2018-2019學年浙江省紹興市柯橋區九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）

A.1張B.2張C.3張D.4張

2.（4分）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.購買一張體育彩票，中獎

B.太陽從東邊升起

C.2019年元旦是晴天

D.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

3.（4分）如圖,若48是0。的直徑,0是。。的弦，/48。=58°,則/（7的度數為（）

A.116°B.58°C.42°D.32°

4.（4分）如果把一條線段分為兩部分，使其中較長的一段與整個線段的比是黃金分割數,

那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數.由此，如果設整個線段長為1,較長段為

x,可以列出的方程為（）

1-xX1-X1x1-x1-xX

A.-----=-B.-----=-C.-----=-------D.-----=-p

x11x1-x1xV5

5.（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,若點。是AB的中點，分別以

1一

點A、5為圓心，長為半徑畫弧，交AC于點及交BC于點、F,則圖中陰影部分的

2

周長是（)

A

A.V2TT+8-2V2B.2&兀+8—2/C.&兀+8—4aD.2V2TT+8-472

6.（4分）一個三角形框架模型的三邊長分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根

長為60厘米的木條為一邊，做一個與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長

度不符合條件的是（）

A.30厘米、45厘米B.40厘米、80厘米

C.80厘米、120厘米D.90厘米、120厘米

1

7.（4分）如圖，ZABC=70°,。為射線8c上一點，以點。為圓心，長為半徑做O。，

要使射線A4與O。相切，應將射線繞點2按順時針方向旋轉（）

8.（4分）己知線段a,b,c,求作線段無，使久=與，下列作法中正確的是（）

9.（4分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），

用28機長的籬笆圍成一個矩形花園ABC。（籬笆只圍AB,8c兩邊），設48=租.若在P

處有一棵樹與墻。，的距離分別是15機和6加，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，

不考慮樹的粗細），則花園面積S的最大值為（）

10.（4分）今有一副三角板如圖，中間各有一個直徑為2c7"的圓洞，現用三角板。的30°

角那一頭插入三角板b的圓洞中，則三角板a通過三角板b的圓洞那一部分的最大面積

為（）c加2（不計三角板厚度）

A.2+V3B.2V3C.4D.4+V3

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.（5分）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=4,8c=8,貝hanB的值是

12.（5分）在一個不透明的袋中裝有12個紅球和若干個白球，它們除顏色外都相同.從袋

中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，并攪均，不斷重復上述的試驗共5000次，其中2000

次摸到紅球，請估計袋中大約有白球個.

13.（5分）如圖，46、8C是。。的弦，ZABC=90°,OD、分別垂直4B,BC于點D、

E,若4。=3,"=4,則。。的半徑長為.

14.（5分）a,b,c是實數，點A（a-1,b）,B（a-2,c）在二次函數y=/-2ax+l的

圖象上，則6,c的大小關系是：bc（用“>”或號填空）.

15.（5分）如圖所示，△ABC是邊長為9c機的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截,

43被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為,

16.（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知拋物線-3與x軸交于點A、

2（A在B左側），與y軸交于點C,經過點A的射線AF與y軸正半軸相交于點E,與拋

物線的另一個交點為F,不=一，點。是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，點P是y

EF3'

軸上一點，且則點P的坐標是.

三、解答題（共80分）

17.（8分）一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相

同.

（1）從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率是多少？

（2）從箱子中隨機摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球,

求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

18.（8分）己知：如圖，在△ABC中，點。在8C上，點E在AC上，Z5E與不平行.添

加一個條件，使得然后再加以證明.

E

D

A-------------B

19.（8分）如圖，某消防隊在一居民樓前進行演習，消防員利用云梯成功救出點8處的求

救者后，又發現點B正上方點C處還有一名求救者，在消防車上點A處測得點8和點C

的仰角分別為45°和65°,點A距地面2.5米，點8距地面10.5米，為救出點C處的

求救者，云梯需要繼續上升的高度約為多少米？

點.

（1）若A8=8,ZC=60°,求陰影部分的面積；

（2）當NA為銳角時，試說明NA與/CBE的關系.

21.（10分）如圖，正方形A8C。的頂點A在拋物線y=/上，頂點8,C在x軸的正半軸

上，且點8的坐標為（1,0）

（1）求點D坐標；

（2）將拋物線＞=/適當平移，使得平移后的拋物線同時經過點8與點。，求平移后拋

物線解析式，并說明你是如何平移的.

22.（12分）如圖，NK4N=30°,點。為邊⑷V上一點，以。為圓心，6為半徑作。。交

AN于。、E兩點.

（1）當O。與AM相切時，求的長；

（2）如果A￡＞=3,判斷AM與。。的位置關系？并說明理由.

23.（12分）已知：如圖1,拋物線的頂點為平行于x軸的直線與該拋物線交于點A,B

（點A在點8左側），根據對稱性恒為等腰三角形，我們規定：當為直角

三角形時，就稱為該拋物線的“完美三角形”.

（1）①如圖2,求出拋物線＞=/的“完美三角形"斜邊AB的長；

②拋物線y=W+l與y=/的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是；

（2）若拋物線y=/+4的“完美三角形”的斜邊長為4,求。的值；

（3）若拋物線＞=如$+2尤+〃-5的"完美三角形"斜邊長為n,且＞=?1%2+2尤+”-5的最

大值為-1,求加，”的值.

24.（14分）如圖，半徑為4且以坐標原點為圓心的圓。交x軸，y軸于點8、。、A、C,

過圓上的動點P（不與A重合）作PE_LH,且（E在AP右側）.

（1）當尸與C重合時，求出E點坐標;

（2）連接PC,當PC=5時，求點尸的坐標；

（3）連接。E,直接寫出線段0E的取值范圍.

2018-2019學年浙江省紹興市柯橋區九年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分）

【分析】根據中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：根據中心對稱圖形的概念可得：①③是中心對稱圖形.

故選：B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，關鍵是根據中心對稱圖形是要尋找對稱中心，

旋轉180度后與原圖重合解答.

2.（4分）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.購買一張體育彩票，中獎

B.太陽從東邊升起

C.2019年元旦是晴天

D.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

【分析】必然事件就是一定發生的事件，根據定義即可判斷.

【解答】解：A.購買一張體育彩票，中獎是隨機事件；

B.太陽從東邊升起是必然事件；

C.2019年元旦是晴天是隨機事件；

D.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件；

故選：B.

【點評】考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的

概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定

不發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事

件.

3.（4分）如圖,若42是0。的直徑,。。是。。的弦，/48。=58°,則/。的度數為（）

A.116°B.58°C.42°D.32°

【分析】由AB是（DO的直徑，推出/AO8=90°,再由/ABZ）=58°,求出NA=32°,

根據圓周角定理推出/C=32°.

【解答】解：：AB是。。的直徑，

AZADB^9Q°,

VZABD=58°,

AZA=32°，

；.NC=32°.

故選：D.

【點評】本題主要考查圓周角定理，余角的性質，關鍵在于推出/A的度數，正確的運

用圓周角定理.

4.（4分）如果把一條線段分為兩部分，使其中較長的一段與整個線段的比是黃金分割數,

那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數.由此，如果設整個線段長為1,較長段為

無，可以列出的方程為（）

1-xX1-X1x1-x1-xX

A.-----=-B.-----=-C.-----=-------D.-----=—p

x11x1-x1xV5

【分析】根據題意列出一元二次方程.

1—xX

【解答】解：設整個線段長為1,較長段為X,可以列出的方程為——=-，

X1

故選：A.

【點評】本題考查的是黃金分割的概念以及黃金比值，理解黃金分割的概念是解題的關

鍵.

5.（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC=4,ZACB^90°,若點。是AB的中點，分別以

1一

點A、B為圓心，TB長為半徑畫弧，交AC于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的

2

周長是（)

A

A.V2TT+8-2V2B.2&兀+8-2企C.V2TT+8-4V2D.2V2TT+8-472

【分析】利用勾股定理求得AB=4&,由題意知/A=/8=45°,AD=AE=B￡）=BF=

2V2,再根據陰影部分周長=2X（EC+弧DE的長）計算可得.

【解答】解：；AC=BC=4,ZACB=90°,

.,.AB=4&,

又點。是AB中點，

:.AD=BD=2?

由題意知NA=/B=45°,AD=AE=BD=BF=2近,

則陰影部分周長為2X（4-2/+竺鬻旦）=8-4V2+V2TT,

ioU

故選：C.

【點評】本題考查弧長的計算、等腰直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數

形結合的思想解答.

6.（4分）一個三角形框架模型的三邊長分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根

長為60厘米的木條為一邊，做一個與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長

度不符合條件的是（）

A.30厘米、45厘米B.40厘米、80厘米

C.80厘米、120厘米D.90厘米、120厘米

【分析】討論：若20厘米、30厘米、40厘米的對應邊分別為60厘米、x厘米、y厘米，

根據相似的性質竺=-=—；

60xy

若20厘米、30厘米、40厘米的對應邊分別為無厘米、60厘米、y厘米，根據相似的性

若20厘米、30厘米、40厘米的對應邊分別為無厘米、y厘米、60厘米，根據相似的性

203040

質得一=一=一,然后利用比例的性質分別計算出各組對應值即可.

xy60

【解答】解：①設20厘米、30厘米、40厘米的對應邊分別為60厘米、x厘米、y厘米，

根據題意得：—

60%y

解得x=90,y=120；

②設20厘米、30厘米、40厘米的對應邊分別為工厘米、60厘米、y厘米，

根據題意得：—=—=

%60y

解得x=40,y=80

設20厘米、30厘米、40厘米的對應邊分別為1厘米、y厘米、60厘米，

根據題意得：—=—=

%y60

解得x=30,y=45.

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.利

用分類討論的思想解決此題.

1

7.（4分）如圖，ZABC=70°,O為射線8c上一點，以點。為圓心，金。8長為半徑做O。，

要使射線癡與O。相切，應將射線繞點8按順時針方向旋轉（）

A.35°或70°B.40°或100°C.40°或90°D.50°或110°

【分析】設旋轉后與OO相切于點。，連接on,則可求得/DBO=30°,再利用角的和

差可求得NA3D的度數.

【解答】解：如圖，設旋轉后與。。相切于點。，連接O。，

1

?/OD=^OB,

：.ZOBD=3Q°,

，當點。在射線8c上方是時，ZABD=ZABC-ZOBD=1Q0-30°=40°,

當點D在射線2C下方時，NABD=NABC+NOBD=70°+30°=100°,

故選：B.

A

【點評】本題主要考查切線的性質和旋轉的性質，利用過切點的半徑與切線垂直求得/

OBD的度數是解題的關鍵，注意分類討論.

8.（4分）已知線段a,b,c,求作線段x,使刀=牛，下列作法中正確的是（）

【分析】根據平行線的性質一一分析.

【解答】解：A、根據平行線的性質得=之故苫=與，故此選項錯誤;

aca

2、根據平行線的性質得2=￡故》=當，故此選項錯誤；

aca

c、根據平行線的性質得2=二故彳=與，故此選項錯誤；

acQ

bc

。、根據平行線的性質得一=-故x=半，故此選項正確.

axo

故選：D.

【點評】本題主要考查了利用平行線的性質畫圖的方法.

9.（4分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），

用28機長的籬笆圍成一個矩形花園48C。（籬笆只圍AB,BC兩邊）,設48=〃葭若在P

處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內（含邊界，

不考慮樹的粗細），則花園面積S的最大值為（）

【分析】根據長方形的面積公式可得S關于機的函數解析式，由樹與墻CD,AD的距離

分別是15m和6m求出m的取值范圍，再結合二次函數的性質可得答案.

【解答】解：,.,48=根米，

：.BC=(28-m)米.

貝ijS—AB'BC—m(28-m)--nr+28m.

即S=-m2+2Sm(0<%<28).

由題意可知，6、

(-28-m>15

解得6WmW13.

???在內，S隨機的增大而增大，

，當機=13時，S最大值=195,

即花園面積的最大值為195m2.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，得出S與機的函數關

系式是解題關鍵.

10.(4分)今有一副三角板如圖，中間各有一個直徑為2c7W的圓洞，現用三角板。的30°

角那一頭插入三角板b的圓洞中，則三角板a通過三角板b的圓洞那一部分的最大面積

為()cm2(不計三角板厚度)

A.2+V3B.2V3C.4D.4+V3

【分析】先要作出幾何圖形，把不規則的幾何圖形轉化為規則的圖形，利用特殊角計算

邊和面積.

【解答】解：如圖，

OA=OB=\,ZC=30°,OA±AC,OBIBC.

過A作AO_LBC于。，作。口LA。于尸，延長80交CA于E.

則Nl=N2=30。，所以。尸=發”=￥；

，&。=1+苧，貝!|C￡)=714。=|+百，CB=2+V3.

在直角△Q4E中，AE=。￡=竽，8E=1+竽.

S^CBE—X(2+V3)(1+2^~)=2+7*,

?1,7373

S/\OAE=7TX1X-5-=~7~9

230

所以四邊形。4cB的面積=2+%—?=2+%.

00

故選：A.

CDR

【點評】學會把實際問題抽象為幾何問題，作出幾何圖形.同時也要學會把不規則的幾

何圖形面積的計算問題轉化為規則的幾何圖形面積問題.充分利用含30度角的直角三角

形三邊的關系進行計算.

二、填空題（每小題5分，共30分）

1

11.（5分）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,AC=4,5C=8,則tanB的值是.

【分析】直接利用銳角三角函數的定義得出答案.

【解答】解：VZC=90°,AC=4,BC=8,

tanB=差=

故答案為:

【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義，正確把握銳角三角函數的定義是解題的

關鍵.

12.（5分）在一個不透明的袋中裝有12個紅球和若干個白球，它們除顏色外都相同.從袋

中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，并攪均，不斷重復上述的試驗共5000次，其中2000

次摸到紅球，請估計袋中大約有白球18個.

【分析】根據口袋中有12個紅球，利用小球在總數中所占比例得出與實驗比例應該相等

求出即可.

【解答】解：：通過大量重復摸球試驗后發現，摸到紅球的頻率是黑=：,口袋中有

50005

12個紅球，

設有尤個白球，

解得：x—12,

答：袋中大約有白球18個.

故答案為：18.

【點評】此題主要考查了用樣本估計總體，根據已知得出小球在總數中所占比例得出與

實驗比例應該相等是解決問題的關鍵.

13.（5分）如圖，AB,BC是的弦，ZABC=90°,OD、OE分另!］垂直AB,BC于點、。、

E,若AD=3,CE=4,則G）。的半徑長為5.

【分析】連接OB,由0￡）_LA3,OE_LBC知/。。2=/。匹=90°,AD=BD=3,CE

=BE=4,再證四邊形。是矩形得OD=8E=4,繼而根據勾股定理可得答案.

【解答】解：如圖，連接。8,

'：OD±AB,OELBC,

：.ZODB=ZOEB=90a,AD=BD=3,CE=BE=4,

,/ZABC=90°，

，四邊形OD8E是矩形，

：.OD=BE=4,

貝!]OB=yj0D2+BD2=V42+32=5,

二。。的半徑長為5,

故答案為：5.

【點評】本題主要考查垂徑定理，解題的關鍵是掌握垂徑定理及矩形的判定與性質，勾

股定理等知識點.

14.(5分)a,b,c是實數，點A(a-1,b),B(a-2,c)在二次函數y=/-2辦+1的

圖象上，則6,。的大小關系是：b<c(用“>”或號填空).

【分析】根據點A(a-1,b),B(a-2,c)在二次函數y=/-2ar+l的圖象上，即可

得到b-c的正負情況，本題得以解決.

【解答】解：：點A(a-1,6),B(a-2,c)在二次函數y=/-2以+1的圖象上，

.—1)2—2a(a—1)+1=6

(.(a-2)2-2a(a-2)+1=c

.,.b-c—-3<0,

故答案為：<.

【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二

次函數的性質解答.

15.(5分)如圖所示，△A8C是邊長為9c機的等邊三角形，被一平行于8c的矩形所截，

A8被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為為eC7層.

【分析】先求出等邊△ABC的面積，先證明再根據相似三角

形的性質求出圖中陰影部分的面積.

【解答】解：：△ABC是邊長為9c機的等邊三角形，

.0_c9^/3.81A^32、

9x―—i~2=—z—Z（cm）.

??SAABC_z4

'：EH//FG//BC,AB被截成三等分，

S^AEH：SAAFG：S^ABC=1：4：9,

SAAEHIS四邊形EFGH：S四邊形尸BCG=1：3：5,

???圖中陰影部分的面積禁切？.

4

【點評】本題結合矩形的性質聯想到三角形相似或平行線分線段成比例定理，是解決本

題的關鍵.熟悉相似三角形的性質：相似三角形的面積比是相似比的平方.

16.（5分）如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，己知拋物線y=焦/一-3與x軸交于點A、

8（4在8左側），與y軸交于點C,經過點A的射線A尸與y軸正半軸相交于點E,與拋

物線的另一個交點為R不=；,點。是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，點尸是y

EF3

107

軸上一點，且則點P的坐標是（0,6）或尸（0,一-獰）.

【分析】過點尸作軸，垂足為設E（0,力，則OE=f,則/（6,書），將點

F的坐標代入拋物線的解析式可求得f的值，最后，依據cot/朋8=箱的值；然后求得

cotZDAB=I，則/剛8=/D4B.當點P在A尸的上方時可證明尸5〃A8,從而可求得

點P的坐標；當點尸在的下方時，設EP與無軸交點為GOw,0）,則

可得到EG=AG,從而可求得機的值，然后再求得尸尸的解析式，從而可得到點P的坐

標.

【解答】解：過點尸作FMLx軸，垂足為

設E(0,r),則OE=t.

AE1

t?t——，

EF3

.AOOE1

AM~FM~4

：.F(6,4力.

將點尸(6,4f)代入y=I?-a-3得：-X62-^3X6-3=0,解得f=去

：.cotZFAB=^^^.

QQQ

Vy=Q2T—3=(x+2)(x-4).

oX--4,XoQ

.1.A(-2,0),B(4,0).

易得拋物線的對稱軸為x=l,C(0,-3).

???點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，

：.D(2,-3).

4

cotZDAB=可,

：.ZFAB=ZDAB.

如下圖所示:

當點尸在A尸的上方時，ZPFA=ZDAB=ZFAB,

：.PF//AB,

.\yp=yF=6.

由(1)可知：F(6,4力,r=1.

：.F(6,6).

???點P的坐標為（0,6）.

當點尸在A尸的下方時，如下圖所示:

則/尸朋=/朋3,可得至/G=AG,

(6-m)2+62—(m+2)解得：m=學,

17

:?G(——，0).

4

（6k+b=6

設尸尸的解析式為丁=丘+4將點尸和點G的坐標代入得：但女+人二。，

I4

解得：T匕=一半

綜上所述，點尸的坐標為（0,6）或P（0,—學）.

故答案是：（0,6）或尸（0）—當馬.

【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一

次函數、二次函數的解析式、銳角三角函數的定義，分類討論是解答本題的關鍵.

三、解答題（共80分）

17.（8分）一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相

同.

（1）從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率是多少？

（2）從箱子中隨機摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球,

求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

【分析】（1）根據概率的意義列式即可；

（2）畫出樹狀圖，然后根據概率公式列式計算即可得解.

【解答】解：（1）:共有3個球，2個白球，

2

隨機摸出一個球是白球的概率為］

（2）根據題意畫出樹狀圖如下:

一共有6種等可能的情況，兩次摸出的球都是白球的情況有2種,

所以，尸（兩次摸出的球都是白球＞=g=g.

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況

數之比.

18.（8分）已知：如圖，在△ABC中，點。在BC上，點E在AC上，OE與A8不平行.添

加一個條件NCDE=NA，使得然后再加以證明.

E

D

A-----------------B

【分析】由本題圖形相似己經有一個公共角，再找一組對應角相等或公共角的兩邊對應

成比例即可.

【解答】解：添加條件為：ZCDE=ZA,

理由：VZC=ZC,

NCDE=ZA,

.?.△CDEsACAB.

故答案為：ZCDE=ZA.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關

鍵.

19.（8分）如圖，某消防隊在一居民樓前進行演習，消防員利用云梯成功救出點8處的求

救者后，又發現點B正上方點C處還有一名求救者，在消防車上點A處測得點8和點C

的仰角分別為45°和65°,點A距地面2.5米，點B距地面10.5米，為救出點C處的

求救者，云梯需要繼續上升的高度8c約為多少米？

（結果保留整數，參考數據：tan65°^2.1,sin65°-0.9,cos65°^0.4,V2~1.4）

【分析】如圖作AHLCN于H.想辦法求出BH、CH即可解決問題;

【解答】解：如圖作于X.

在中，VZBAH=45°,8H=10.5-2.5=8(m),

；.AH=BH=8(MI),

在RtZXAHC中，tan65°=需，

ACH=8X2.1^17(m),

:.BC=CH-BH=Y7-8=9(m),

【點評】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，

構造直角三角形解決問題.

20.(8分)如圖，在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑的圓，交AC于E點，交BC于D

點.

(1)若48=8,ZC=60°,求陰影部分的面積；

(2)當NA為銳角時，試說明/A與/CBE的關系.

【分析】(1)連接OE,先利用等腰三角形的性質求出/BOE=120°,/OBE=30°,

根據AB=8知08=4,依據S陰影=5扇形4OE+S&BOE計算可得.

(2)由48是OO的直徑知N8EA=90°,ft?ZEBC+ZC=ZCAD+ZC=900得/EBC

—ACAD,據此求解可得.

【解答】解：(1)如圖，連接OE,

VZC=60°,AB=AC,

：.ZBAC=6Q°,

AZAOE=60°,

：.ZBOE=120°,

???NOBE=30°,

VAB=8,

05=4,

8

.GO'TC'A-^1I—-

?*?5陰影=S扇形AOE+SABOE=-F2X2X4V33

(2);A3是。。的直徑，

：.ZBEA=90°,

ZEBC+ZC=ZCAD+ZC=90°,

：.ZEBC=ZCAD,

：.ZCAB=2ZEBC.

【點評】本題主要考查扇形面積的計算，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質、圓周角

定理、扇形的面積公式.

21.(10分)如圖，正方形A3CQ的頂點A在拋物線y=~上，頂點8,。在x軸的正半軸

上，且點8的坐標為(1,0)

(1)求點。坐標；

(2)將拋物線＞=/適當平移，使得平移后的拋物線同時經過點8與點。，求平移后拋

物線解析式，并說明你是如何平移的.

【分析】(1)根據題意得出A點坐標，進而得出。點坐標；

(2)設平移后拋物線解析式為：y=(尤-〃)2+k,把8,。點代入求出答案.

【解答】解：(1)；B(1,0),點A在拋物線＞=/上，

/.A(1,1),

又：正方形ABC。中，AD=AB^1,

：.D(2,1)；

(2)設平移后拋物線解析式為：y=(x-/z)2+左，把(1,0),(2,1)代入得：

則［0=(1--+匕

(1=(2-hy+k

解得：1=1，

5=0

平移后拋物線解析式為：y=(尤-1)2,

拋物線向右平移1個單位得到.

【點評】此題主要考查了二次函數圖象的平移以及待定系數法求二次函數解析式，正確

得出各點坐標是解題關鍵.

22.(12分)如圖，/MAN=30°,點。為邊AN上一點，以。為圓心，6為半徑作。。交

AN于D、E兩點.

(1)當。。與AM相切時，求的長；

(2)如果AO=3,判斷AM與O。的位置關系？并說明理由.

【分析】(1)設出AM與。。的交點為2,并連接。2,再根據NAMN=30°求出49長,

進而求出AD.

(2)過點。作。尸，AM于F利用三角函數解答即可.

【解答】解：(1)設AM與。。相切于點8,并連接。8,則08LA8；

在△AOB中，NMAN=30°,

則49=202=12,

所以AZ)=A。-

即AD=6.

(2)AM與O。相交，理由如下：

如圖2,過點。作于尸，

/.ZAFO^90°,

.._OF

??sin4A=^

OF=OA-sinA,

'：AD=3,DO=6,

：.AO=AD+DO^9,且/AM2V=3O°,

?.OF=9?sin30°=4.5<6,

與。。相交.

【點評】本題考查了切線的性質和直角三角形的性質，關鍵是根據NM4N=30°求出A。

長.

23.（12分）已知：如圖1,拋物線的頂點為M,平行于x軸的直線與該拋物線交于點A,B

（點A在點B左側），根據對稱性恒為等腰三角形，我們規定：當為直角

三角形時，就稱為該拋物線的“完美三角形”.

（1）①如圖2,求出拋物線>=/的“完美三角形"斜邊的長；

②拋物線y=7+l與的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是相等；

（2）若拋物線y=o?+4的“完美三角形”的斜邊長為4,求。的值；

（3）若拋物線>=〃支？+2尤+"-5的"完美三角形"斜邊長為n,且尤+〃-5的最

大值為-1,求w的值.

【分析】（1）①①過點8作BNLx軸于N,根據為等腰直角三角形，AB〃x軸，

所以/BMN=NA2M=45°,所以/BMN=/MBN,得至IjA/N=BN,設2點坐標為（小

w）,代入拋物線y=f,得”=后，解得"=1,"=0（舍去），所以8（1,1）,求出BAf

的長度，利用勾股定理，即可解答；

②因為拋物線y=/+l與y=/的形狀相同，所以拋物線y=f+l與y=7的“完美三角

形”的斜邊長的數量關系是相等；

（2）根據拋物線y=a/與拋物線y=a?+4的形狀相同，所以拋物線y=o?與拋物線>

=/+4的“完美三角形”全等，所以拋物線>="2+4的“完美三角形”斜邊的長為4,

所以拋物線y=o?的“完美三角形”斜邊的長為4,從而確定2點坐標為（2,2）或（2,

-2）,把點8代入尸辦2中，得到a=土與

（3））根據y=mx2+2x+n-5的最大值為-1,得到-----------=—1,化簡得mn-4m

4m

-1=0,拋物線y=nvc1+2x+n-5的“完美三角形"斜邊長為n,所以拋物線y=/nx2的“完

美三角形"斜邊長為"，所以2點坐標為&，—分代入拋物線尸m?,得g）2=

-2或〃=0（不合題意舍去），所以m=Y，所以幾=去

【解答】解：（1）①過點8作軸于N,如圖2,

???AAMB為等腰直角三角形，

/.ZABM=45°,

軸，

：.ZBMN=ZABM=45a,

:./MBN=90°-45°=45°,

；*/BMN=/MBN,

:.MN=BN,

設3點坐標為（小"），代入拋物線＞=7,

得n=n2,

n=0（舍去），

：.B（1,1）

：