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文檔簡介

補充:第一型曲線積分的對稱性質1.設積分曲線

L關于y軸對稱.則曲線積分習題課若f關于變量

x是奇函數,即若f關于變量

x是偶函數,即L1是曲線L落在y軸一側的部分.則2.設積分曲線

L關于

x軸對稱.則若f關于變量

y是奇函數,即若f關于變量

y是偶函數,即L1是曲線L落在x

軸一側的部分.則類似地,例計算其中L是圓周解由對稱性,故解1圓的參數方程為例1計算其中L:解2圓的極坐標方程為圓的參數方程為解對稱性例2設例3計算其中L

為圓周上從點

A(1,1)過點N(3,1)到B(3,3)的弧段.解在第一象限(單連域)內因此在第一象限內曲線積分與路徑無關,取折線段ANB為積分路徑例4設為可微函數,且若曲線積分解設與路徑無關,求

因曲線積分與路徑無關,所以有

即

是一階線性微分方程.又由于

所以

故

內具有一階連續導數,L是上半平面(y>0)內的有向分段光滑曲線,其起點為(a,b),終點為(c,d).記(1)證明曲線積分I與路徑L無關;(2)當ab=cd時,求I的值.因所以,在上半平面內曲線積分I與路徑L無關.(1)證例5設函數(2)解由于曲線積分I與路徑L無關,L是上半平面(y>0)內的有向分段光滑曲線,起點(a,b),終點(c,d).所以(2)當ab=cd時,求I的值.練習題解補折線段BOA,則L+BOA構成一封閉曲線,且是所圍區域D的邊界曲線的負向.1.計算其中L

為圓周在第一象限部分從點A(0,1)到B(1,0)

的弧段.解2.

設L

為圓周的正向,計算證設則3.證明:在整個xOy平面除去y的負半軸并求出一個這樣的二元函數.及原點的開區域G內是某個二元函數的全微分,因此,在整個xOy平面除去y的負半軸及原點的開區域G

內是某個函數的全微分.取4.設L為的下半圓周,則5.已知平面區域L為D的正向邊界.試證:證(1)由格林公式左邊右邊所以因為D關于對稱,故(2)因由(1)得練習確定常數

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