解直角三角形一.選擇題 1,（2015威海,第2題4分） 【答案】D 【解析】根據三角函數的定義，邊AC=BCtan26其按鍵順序正確的是 【備考指導】 本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是利用三角函數的知識解直角三角形，求解相關線段的長度，難度一般． 2．（2015·湖南省衡陽市，第12題3分）如圖，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測角儀CD，測得電視塔 頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進100米到達F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB（單位：米）為（）． A．B．51C．D．101 3.（2015?浙江濱州,第12題3分）如圖,在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數、的圖象交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為() A.逐漸變小 B.逐漸變大 C.時大時小 D.保持不變 【答案】D 考點：反比例函數，三角形相似，解直角三角形 5.（2015?綿陽第10題，3分）如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為（） A． （11﹣2）米 B． （11﹣2）米 C． （11﹣2）米 D． （11﹣4）米 考點： 解直角三角形的應用．.分析： 出現有直角的四邊形時，應構造相應的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相減即可求得BC長．解答： 解：如圖，延長OD，BC交于點P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC?cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．故選：D．點評： 本題通過構造相似三角形，綜合考查了相似三角形的性質，直角三角形的性質，銳角三角函數的概念．6.（2015?山東日照，第10題4分）如圖，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=BD，連接AC，若tanB=，則tan∠CAD的值（） A． B． C． D． 考點： 解直角三角形．.分析： 延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，由tanB=，即=，設AD=5x，則AB=3x，然后可證明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的對應邊成比例可得：，進而可得CE=x，DE=，從而可求tan∠CAD==．解答： 解：如圖，延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，即=，∴設AD=5x，則AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故選D．點評： 本題考查了銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質以及直角三角形的性質，是基礎知識要熟練掌握，解題的關鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中．7.（2015?山東聊城,第10題3分）湖南路大橋于今年5月1日竣工，為徒駭河景區增添了一道亮麗的風景線．某校數學興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度，在距橋塔AB底部50米的C處，測得橋塔頂部A的仰角為41.5°（如圖）．已知測量儀器CD的高度為1米，則橋塔AB的高度約為（） A． 34米 B． 38米 C． 45米 D． 50米 考點： 解直角三角形的應用－仰角俯角問題．.分析： Rt△ADE中利用三角函數即可求得AE的長，則AB的長度即可求解．解答： 解：過D作DE⊥AB于E，∴DE=BC=50米，在Rt△ADE中，AE=DE?tan41，5°≈50×0.88=44（米），∵CD=1米，∴BE=1米，∴AB=AE+BE=44+1=45（米），∴橋塔AB的高度為45米．點評： 本題考查仰角的定義，注意能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用． 8（2015山東濟寧，9，3分）如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1:2，AC=米，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連，若AB=10米，則旗桿BC的高度為() A.5米B.6米C.8米D.米 【答案】A 考點：解直角三角形 二.填空題 1.（2015?浙江濱州,第14題4分）如圖，菱形ABCD的邊長為15，sin∠BAC=，則對角線AC的長為. 【答案】24 考點：菱形的性質，解直角三角形 2.（2015?綿陽第18題，3分）如圖，在等邊△ABC內有一點D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點逆時針旋轉，使AB與AC重合，點D旋轉至點E，則∠CDE的正切值為3． 考點： 旋轉的性質；等邊三角形的性質；解直角三角形．.專題： 計算題．分析： 先根據等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判斷△ADE為等邊三角形，得到DE=AD=5；過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，再計算出EH，然后根據正切的定義求解．解答： 解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD繞A點逆時針旋轉得△ACE，∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，∴△ADE為等邊三角形，∴DE=AD=5，過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4﹣x，在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，在Rt△DHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，∴EH==，在Rt△EDH中，tan∠HDE===3，即∠CDE的正切值為3．故答案為：3．點評： 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質和解直角三角形． 3．（2015?廣東廣州,第15題3分）如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE．若BE=9，BC=12，則cosC=． 考點： 線段垂直平分線的性質；解直角三角形．分析： 根據線段垂直平分線的性質，可得出CE=BE，再根據等腰三角形的性質可得出CD=BD，從而得出CD：CE，即為cosC．解答： 解：∵DE是BC的垂直平分線，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案為．點評： 本題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用． 4.（2015?四川省內江市，第22題，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC=6． 考點： 含30度角的直角三角形；勾股定理．.分析： 由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長．解答： 解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案為：6．°點評： 此題考查了含30°直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵． 5.（2015?山東東營,第14題3分）4月26日，2015黃河口（東營）國際馬拉松比賽拉開帷幕，中央電視臺體育頻道用直升機航拍技術全程直播．如圖，在直升機的鏡頭下，觀測馬拉松景觀大道A處的俯角為，B處的俯角為．如果此時直升機鏡頭C處的高度CD為200米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是米． 【答案】200(+1) 【解析】 試題分析：∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=30°，∠B=45°，∴AD=CD=200，BD=CD=200，∴AB=AD+BD=200(+1)（米）； 考點：解直角三角形的應用. 6.（2015湖南邵陽第17題3分）如圖，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山頂B，如果AB=2000米，則他實際上升了1000米． 考點： 解直角三角形的應用－坡度坡角問題．.分析： 過點B作BC⊥水平面于點C，在Rt△ABC中，根據AB=200米，∠A=30°，求出BC的長度即可．解答： 解：過點B作BC⊥水平面于點C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×=1000．故答案為：1000．點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據坡角構造直角三角形，利用三角函數的知識進行求解．7.（2015湖北荊州第15題3分）15．如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達C處，再測得山頂A的仰角為45°，那么山高AD為137米（結果保留整數，測角儀忽略不計，≈1.414，，1.732） 考點： 解直角三角形的應用－仰角俯角問題． 專題： 計算題． 分析： 根據仰角和俯角的定義得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，設AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，則BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再進行近似計算即可． 解答： 解：如圖，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m設AD=xm， 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=， ∴x=（x+100）， ∴x=50（+1）≈137， 即山高AD為137米． 故答案為137． 點評： 本題考查了解直角三角形﹣的應用﹣仰角俯角：解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決． 8．(2015?江蘇南昌,第13題3分)如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm,∠CBD=40°,則點B到CD的距離為cm(參考數據：sin20°≈0.342,com20°≈0.940,sin40°≈0.643,com40°≈0.766.精確到0.1cm 答案：解析：如右圖，作BE⊥CD于點E. ∵BC=BD,BE⊥CD,∴∠CBE=∠DBE=20°, 在Rt△BCD中，∴， ∴BE≈15×0.940=14.1 9．(2015?江蘇南昌,第14題3分)如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO,P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°,則當△PAB為直角三角形時，AP的長為. 答案：解析：如圖，分三種情況討論： 圖(1)中，∠APB=90°， ∵AO=BO,∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°,∴△APO是等邊三角形， ∴AP=2； 圖(2)中，∠APB=90°， ∵AO=BO,∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°,∴∠BAP=30°, 在Rt△ABP中，AP=cos30°×4=. 圖(3)中，∠ABP=90°,∵BO=AO=2,∠BOP=∠AOC=60°, ∴PB=,∴AP= ∴AP的長為2，或 10.（2015?浙江金華，第16題4分）圖1是一張可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖，此時，點A，B，C在同一直線上，且∠ACD=90°.圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過程中，ΔACD變形為四邊形，最后折疊形成一條線段. （1）小床這樣設計應用的數學原理是▲ （2）若AB：BC=1：4，則tan∠CAD的值是▲ 【答案】（1）三角形的穩定性和四邊形的不穩定性；（2）. 【考點】線動旋轉問題；三角形的穩定性；旋轉的性質；勾股定理；銳角三角函數定義. 【分析】（1）在折疊過程中，由穩定的ΔACD變形為不穩定四邊形，最后折疊形成一條線段，小床這樣設計應用的數學原理是：三角形的穩定性和四邊形的不穩定性。 （2）∵AB：BC=1：4，∴設，則. 由旋轉的性質知， ∴. 在中，根據勾股定理得， ∴. ∴. 11.（2015?浙江寧波，第16題4分）如圖，在數學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿AB的高度，站在教學樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45°，測得旗桿頂端A的仰角為30°，若旗桿與教學樓的距離為9m，則旗桿AB的高度是▲m（結果保留根號） 【答案】+9. 【考點】解直角三角形的應用（仰角俯角問題）；銳角三角函數定義；特殊角的三角函數值. 【分析】根據在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根據在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根據AB=AD+BD，即可求出答案： 在Rt△ACD中，∵，∴. 在Rt△BCD中，∵，∴. ∴AB=AD+BD=+9（m）. 12.（2015山東省德州市，16，4分）如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°.則旗桿的高度約為m.（結果精確到0.1m,參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， 【答案】7.2 考點：解直角三角形 13.（2015呼和浩特，19，6分）(6分)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為65°，熱氣球與高樓的水平距離AD為120m考點分析：銳角三角函數解直角三角形建模能力 解析： 什么是建模能力？因為這類題目是應用題，即用數學手段來解決實際問題。三角函數是一種數學思想，等到高中階段會有更多的題型及更多的變化。目前此類題目的核心，是共直角邊、或者部分共直角邊，要嘛就是等直角邊，反正是以直角邊為媒介來構建等量關系。本題的核心是共直角邊，即共線段AD。還要注意，是應用題最后要有答。 對于實際問題而言，首先是將實際問題數量化，你現在理解為建模就可以。本題中就是給出解得第一行敘述（在《2016年呼和浩特中考數學砍題指南》中會有比較詳細的敘述，如果你有興趣的話可以期待一下。） 另外，有個習慣希望同學們可以按照的方式來，因為你們初學三角函數，所以建議你們先按照三角函數原始定義列出三角函數值等于兩個邊的比值后，再進行等號兩邊的乘除變化，這樣不容易出錯。 解： 依據題意有：AD⊥BC,∠BAD=30°，∠CAD=65°，AD=120m∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD中，∵tan30°=EQ\F(BD,AD)，∴BD=AD·tan30°=120×EQ\F(eq\r(\s\do1(),3),3)=40eq\r(\s\do1(),3) 在Rt△ACD中，∵tan65°=EQ\F(CD,AD)，∴CD=120·tan65° ∴BC=BD+CD=40eq\r(\s\do1(),3)+120·tan65° 答：這棟高樓的高度為（40eq\r(\s\do1(),3)+120·tan65°）米 注意：上述類型題目在《考前重點突破》中有完整的解法。 14.（2015?山東臨沂,第22題7分） 小強從自己家的陽臺上，看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，小強家與這棟樓的水平距離為42m 【答案】56m∴BD=AD·tanα=42×tan30° =42×=14. CD＝ADtanβ＝42×tan60° ＝42. ∴BC＝BD＋CD＝14＋42 ＝56(m). 因此，這棟樓高為56m考點：解直角三角形 15.（2015遼寧大連，15，3分）如圖，從一個建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32°，底部C的俯角為45°，觀測點與樓的水平距離AD為31cm，則樓BC的高度約為_______m(結果取整數）。（參考數據：sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan （第15題） 【答案】50 【解析】解：BC=BD+CD=AD×tan32°+AD×tan45°≈31×0.6+31×1=49.6≈50，故答案為50m 16.（2015山東菏澤，16，6分）（1）如圖，M、N為山兩側的兩個村莊，為了兩村交通方便，根據國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞．工程人員為了計算工程量，必須計算M、N兩點之間的直線距離，選擇測量點A、B、C，點B、C分別在AM、AN上，現測得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N兩點之間的直線距離． 17．（2015?廣東梅州,第20題，9分）如圖，已知△ABC．按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；③連結BD，與AC交于點E，連結AD，CD． （1）求證：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長． 考點：全等三角形的判定與性質；作圖—復雜作圖．. 分析：（1）利用SSS定理證得結論； （2）設BE=x，利用特殊角的三角函數易得AE的長，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的長． 解答：（1）證明：在△ABC與△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； （2）解：設BE=x， ∵∠BAC=30°， ∴∠ABE=60°， ∴AE=tan60°?x=x， ∵△ABC≌△ADC， ∴CB=CD，∠BCA=∠DCA， ∵∠BCA=45°， ∴∠BCA=∠DCA=90°， ∴∠CBD=∠CDB=45°， ∴CE=BE=x， ∴x+x=4， ∴x=2﹣2， ∴BE=2﹣2． 點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質，特殊角的三角函數，利用方程思想，綜合運用全等三角形的性質和判定定理是解答此題的關鍵． 18．（2015?安徽省,第18題，8分）如圖，平臺AB高為12m，在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，底部點C的俯角為30°，求樓房CD的高度(eq\r(3)＝1.7)． ABCDABCD30°45°第18題圖考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．. 分析：首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應利用其公共邊構造關系式求解． 解答：解：如圖，過點B作BE⊥CD于點E， 根據題意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四邊形ABEC為矩形． ∴CE=AB=12m在Rt△CBE中，cot∠CBE=， ∴BE=CE?cot30°=12×=12． 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=12． ∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4． 答：樓房CD的高度約為32.4m 點評：考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，本題要求學生借助俯角構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形． 19．（2015?山東濰坊第16題3分）觀光塔是濰坊市區的標志性建筑，為測量其高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°．已知樓房高AB約是45m，根據以上觀測數據可求觀光塔的高CD是135m 考點： 解直角三角形的應用－仰角俯角問題．.分析： 根據“爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°”可以求出AD的長，然后根據“在一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°”可以求出CD的長．解答： 解：∵爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，tan30°=，解得，=，∴AD=45，∵在一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD=AD?tan60°=45×=135米．故答案為135米．點評： 本題考查了解直角三角形的應用﹣﹣仰角、俯角問題，要求學生能借助仰角、俯角構造直角三角形并解直角三角形． 三解答題 1.（2015?四川廣安，第23題8分）數學活動課上，老師和學生一起去測量學校升旗臺上旗桿AB的高度，如圖，老師測得升旗臺前斜坡FC的坡比為iFC=1：10（即EF：CE=1：10），學生小明站在離升旗臺水平距離為35m（即CE=35m）處的C點，測得旗桿頂端B的仰角為α，已知tanα=，升旗臺高AF=1m，小明身高CD=1.6m 考點： 解直角三角形的應用－仰角俯角問題．.分析： 首先根據題意分析圖形，本題涉及到兩個直角三角形，分別解可得BG與EF的大小，進而求得BE、AE的大小，再利用AB=BE﹣AE可求出答案．解答： 解：作DG⊥AE于G，則∠BDG=α，易知四邊形DCEG為矩形．∴DG=CE=35m，EG=DC=在直角三角形BDG中，BG=DG?×tanα=35×=15m，∴BE=15+1.6=16.6m∵斜坡FC的坡比為iFC=1：10，CE=35m∴EF=35×=3.5，∵AF=1，∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5，∴AB=BE﹣AE=16.6﹣4.5=12.1m答：旗桿AB的高度為12.1m點評： 本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角形并結合圖形利用三角函數解直角三角形．2.（2015?四川甘孜、阿壩，第18題7分）如圖，某中學九年級數學興趣小組測量校內旗桿AB的高度，在C點測得旗桿頂端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到達D點，在D點測得旗桿頂端A的仰角∠BDA=60°，求旗桿AB的高度．（結果保留根號） 考點： 解直角三角形的應用－仰角俯角問題．.分析： 根據題意得∠C=30°，∠ADB=60°，從而得到∠DAC=30°，進而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的長即可．解答： 解：∵∠C=30°，∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=CD，∵CD=20米，∴AD=20米，在Rt△ADB中，=sin∠ADB，∴AB=AD×sin60°=20×=10米．點評： 此題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關系求解．3．(2015·深圳，第20題分)小麗為了測旗桿AB的高度，小麗眼睛距地圖1.5米，小麗站在C點，測出旗桿A的仰角為30o，小麗向前走了10米到達點E，此時的仰角為60o，求旗桿的高度。 【解析】 4．(2015·貴州六盤水，第25題12分)如圖13，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝45°． （1）（4分）用尺規作圖，：在CA的延長線上截取AD＝AB，并連接 BD（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）（4分）求∠BDC的度數． （3）（4分）定義：在直角三角形中，一個銳角A的鄰邊與對邊的比叫 做∠A的余切，記作cotA，即，根據定義，利 用圖形求cot22.5°的值． 考點：作圖—復雜作圖；解直角三角形．. 專題：新定義． 分析：（1）以點A為圓心，AB為半徑作弧交CA的延長線于D，然后連結BD； （2）根據等腰三角形的性質，由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形外角性質可求出∠ADB=22.5°； （3）設AC=x，根據題意得△ACB為等腰直角三角形，則BC=AC=x，AB=AC=x，所以AD=AB=x，CD=（+1）x，然后在Rt△BCD中，根據余切的定義求解． 解答：解：（1）如圖， （2）∵AD=AB， ∴∠ADB=∠ABD， 而∠BAC=∠ADB+∠ABD， ∴∠ADB=∠BAC=×45°=22.5°， 即∠BDC的度數為22.5°； （3）設AC=x， ∵∠C=90°，∠BAC=45°， ∴△ACB為等腰直角三角形， ∴BC=AC=x，AB=AC=x， ∴AD=AB=x， ∴CD=x+x=（+1）x， 在Rt△BCD中，cot∠BDC===+1， 即cot22.5°=+1． 點評：本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法；解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了解直角三角形． 5．(2015·河南，第20題9分)如圖所示，某數學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D出測得大樹頂端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°，求大樹的高度.（結果保留整數，參考數據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73） FD第20題FD第20題30°48°EACB[【分析】通過觀察圖形，要求大樹的高度，需要構造直角三角形，將所求線段聯系起來.結合題目中的信息，即要延長BD交AE于點G，并過點D作DH⊥AE于點H，分別在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的長即可求解. 解： 第20題解圖 6.（2015?四川瀘州,第22題8分）如圖，海中一小島上有一個觀測點A，某天上午9：00觀測到某漁船在觀測點A的西南方向上的B處跟蹤魚群由南向北勻速航行。當天上午9：30觀測到該漁船在觀測點A的北偏西60°方向上的C處。若該漁船的速度為每小時30海里，在此航行過程中，問該漁船從B處開始航行多少小時，離觀測點A的距離最近?(計算結果用根號表示，不取近似值)。 考點：解直角三角形的應用－方向角問題．. 分析：首先根據題意可得PC⊥AB，然后設PC=x海里，分別在Rt△APC中與Rt△APB中，利用正切函數求得出PC與BP的長，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再計算出BP，然后根據時間=路程÷速度即可求解． 解答：解：過點A作AP⊥BC，垂足為P，設AP=x海里． 在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，∴tan∠PAC=，∴CP=AP?tan∠PAC=x． 在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，∴BP=AP=x． ∵PC+BP=BC=30×，∴x+x=15，解得x=， ∴PB=x=， ∴航行時間：÷30=（小時）． 答：該漁船從B處開始航行小時，離觀測點A的距離最近． 點評：此題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，銳角三角函數的定義，準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，注意數形結合思想的應用． 7.（2015?四川涼山州,第20題8分）如圖，在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處經過樹頂E點恰好看到塔的底部D點，且俯角α為45°．從距離樓底B點1米的P點處經過樹頂E點恰好看到塔的頂部C點，且仰角β為30°．已知樹高EF=6米，求塔CD的高度．（結果保留根號） 【答案】． 【解析】 試題分析：根據題意求出∠BAD=∠ADB=45°，進而根據等腰直角三角形的性質求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函數值分別求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，繼而可求出CG的長度． 試題解析：由題意可知∠BAD=∠ADB=45°，∴FD=EF=6米，在Rt△PEH中，∵tanβ=，∴BF=，∴PG=BD=BF+FD=，在RT△PCG中，∵tanβ=，∴CG=，∴CD=（）米． 考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題． 8.（2015?四川成都,第17題8分） 如圖，登山纜車從點A出發，途經點B后到達終點C.其中AB段與BC段的運行路程均為200m，且AB段的運行路線與水平面的夾角為30°，BC段的運行路線與水平面的夾角為42°，求纜車從點A運行到點C的垂直上升的距離.（參考數據：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan【答案】：234m 【解析】：如圖所示，纜車從點A運行到點C的垂直上升的距離為， 又∵和均為直角三角形， ∴ 9.（2015?四川眉山，第22題8分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個碼頭，A在B的正東方向，一艘小船從A碼頭沿它的北偏西60°的方向行駛了20海里到達點P處，此時從B碼頭測得小船在它的北偏東45°的方向．求此時小船到B碼頭的距離（即BP的長）和A、B兩個碼頭間的距離（結果都保留根號）． 考點： 解直角三角形的應用－方向角問題．.分析： 過P作PM⊥AB于M，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM，即可求出BM、BP．解答： 解：如圖：過P作PM⊥AB于M，則∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM=AP=10海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，AB=20海里，∴BP==10海里，即小船到B碼頭的距離是10海里，A、B兩個碼頭間的距離是20海里點評： 本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性質的應用，能正確解直角三角形是解此題的關鍵，難度適中． 10.（2015?四川省內江市，第20題，9分）我市準備在相距2千米的M，N兩工廠間修一條筆直的公路，但在M地北偏東45°方向、N地北偏西60°方向的P處，有一個半徑為0.6千米的住宅小區（如圖），問修筑公路時，這個小區是否有居民需要搬遷？（參考數據：≈1.41，≈1.73） 考點： 解直角三角形的應用－方向角問題．.分析： 根據題意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬遷看P點到MN的距離與0.6的大小關系，若距離大于0.6千米則不需搬遷，反之則需搬遷，因此求P點到MN的距離，作PD⊥MN于D點．解答： 解：過點P作PD⊥MN于D∴MD=PD?cot45°=PD，ND=PD?cot30°=PD，∵MD+ND=MN=2，即PD+PD=2，∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．答：修的公路不會穿越住宅小區，故該小區居民不需搬遷．點評： 考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）． 11.（2015?四川省宜賓市，第21題，8分）(注意：在試題卷上作答無效) E如圖，某市對位于筆直公路AC上兩個小區A、B的供水路線進行優化改造，供水站M在筆直公路AD上，測得供水站M在小區A的南偏東60°方向，在小區B的西南方向，小區A、B之間的距離為300(eq\r(\s\do1(),3)+1)米，求供水站M分別到小區A、B的距離。（結果可保留根號） E 12.（2015?浙江省紹興市，第20題，8分）如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ，測得桿頂端點P的仰角是45°，向前走6m到達B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q（1）求∠BPQ的度數； （2）求該電線桿PQ的高度（結果精確到1m備用數據：， 考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．. 分析：（1）延長PQ交直線AB于點E，根據直角三角形兩銳角互余求得即可； 92）設PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根據三角函數利用x表示出AE和BE，根據AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函數求得QE的長，則PQ的長度即可求解． 解答：解：延長PQ交直線AB于點E， （1）∠BPQ=90°﹣60°=30°； （2）設PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 則AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，BE=PE=x米， ∵AB=AE﹣BE=6米， 則x﹣x=6， 解得：x=9+3． 則BE=（3+3）米． 在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米． ∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣（3+）=6+2≈9（米）． 答：電線桿PQ的高度約9米． 點評：本題考查了仰角的定義，以及三角函數，正確求得PE的長度是關鍵． 13.（2015?浙江省臺州市，第19題）如圖，這是一把可調節座椅的側面示意圖，已知頭枕上的點到調節器點O處的距離為80cm,AO與地面垂直，現調整靠背，把OA繞點O旋轉35°到OA’處，求調整后點A’比調整前點A的高度降低了多少cm（參考數據：sin35°0.57，cos35°0.82，tan35°0.70） 14.（2015?浙江嘉興，第22題12分）小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適（如圖1），側面示意圖為圖2；使用時為了散熱，她在底板下面墊入散熱架ACO＇后，電腦轉到AO＇B＇位置（如圖3），側面示意圖為圖4.已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于點C，O＇C=12（1）求∠CAO＇的度數. （2）顯示屏的頂部B＇比原來升高了多少？ （3）如圖4，墊入散熱架后，要使顯示屏O＇B＇與水平線的夾角仍保持120°，則顯示屏O＇B＇應繞點O＇按順時針方向旋轉多少度？ 考點：解直角三角形的應用；旋轉的性質．. 分析：（1）通過解直角三角形即可得到結果； （2）過點B作BD⊥AO交AO的延長線于D，通過解直角三角形求得BD=OB?sin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三點共線可得結果； （3）顯示屏O′B′應繞點O′按順時針方向旋轉30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是顯示屏O′B′應繞點O′按順時針方向旋轉30°． 解答：解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）過點B作BD⊥AO交AO的延長線于D， ∵sin∠BOD=， ∴BD=OB?sin∠BOD， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOD=60°， ∴BD=OB?sin∠BOD=24×=12， ∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°， ∴∠AO′C=60°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠AO′B′+∠AO′C=180°， ∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=3﹣12， ∴顯示屏的頂部B′比原來升高了（36﹣12）cm； （3）顯示屏O′B′應繞點O′按順時針方向旋轉30°， 理由；∵顯示屏O′B與水平線的夾角仍保持120°， ∴∠EO′F=120°， ∴∠FO′A=∠CAO′=30°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠EO′B′=∠FO′A=30°， ∴顯示屏O′B′應繞點O′按順時針方向旋轉30°． 點評：本題考查了解直角三角形的應用，旋轉的性質，正確的畫出圖形是解題的關鍵． 15．（2015?四川資陽,第20題8分）北京時間2015年04月25日14時11分，尼泊爾發生8.1級強烈地震，我國積極組織搶險隊赴地震災區參與搶險工作．如圖9，某探測隊在地面A、B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角分別是25°和60°，且AB=4米，求該生命跡象所在位置C的深度．（結果精確到1米．參考數據：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7） 考點：解直角三角形的應用．. 分析：過C點作AB的垂線交AB的延長線于點D，通過解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用銳角三角函數的定義即可求出CD的值． 解答：解：作CD⊥AB交AB延長線于D，設CD=x米． Rt△ADC中，∠DAC=25°， 所以tan25°==0.5， 所以AD==2x． Rt△BDC中，∠DBC=60°， 由tan60°==， 解得：x≈3米． 所以生命跡象所在位置C的深度約為3米． 點評：本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵． 16．（2015?四川自貢,第18題8分）如圖所示，我市某中學課外活動小組的同學利用所學 知識去測釜溪河沙灣段的寬度.小宇同學在處觀測對岸 點，測得,小英同學在處50米遠的處 測得,請你根據這些數據算出河寬. （精確到0.01米，） 考點：直角三角形的性質、三角函數、方程思想、分母有理化等. 分析：本題所求得如圖所示的河寬，若直接放在一個三角形求缺少條件，但表示河寬的同時是△和△的公共邊，利用△和△的特殊角關系可以轉移到邊來求，通過米建立方程可獲得解決. 略解： 過點作于,設米. 在△中： 在△中： ∴解得： 答：河寬為67.30米. 17．（2015?廣東佛山,第20題6分）如圖，在水平地面上豎立著一面墻AB，墻外有一盞路燈D．光線DC恰好通過墻的最高點B，且與地面形成37°角．墻在燈光下的影子為線段AC，并測得AC=5.5米． （1）求墻AB的高度（結果精確到0.1米）；（參考數據：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （2）如果要縮短影子AC的長度，同時不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方法． 考點： 解直角三角形的應用．分析： （1）由AC=5.5，∠C=37°根據正切的概念求出AB的長；（2）從邊和角的角度進行分析即可．解答： 解：（1）在Rt△ABC中，AC=5.5，∠C=37°，tanC=，∴AB=AC?tanC=5.5×0.75≈4.1；（2）要縮短影子AC的長度，增大∠C的度數即可，即第一種方法：增加路燈D的高度，第二種方法：使路燈D向墻靠近．點評： 本題考查的是解直角三角形的知識，正確理解銳角三角函數的概念是解題的關鍵，注意在直角三角形中，邊角之間的關系的運用． 18．（2015?甘肅武威,第22題6分）如圖①所示，將直尺擺放在三角板上，使直尺與三角板的邊分別交于點D，E，F，G，已知∠CGD=42° （1）求∠CEF的度數； （2）將直尺向下平移，使直尺的邊緣通過三角板的頂點B，交AC邊于點H，如圖②所示，點H，B在直尺上的度數分別為4，13.4，求BC的長（結果保留兩位小數）． （參考數據：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 考點： 解直角三角形．分析： （1）先根據直角三角形的兩銳角互為求出∠CDG的度數，再根據兩直線平行，同位角相等求出∠DEF，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可求出∠EFA；（2）根據度數求出HB的長度，再根據∠CBH=∠CGD=42°，利用42°的余弦值進求解．解答： 解：（1）∵∠CGD=42°，∠C=90°，∴∠CDG=90°﹣42°=48°，∵DG∥EF，∴∠CEF=∠CDG=48°；（2）∵點H，B的讀數分別為4，13.4，∴HB=13.4﹣4=9.4（m），∴BC=HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96（m）．答：BC的長為6.96m點評： 本題考查了解直角三角形與平行線的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，綜合性較強，但難度不大，仔細分析圖形并認真計算即可． 19.（2015?福建泉州第23題9分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函數y=圖象經過點A． （1）求k的值； （2）將△AOB繞點O逆時針旋轉60°，得到△COD，其中點A與點C對應，試判斷點D是否在該反比例函數的圖象上？ 解：（1）∵函數y=的圖象過點A（，1）， ∴k=xy=×1=； （2）∵B（2，0）， ∴OB=2， ∵△AOB繞點O逆時針旋轉60°得到△COD， ∴OD=OB=2，∠BOD=60°， 如圖，過點D作DE⊥x軸于點E， DE=OE?sin60°=2×=， OE=OD?cos60°=2×=1， ∴D（1，）， 由（1）可知y=， ∴當x=1時，y==， ∴D（1，）在反比例函數y=的圖象上． 20.（2015湖北鄂州第21題9分）如圖，某數學興趣小組在活動課上測量學校旗桿的高度．已知小亮站著測量，眼睛與地面的距離（AB）是1.7米，看旗桿頂部E的仰角為30°；小敏蹲著測量，眼睛與地面的距離（CD）是0.7米，看旗桿頂部E的仰角為45°.兩人相距5米且位于旗桿同側（點B、D、F在同一直線上）． （1）（6分）求小敏到旗桿的距離DF．（結果保留根號） （2）（3分）求旗桿EF的高度．（結果保留整數.參考數據：，） 【答案】（1）4+米.(2)10米. 考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題． 21.（2015湖南邵陽第24題8分）如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度． 考點： 相似三角形的應用．.分析： 根據題意可得：△DEF∽△DCA，進而利用相似三角形的性質得出AC的長，即可得出答案．解答： 解：由題意可得：△DEF∽△DCA，則=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗桿的高度為11.5m點評： 此題主要考查了相似三角形的應用，得出△DEF∽△DCA是解題關鍵．22.（2015·湖南省常德市，第23題8分）如圖3圖4，分別是吊車在吊一物品時的實物圖與示意圖，已知吊車底盤CD的高度為2米，支架BC的長為4米，且與地面成30°角，吊繩AB與支架BC的夾角為80°，吊臂AC與地面成70°角，求吊車的吊臂頂端A點距地面的高度是多少米？（精確到0.1米）？ （參考數據：sin10°＝cos80°＝0.17,cos10°＝sin80°＝0.98,sin20°＝cos70°＝0.34 ,tan70°＝2.75,sin70°＝0.94） 【解答與分析】這是一個解直角三角形的題，但此題要求看出 AB=AC，然后利用解直接三角形的方法求出AC，再在Rt△AEC中 解出AE的長，從而求出A到地面的高度為AE+2 解：由題可知：如圖，BH⊥HE，AE⊥HE，CD=2，BC=4 ∠BCH=30°，∠ABC=,80°，∠ACE=70° ∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180° ∴∠ACB=80° ∵∠ABC=80° ∴∠ABC=∠ACB ∴AC=BC=4 過點A作AM⊥BC于M， ∴CM=BM=2 ∵在Rt△ACM中，CM=2，∠ACB=80° ∴∠ACB= ∴AC＝ ∵在Rt△ACE中，AC＝，∠ACE=70° ∴∠ACE= ∴AE＝≈11.1 故可得點A到地面的距離為13.1米 23.（2015湖南岳陽第20題8分）如圖是放在水平地面上的一把椅子的側面圖，椅子高為AC，椅面寬為BE，椅腳高為ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．從點A測得點D、E的俯角分別為64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC（參考數據：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈） 考點： 解直角三角形的應用－仰角俯角問題．.分析： 根據正切函數的定義，可得方程①②，根據代入消元法，可得答案．解答： 解：在Rt△ABD中，tan∠ADC=tan64°==2，CD=①．在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==，BE=AB②．BE=CD，得===AB，解得AB=70cmAC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm點評： 本題考查了解直角三角形的應用，利用正切函數得出方程①②是解題關鍵．24．(2015?江蘇南京,第23題8分)如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO=45°，輪船甲自西向東勻速行駛，同時輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h，經過0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測得∠DBO=58°，此時B處距離碼頭O多遠？（參考數據：sin 【答案】13.5km【解析】 試題分析：設B處距離碼頭Oxkm，分別在Rt△CAO和Rt△DBO中，根據三角函數求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可． 試題解析：設B處距離碼頭Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=，∴CO=AO?tan∠CAO=（45×0.1+x）?tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=，∴DO=BO?tan∠DBO=x?tan58°，∵DC=DO﹣CO，∴36×0.1=x?tan58°﹣（4.5+x）， ∴x=． 因此，B處距離碼頭O大約13.5km考點：解直角三角形的應用． 如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓．已知點A到MN的距離為15米，BA的延長線與MN相交于點D，且∠BDN＝30°，假設汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內會受到噪音的影響． (1)過點A作MN的垂線，垂足為點H．如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當汽車到達點P處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點H的距離為多少米？ (2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板．當汽車行駛到點Q時，它與這一排居民樓的距離QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？(精確到1米)(參考數據：≈1.7) 【解析】 25.（2015?山東萊蕪,第20題9分） 2009年首屆中國國際航空體育節在萊蕪雪野舉辦，期間在市政府廣場進行了熱氣球飛行表演.如圖，有一熱氣球到達離地面高度為36米的A處時，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.為了安全飛越高樓，氣球應至少再上升多少米？（結果精確到0.1米） （參考數據：） 【答案】15.6米 【解析】 試題分析：過A作BC的垂線，設垂足為D．BD即為所求的高度．在Rt△ADC中，運用三角函數定義求出AD的值；進而可在Rt△ABD中，求出BD的值． 試題解析：解：過A作AD⊥CB，垂足為點D． 在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°． ∴AD=≈20.76． 在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°． ∴BD=≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． 答：氣球應至少再上升15.6米． 考點：仰角俯角的定義，解直角三角形 26，(2015山東青島，第19題,3分) 小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B，C兩點的俯角分別為45°和