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第五節第二類曲面積分工科數學分析北京理工大學第二學期第二類曲面積分(對坐標的曲面積分)基本概念概念的引入概念及性質計算法兩類曲面積分之間的聯系小結一、基本概念觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內側和外側流量問題---與力沿曲線所做的功和曲線的方向有關一樣，流量與曲面的側有關。曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面其上任一點Ｐ如果在曲面Ｓ的一側連續移動而不越邊界，則不能移到Ｓ的另一側去。即假定ｎ是曲面Ｓ某一側的法向量，當點Ｐ沿Ｓ上任意閉曲線連續移動又回到點Ｐ時，相應地，法向量也回到原來的方向。雙側曲面的特征：莫比烏斯帶典型單側曲面:播放莫比烏斯帶典型單側曲面:典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.我們這里討論的都是雙側曲面。通常規定其外側（即外法線所指的一側）為正側，記作，其內側（即內法線所指的一側）為負側，記作。對于封閉曲面Ｓ，對于不封閉曲面，tn二、概念的引入實例:流向曲面一側的流量.可以證明即流體的速度不隨時間變化即流體的密度不隨時間變化1.分割則該點流速為.單位法向量為.2.求和3.取極限三、概念及性質被積函數積分曲面類似可定義存在條件:組合形式:物理意義:流體流向曲面指定一側的流量性質:有向性注意：由于第二類曲面積分涉及到方向性，故積分的對稱性也和第一類曲面積分不同。四、計算法1.分別計算法一投,二代,三定號如果∑是母線平行于z軸的柱面，則∑在xOy平面上的投影區域為一條曲線，因此dS在xOy平面上的投影區域的面積為零，故如果曲面不是上述曲面，可以將其分成幾塊再進行計算。如果∑是母線平行于x軸的柱面，則注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.如果∑是母線平行于y軸的柱面，則解2.統一計算法統一計算法是先將對不同坐標的第二類曲面積分化成對相同坐標的曲面積分，然后再化成二重積分計算。解五、兩類曲面積分之間的聯系兩類曲面積分之間的聯系向量形式解利用極坐標變換,有積分區域六、小結1.對坐標曲面積分的物理意義2.對坐標曲面積分的計算時應注意以

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