第二章點、直線、平面之間的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1平面A級基礎鞏固一、選擇題1．下列圖形均表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()解析：A中圖形沒有畫出兩平面的交線，故不正確；B，C中圖形的實、虛線沒有按照畫法原則去畫，也不正確．答案：D2．A，B，C為空間三點，經過這三點()A．能確定一個平面B．能確定無數個平面C．能確定一個或無數個平面D．能確定一個平面或不能確定平面解析：由于題設中并沒有指明這三點之間的位置關系，所以在應用公理2時要注意條件“不共線的三點”．當A，B，C三點共線時，經過這三點就不能確定平面，當A，B，C三點不共線時，經過這三點就可以確定一個平面．答案：D3．下面給出了三個條件：①空間三個點；②一條直線和一個點；③和直線a都相交的兩條直線．其中，能確定一個平面的條件有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：①空間三點共線時不能確定一個平面．②點在直線上時不能確定一個平面．③兩直線若不平行也不相交時不能確定一個平面．答案：A4．已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理錯誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合解析：選項C中，α與β有公共點A，則它們有過點A的一條交線，而不是點A.答案：C5．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝D，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過()A．點A B．點BC．點C，但不過點D D．點C和點D解析：根據公理判定點C和點D既在平面β內又在平面γ內，故在β與γ的交線上．答案：D二、填空題6．設平面α與平面β交于直線l，A∈Q，B∈β.且AB∩l＝C，則AB∩β＝________．解析：因為A∈α，B∈α，AB∩l＝C，所以C∈AB，又因為C∈l，l?β，所以C∈β，所以AB∩β＝C.答案：C7．下列命題中，不正確的是________(填序號)．①一直線與兩平行直線都相交，那么這三條直線共面；②三條兩兩垂直的直線共面；③兩兩相交直線上的三個點確定一個平面；④每兩條都相交但不共點的四線共面．解析：三條兩兩垂直的直線最多可確定三個平面，故②錯誤；兩兩相交直線上的三個點若共線就無法確定平面，故③錯誤；①④正確．答案：②③8.如圖所示，A，B，C，D為不共面的四點，E，F，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么Q在直線________上．解析：若EF∩GH＝Q，則點Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.答案：AC三、解答題9．如圖所示，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之前的位置關系．圖①圖②解：(1)α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P.(2)α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O，b∩c＝O.10.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是AB，AD的中點，F，G分別是邊BC，CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，求證：直線EF，GH，AC交于一點．證明：因為AE＝EB，AH＝HD，所以EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD.因為eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，所以FG∥BD，且FG＝eq\f(2,3)BD.所以EH∥FG，且EH≠FG，故四邊形EFGH為梯形，則EF與GH必相交，設交點為P，P∈平面ABC，又P∈平面DAC，又平面ABC∩平面DAC＝AC，故P∈AC，即EF，GH，AC交于一點．B級能力提升1．下列四個命題：(1)如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；(2)兩條直線可以確定一個平面；(3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l；(4)空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內．真命題的個數為()A．1B．2C．3D．解析：(1)錯，如果兩個平面有三個公共點，那么這三個公共點共線，或這兩個平面重合；(2)錯，兩條平行或相交直線可以確定一個平面；(3)對；(4)錯，空間中，相交于同一點的三條直線不一定在同一平面內．答案：A2．如圖所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖形是________(把正確圖形的序號都填上)．解析：圖形①中，連接MN，PQ(圖略)，則由正方體的性質得MN∥PQ，根據公理2的推論3可知兩條平行直線可以確定一個平面，故圖形①正確．分析可知③中四點共面，②④中四點均不共面．答案：①③3．如圖所示，設E，F，G，H，P，Q分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱的中點，求證：E，F，G，H，P，Q證明：連接EF，QG，A1C1，EH因為E，F，Q，G分別是A1D1，D1C1，A1A，C1所以EF∥A1C1∥QG，同理可證FG∥EH設E，F，Q，G確定平面α，F，G，E，H確定平面β，由于α與β都經過不共線的三點E，F，G，所以α與β重合，即E，F，G，H，Q五點共面，同理可證E，F，G，P，Q五點共面，所以E，F，G，H，P，Q共面．沁園春·雪<毛澤東>北國風光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高。須晴日，看紅裝素裹，分外妖嬈。江山如此多嬌，引無數英雄競折腰。惜秦