(yīng)該為|a||b|≥a·b，故B項符合題意；C項，由向量的運算性質(zhì)可知，(a＋b)2＝|a＋b|2恒成立，故C項不符合題意；D項，由向量的數(shù)量積運算可知，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2恒成立，故D項不符合題意．故選B．4．已知|a|＝|b|＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則k等于()導(dǎo)學(xué)號343407A．－6 B．6C．3 D．－3[答案]B[解析](2a＋3b)·(ka－4b)2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴2k－12＝0，k＝6.二、填空題5．已知向量a、b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.導(dǎo)學(xué)號34340741[答案]3eq\r(2)[解析]∵|2a－b|＝eq\r(4a2＋b2－4a·b)＝eq\r(10)，|a|＝1，∴4＋b2－4×1×|b|·cos45°＝10.即|b|2－2eq\r(2)|b|－6＝0.∴|b|＝3eq\r(2)，或|b|＝－eq\r(2)(舍去)．6．關(guān)于平面向量a、b、c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3.③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為________．(寫出所有真命題的序號)導(dǎo)學(xué)號34340742[答案]②[解析]①a·b＝a·c時，a·(b－c)＝0，∴a⊥(b－c)不一定有b＝c，∴①錯．②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，故②對．也可以由a∥b，∴存在實數(shù)λ，使a＝λb，即(1，k)＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝1,6λ＝k))，∴k＝－3.③非零向量a、b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則三向量a、b、a－b構(gòu)成正三角形如圖．由向量加法的平行四邊形法則知，a＋b平分∠BAC，∴a＋b與a夾角為30°，③錯．三、解答題7．已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝a＋2b，d＝ma－6b(m∈R)．若c∥d，求|c＋d|.導(dǎo)學(xué)號34340743[解析]∵c∥d，∴存在惟一實數(shù)λ使得c＝λd，即a＋2b＝λ(ma－6b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λm＝1,－6λ＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3),m＝－3)).∴d＝－3a－6b，∴c＋d＝－2a－4b，∴|c＋d|2＝|－2a－4b|2＝|2a＋4b|2＝4a2＋16a·b＋16b2＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148，∴|c＋d|＝2eq\r(37).8．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2).導(dǎo)學(xué)號34340744(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夾角為60°，求|a＋b|；(3)若a－b與a垂直，求a與b的夾角．[解析](1)當<a，b>＝0°時，a·b＝eq\r(2)，當<a，b>＝180°時，a·b＝－eq\r(2).(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋eq\r(2)，|a＋b|＝eq\r(3＋\r(2)).(3)由(a－b)·a＝0得a2＝a·b，cos<a，b>＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(2),2)，<a，b>＝45°.9．(2015·山東濰坊高一期末測試)已知向量|a|＝1，|b|＝2.導(dǎo)學(xué)號34340745(1)若a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋2b|；(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a與b[解析](1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b＝1＋4×1×2×coseq\f(π,3)＋4×4＝1＋4＋16＝21，∴|a＋2b|＝eq\r(21).(2)∵(2a－b)·(3a＋b∴6a2－3a·b＋2a·b－∴6a2－a·b－b2∴6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3，∴cos〈a