習(xí)題12.3(A)組利用Green公式計(jì)算下列曲線積分(1),其中為圓周逆時(shí)針?lè)较?解：其中。(2),其中是由與所圍成區(qū)域的正向邊界曲線.解：(3),其中是由點(diǎn)沿拋物線到點(diǎn)的一段弧.解：將此段弧補(bǔ)上直線BA后，用格林公式有。(4),是在圓周上由點(diǎn)到的一段.解：將此段弧不上直線段到及到后，利用格林公式有原式。利用曲線積分計(jì)算由下列曲線所圍成的平面圖形的面積.橢圓解：設(shè)區(qū)域D為橢圓內(nèi)部，S為其面積，L為D的正向邊界，則由格林公式得設(shè)參數(shù)方程為則星形線.解：同上，由格林公式得。3.計(jì)算,而為(1)的正向邊界.解：由格林公式得原式(2)的正向邊界.解：令,，當(dāng)時(shí)而內(nèi)在處不連續(xù)，故不能直接利用格林公式，作輔助線為以為圓心，為半徑的圓周，方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍谑桥c圍城的復(fù)聯(lián)通區(qū)域不包含圓點(diǎn)，的邊界是有向閉曲線，顯然在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此利用格林公式得則的參數(shù)方程為則原式。4.驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某一個(gè)函數(shù)的全微分，并求一個(gè)這樣的函數(shù)。（1）驗(yàn)證：，則是某個(gè)函數(shù)的全微分由得先關(guān)于作不定積分待定。此式兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)得解得，則。（2）驗(yàn)證：，則是某個(gè)函數(shù)的全微分由得先關(guān)于作不定積分由得，解得，取，則。5.求下列微分方程的通解：（1）解：令則因此原方程是全微分方程，選取則原方程的通解為（為任意常數(shù)）。（2）解：因此原方程為全微分方程。則原方程通解為（為任意常數(shù)）6.計(jì)算，其中為正常數(shù)，是在圓周上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解：設(shè)其中積分與路徑無(wú)關(guān)，可選擇到的直線段代替弧設(shè)的參數(shù)方程為則。7.確定常數(shù),使在右半平面上為某個(gè)二元函數(shù)的全微分,并求出一個(gè).解：由題意得，即上式在右半平面上恒成立，則有成立，即則對(duì)積分后有求導(dǎo)，則取即可，得。(B)組1.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為，這變力確定了一個(gè)力場(chǎng)，試證明質(zhì)點(diǎn)在該場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功與路徑無(wú)關(guān)。證明：做功則因此場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),證明當(dāng)時(shí),曲線積分與路徑無(wú)關(guān),并計(jì)算.證明：設(shè).當(dāng)時(shí)則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。3.設(shè)L是不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),(-2,0)的分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線,L取正向,試就L的不同情形計(jì)算曲線積分解：設(shè),.若所圍區(qū)域不含和點(diǎn)時(shí)，由格林公式得若所圍區(qū)域只含其中一點(diǎn)時(shí)，（不妨設(shè)含點(diǎn)）.則在內(nèi)作以為圓心，為半徑的圓，取順時(shí)針?lè)较虻膱A，利用格林公式有則則，其中設(shè)的參數(shù)方程為