【考情分析】

近年高考題盡量減少繁煩的運算，著力考查學生的邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、

分析、比較、簡捷的運算方法和推理技巧，突出了對學生數學素質的考查。試題運算量不大,

以認識型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解，也可用“特殊”方法

求解。其中，配方法、待定系數法、換元法、參數法是幾種常用的數學解題方法。這些方法

是數學思想的具體體現，是解決問題的手段，它們不僅有明確的內涵，而且具有可操作性，

有實施的步驟和作法，事半功倍是它們共同的效果。

縱觀近幾年高考命題的趨勢，在題目上還是很注意特殊解法應用，應為他起到避繁就簡、

避免分類討論、避免轉化等作用。

預測2013年的高考命題趨勢為：

(1)部分涉及函數性質、三角函數變形及求值、方程不等式的參數最值、解析幾何求值

等知識點的題目會用到這幾種特殊解法；

(2)這些解題方法都對應更一般的解法，它們的規律不太容易把握，但它們在實際的考試中

會節省大量的時間，為后面的題目奠定基礎；

【知識歸納】

1.換元法

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡

化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目

的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準

化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系

起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復

雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在

研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在

已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有

時候要通過變形才能發現。例如解不等式：4'+2工一220,先變形為設2'=t(t>0),

而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題。

三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與

三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y=?+J匚1的值域時，易發現xd[0,1],

C兀

設犬=$皿2a,ae[0,y],問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設,

其中主要應該是發現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件/+/=

r2(r>0)時，則可作三角代換x=r8s。、y=rsin0化為三角問題。

Ss

均值換元，如遇到“+/=$形式時，設x=,+t,t等等。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變

量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。

乃

如上幾例中的t>0和aG[o,y]?

2.待定系數法

要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數

的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式/Xx）三g（x）的充要條

件是：對于一個任意的a值，都有/'（a）三g（a）；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。

待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具

有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個

問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，

如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求

復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定

系數法求解。

使用待定系數法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；

第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。

3.參數法

參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發生聯系的新變量

（參數），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都

是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。

辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就

是要揭示事物之間的內在聯系，從而發現事物的變化規律。參數的作用就是刻畫事物的變化

狀態，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已

經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。

參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數

提供的信息，順利地解答問題。

4.配方（湊）法

（1）配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找

到己知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”

與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未

知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解等問題。

（2）配湊法：從整體考察，通過恰當的配湊，使問題明了化、簡單化從而達到比較容易解決

問題的方法。常見的配湊方法有：裂項法，錯位相減法，常量代換法等。

【考點例析】

1.配方（湊）法典例解析

例1.（1）（2012高考重慶）設tane,tan（3是方程V-3x+2=0的兩個根，則tan（a+￡）

的值為（）

（4）-3（皮-1（C）1（D）3

【答案】.

【解析】因為1211二/211/7是方程％2—31+2=0的兩個根，所以tana+tan4=3,

tanatan4=2,所以tan(a+0)=⑦"a+tan"_=-3,選4

1-tanatan/31-2

(2)已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角

線長為()

(4)2后⑵A(。5(〃)6

分析：設長方體三條棱長分別為x、y、z,則依條件得：

2(盯+yz+zx)=11,4(^+y+z)=24o

而欲求的對角線長為jY+/+z?,因此需將對稱式/+y2+z2寫成基本對稱式

產產Z及的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法，故

x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=62—11=25,,^x2+y2+z2-5,應選C0

點評：本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析

三個數學式，容易發現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了己知和未知，從而求解。

這也是我們使用配方法的一種解題模式。

r2

例2.(1)設￡和K為雙曲線——產=1的兩個焦點，點。在雙曲線上且滿足

4

/RPF?=9Q°,貝lj△不版的面積是()

U)1(^)—(6)2⑶百

2

分析：欲求S”"；=：|「耳卜|「瑪|(1)，而由已知能得到什么呢？

22

由NE初=90°,得|PF,|+\PF2|=20(2),

又根據雙曲線的定義得I發H形1=4(3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面

積有何聯系呢？我們發現將⑶式完全平方，即可找到三個式子之間的關系.即

22

IIPFi\-\PF2\\=\PF^+\PF2I-2|PF,\-\PF2|=16,

11

故|?|Pgl=](l尸耳I7|27-16)=-x4=2

S"F昌61=1，；.選(⑷。

點評：配方法實現了“平方和”與“和的平方”的相互轉化。

(2)設方程/+kx+2=0的兩實根為p、q,若(￡)2+(幺)2W7成立，求實數k的取

qP

值范圍。

解析：方程/+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達定理得：p+q=-k,pq=2,

(K)2+(幺)2=/+/4=("2+/)22〃％2=[(p+小-2聞2一?產中

qp(pq￥("I(pqY

(公—4)2_8L_I—

------r——W7,解得kw—W或k》W。

4

又：P、q為方程X2+kx+2=0的兩實根，...△=k2-820即k22&或kW-2加

綜合起來，k的取值范圍是：一Ji6wkw—或者2&WkwM。

點評：關于實系數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有兩根

時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結構

特征聯想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對討論，結果將

出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這

一點我們要尤為注意和重視。

2.待定系數法典例解析

例3.(2012高考浙江)(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：[+1=1(a>6>0)的離心率

為J,其左焦點到點戶(2,1)的距離為J歷.不過原點0的直線1

與C相交于48兩點，且線段仍被直線CP平分.

(I)求橢圓C的方程；

(II)求△4鰭的面積取最大時直線/的方程.

【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位

置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。

【答案】(I)由題：e=-=^(1)

a2

左焦點(-c,0)到點P(2,1)的距離為：J=7(2+c)2+l2=V10.⑵

父+V1

由(1)(2)可解得：a2=4,從=3,c?=l....所求橢圓C的方程為:--1--=1.

43

(H)易得直線"的方程：y^-x,設4(必，%)，B(XB,刃，"(刖，㈤.其中％=,施.

22

,：A,6在橢圓上，

豆+4=1

...|43=如=%-%==二.+勺生=_3.

V+2?i=14一/4%+為42%2

7亍一

設直線25的方程為7：y=-；工+"2(加力0),

代入橢圓:=3x2-3mx+/n2-3=0.

顯然△=（3根f-4x3（相2—3）=3（12—相2）>。..?._屈V勿VJ1］且加W0.

由上又有：xA+xn—IHi%+%=-------?

IAB=y/\+kX-XI=J1+〃A8dg+xj-43B=J1+〃A8卜-

ABAB

?.?點戶（2,1）到直線/的距離表示為：《1-*一嘰惟生.

Jl+LJ1+L

SAABP=—d\AB\—|zs+2.4-----，

22V3

當|0+2|=J4-'-,即勿=-3或勿=0(舍去)時，(SAABT)MA.,--.

V32

此時直線/的方程y=--3x+1i.

例4.(2012高考新課標)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在X軸上，。與拋物線

>2=16x的準線交于A,B兩點，|AB|=4jL則。的實軸長為()

(A)V2(B)2后(C)4(D)8

【答案】C；

【解析】設等軸雙曲線方程為——y2=皿加>0),拋物線的準線為x=_4,由

|Aq=4/，則\yA\=243，把坐標(—4,2g)代入雙曲線方程得

22

加=%2_y2=]6_12=4,所以雙曲線方程為/—y2=4,即二—21=1,所以

44

a2=4,tz=2,所以實軸長2a=4,選C.

3.換元法典例解析

例5.(1)(2012年高考重慶)設函數/(x)=X-4尤+3,g(%K3-集合

M={xeR|/(盡力)?N={xeR|g(x)<2},則"N為()

A.(1,-K>o)B.(0,1)C.(-1,1)D.(7,1)

【答案】：D；

【解析】由/(g(x))>0得g?(幻一4g(x)+3>0則g(x)<1或g(x)>3即3、一2<1或

3*—2>3

所以x<l或x>log35;由g(x)<2得3'—2<2即3*<4所以x<log故

MN=(-oo,l)

【考點定位】本題考查了利用整體代換，直接代入法求解函數的解析式以及指數不等式

的解法.本題以函數為載體,考查復合函數,關鍵是函數解析式的確定.

(2)設a>0,求/'(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和最小值。

解析：設sinx+cosx=t,則由(sinx+cosx)2=l+2sinx?COSX得:

r2-l

sinx,cosx=---，

2

，F(x)=g(t)=——(t—2a)2+—(a>0),tG[-V2,V2],

t=-五時，取最小值：-2a2-242a-^,

2

當2a》時，t=J^,取最大值：-2a2+2-^2a——；

當0<2aW五時，t=2a,取最大值：y。

1八V2

-(0<a<-)

f(x)的最小值為一2a?—2&a——,最大值為《

2廠1V20

—2a+2\2a——>—)

點評：此題屬于局部換元法，設sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的

內在聯系，將三角函數的值域問題轉化為二次函數在閉區間上的值域問題，使得容易求解。

換元過程中一定要注意新的參數的范圍(te[-V2,V2])與sinx+cosx對應，否則將會出

錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數學思想方法，即由對稱軸與閉區間的位置

關系而確定參數分兩種情況進行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sin*與cosx的和、差、積等而求三角式的最大

值和最小值的題型時，即函數為f(sinx±cosx,sinxcsox),經常用到這樣設元的換元法，轉

化為在閉區間上的二次函數或一次函數的研究。

無2

例6.點P(x,y)在橢圓——+y?=l上移動時，求函數/9+2盯+4/+戶2y的最大值。

4

Y0一

解析：；點尸(％力在橢圓下+/=1上移動，

4

x=2cos6

???可設《

y=sin。

于是u=x2+2xy+4y之+x+2y

=4cos2^+4sin^cos^+4sin26+2cos6+2sin。

=2[(cos^+sin^)2+cos6+sin8+1]

令cose+sin8=，,

Vsin0+cos^=V2sin(^+—),/.°

4

于是產2(/+/+1)=2?+,)2+3，("W后)

22

當仁收，即sin(6+?)=l時，u有最大值。

0=24"+三力時，w=6+272?

?maxmi

4.參數法典例解析

例7.(2012年高考山東)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓

心的初始位置在(0,1),此時圓上一點〃的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾

動.當圓滾動到圓心位于⑵1)時，OP的坐標為—.

答案：(2-sin2,l-cos2)解析:根據題意可知圓滾動了2單位個弧長，點

P旋轉了2弧度,此時點P的坐標為：

xp=2-cos(2----)=2-sin2,

712

%=1+sin(2----)=1-cos2,.

OP=(2-sin2,l-cos2)

另解:根據題意可知滾動制圓心為⑵1)時的圓的參數方程:

x=2+cos。37r

，且NPCO=2,6=——2,

y=1+sin。2

元=2+cos(-----2)=2-sin2.

則點P的坐標為(，，即OP=(2-sin2,l-cos2).

37r

y=1+sin(——2)=1-cos2

點評：設問形式的存在性問題很常規，但是題目內容卻多年不見，考查了點參數問題，

根本不需要設直線方程，更沒有直線與圓錐曲線的聯立，這是大部分學生所不適應的。本題

設交點坐標為參數，“設而不求”，以這些參數為橋梁建立t的表達式求解。

例8.實數a、b、c滿足a+6+c=l,求a?+6?+J的最小值。

分析：由a+8+c=l想到“均值換元法”，于是引入了新的參數，即設a=g+t1,b=

~+t2>0=]+%，代入/+/+c。可求。

解析：由a+O+c=l,設d=g+t],b=^+t2,C=-+t3,其中t]+t2+t3=0,

.**a2+Z?2+c2=(二+1,)2+(—+t2)2+(Ft3)2-F-?(ti+tz+,U+t]2

313233331231

2222

+t232=3+1j+124-t3,

所以/+/+/的最小值是g。

點評：由“均值換元法”引入了三個參數，卻將代數式的研究進行了簡化，是本題此種解法

的一個技巧。本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進行求解，解法是：>+

〃+c?=(a+8+c)2—2(a6+bc+ac)21—2(a2+/?2+c2),即a2+b2+c2o兩種解

法都要求代數變形的技巧性強，多次練習，可以提高我們的代數變形能力。

【方法技巧】

1.配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(之+，)2=/+2助+/,將這個

公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：

a2+b2=(a+A)2—2ab={a—6)2+2ab；

b/J

a2+ab+b2=(a+H)2—ab=(a—t>)2+3ab={a-\—)2+(---b)2；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca——[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b~+c2=(?a+力+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+8——c)2—2{ab—be—ca)=?,?

結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：

l+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)2；

A-2+-V=a+-)2-2=(A—-)2+2；……等等。

XXX

2.如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：

(1)利用對應系數相等列方程；(2)由恒等的概念用數值代入法列方程；(3)利用定義

本身的屬性列方程；(4)利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，

其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所

得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓

錐曲線的方程.

【專題訓練】

1.y=sinx?cosx+sin^+cosx的最大值是。

2.設f(x2+l)=log()(4-—)(a>l),則f(x)的值域是___。

3.已知數列｛a“｝中，^I=-1,an+｝?an=an+1—an,則數列通項a“=.。

4.設實數x、y滿足/+20-1=0,則x+y的取值范圍是。

1+3-,

5.方程~—=3的解是_____________?

1+3

<+1

6.不等式log2(2’-1),log2(2—2)〈2的解集是。

7設2*=3>=5Z>1,則2x、3y、5z從小到大排列是。

8若k<-l,則圓錐曲線/一1</=1的離心率是。

9點Z的虛軸上移動，則復數C=Z2+1+2i在復平面上對應的軌跡圖像為

_____________________O

10三棱錐的三個側面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3,則其體積為o

11設函數/'(X)對任意的x、yGR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時，F(x)<0,

則f(x)的R上是函數。(填“增"或"減")

12橢圓2+J=i上的點到直線矛+27-&=0的最大距離是。

164

A.3B.Vilc.VioD.2V2

X1

13(%)=----Fm,f(x)的反函數二(x)=nx—5,那么m、n的值依次為_____。

2

5555

A.—,-2B.-----,2C.-7,2D.——?,—2

2222

14不等式ax1+，x+2>0的解集是(—―,—),則a+b的值是。

A.10B.-10C.14D.-14

15(1-%3)(1+x)1°的展開式中，/的系數是o

A.-297B.-252C.297D.207

31

16函數y=a—6cos3x(從0)的最大值為5,最小值為一,，則y=-4asin38x的最小正

周期是o

17與直線L：2x+3y+5=0平行且過點/(1,-4)的直線L'的方程是。

2

18與雙曲線/一—v=1有共同的漸近線,且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________。

4

【參考答案】

1小題:設sinx+cosx=t￡[―V2,a],則尸萬/+t—/1,對稱軸t=-1,當t=V5,

=；+&

2

2小題：設—+i=t(t'l),J?lJAt)=loga[-(t-1)+4],所以值域為(-8,log.4]；

3小題：已知變形為」-----L=-1,設6“=,則仇=—1,九=—l+(n—l)(T)

。"+1冊%

="n,所以a=---；

n

4小題：設x+y=k,則I—2kx+l=0,△=4k?—420,所以kNl或kW—1；

1

5小題：設3'=y,則3廠9+2y—1=0,解得,所以x=-1；