7.1.1角的推廣P3

7.1.2弧度制及其與角度制的換算P46

7.1任意角的概念與弧度制7.2.1三角函數的定義P75

7.2.2單位圓與三角函數線P109

7.2.3同角三角函數的基本關系式P147

7.2.4誘導公式(一)P1757.2.4誘導公式(二)P209

7.2任意角的三角函數7.3.1正弦函數的性質與圖像P235

7.3.2正弦型函數的性質與圖像(一)P2717.3.2正弦型函數的性質與圖像(二)P2997.3.3余弦函數的性質與圖像P332

7.3.4正切函數的性質與圖像P368

7.3.5已知三角函數值求角P398

7.3三角函數的性質與圖像8.1向量的數量積P4228.1.2向量數量積的運算律8.1.3向量數量積的坐標運算8.1.1向量數量積的概念8.2.1兩角和與差的余弦8.2.2兩角和與差的正弦、正切8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等變換的應用(一)8.2.4三角恒等變換的應用(二)8.2三角恒等變換P5091.(1)當鐘表慢了(或快了)一點時,我們會將分針按某個方向轉動,把時間調整準確.在調整的過程中,分針轉動的方向是否相同?提示:不同,當鐘表慢了時,要順時針轉動分針;當鐘表快了時,要逆時針轉動分針.7.1.1角的推廣(2)在跳水比賽中,運動員會做“轉體兩周”“向前翻轉兩周半”等動作.做上述動作時,運動員轉體多少度?轉過的度數還能用0°到360°的角表示嗎?提示:因為運動員轉體方向有順時針、逆時針的不同,因此運動員“轉體兩周”的度數可以是順時針旋轉720°或逆時針旋轉720°,“向前翻轉兩周半”可以是順時針旋轉900°或逆時針旋轉900°.顯然這些角都不在0°～360°范圍內,不能用0°到360°的角表示.2.(1)如果將45°,225°角的始邊與x軸非負半軸重合,頂點與原點重合,則45°角的終邊OA,225°角的終邊OB分別落在第幾象限?提示:如圖,45°角的終邊落在第一象限;225°角的終邊落在第三象限.(2)將角45°,225°推廣到任意角α,如何來判斷一個角α是第幾象限角?提示:判斷方法是將角的頂點與原點重合、角的始邊與x軸的非負半軸重合,角的終邊落在第幾象限,就說該角是第幾象限角.3.在條件“角的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸非負半軸重合”下,研究下列角:30°,390°,-330°.(1)這三個角的終邊位置相同嗎?提示:30°,390°,-330°在同一坐標系內如圖所示,由圖可知三個角的終邊位置相同,它們兩兩之間相差360°的整數倍.(2)如何用30°表示390°和-330°?提示:390°=360°+30°,-330°=-360°+30°.(3)對于一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?提示:不唯一.它們相差360°的整數倍.【概念生成】1.角的概念的推廣(1)角的概念一條射線繞其端點旋轉到___________所形成的_____稱為角.這兩條射線分別稱為角的_____和_____.(2)角的表示如圖所示:

另一條射線始邊終邊圖形①始邊:射線的起始位置OA.②終邊:射線的終止位置OB.③頂點:射線的端點O.④記法:圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”.(3)角的分類按旋轉方向,角可以分為三類:名稱定義圖示正角按_______方向旋轉形成的角

負角按_______方向旋轉形成的角

零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角

逆時針順時針2.象限角角的頂點與坐標原點重合,角的始邊落在____________上,角的終邊在第幾象限就稱為第幾象限角.若終邊落在________上,認為這個角不屬于任何象限.3.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=____________,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數個周角的和.x軸的正半軸

坐標軸α+k·360°探究點一任意角的概念【典例1】給出下列說法:(1)銳角都是小于90°的正角;(2)第一象限角一定不是負角;(3)第二象限角是鈍角;(4)小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中正確說法的序號為

(把正確說法的序號都寫上).

【思維導引】解決此類問題的關鍵是正確理解各類角的概念.判斷時也可采用排除法,判斷說法為真需要證明,而判斷說法為假只需舉一反例.【解析】(1)銳角是大于0°且小于90°的角,所以(1)正確.(2)-330°角是第一象限角,但它是負角,所以(2)不正確.(3)480°角是第二象限角,但它不是鈍角,所以(3)不正確.(4)0°角小于180°角,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,所以(4)不正確.答案:(1)【類題通法】1.判斷角的概念問題的關鍵與技巧(1)關鍵:正確理解有關角的概念.(2)技巧:通過特值或反例進行判斷.2.處理任意角問題的兩個關鍵點(1)定方向:明確該角是由順時針方向還是逆時針方向旋轉形成的,由逆時針方向旋轉形成的角為正角,否則為負角.(2)定大小:根據旋轉角度的絕對值確定角的大小.【定向訓練】在下列說法中:(1)0°～90°的角是第一象限角;(2)第二象限角大于第一象限角;(3)鈍角都是第二象限角;(4)終邊與始邊重合的角是零角.其中錯誤說法的序號為

.

【解題指南】正確解答角的概念問題,關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念,弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小.【解析】(1)0°～90°的角是指0°≤α<90°,0°角不屬于任何象限,所以(1)不正確.(2)120°是第二象限角,390°是第一象限角,顯然390°>120°,所以(2)不正確.(3)鈍角的范圍是90°<α<180°,顯然是第二象限角,所以(3)正確.(4)終邊與始邊重合的角是與零角終邊相同的角,不一定是零角,-360°,720°都可以,所以(4)不正確.答案:(1)(2)(4)

【補償訓練】下列說法正確的是 (

)A.三角形的內角必為第一、二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.第四象限角是負角D.鈍角比第三象限角小【解析】選B.對于A,當內角為90°時,不是第一、二象限角;根據角的含義,始邊相同終邊不同的角一定不相等,故B正確;第四象限角不一定是負角,如330°是第四象限角;又第三象限的角的集合為{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z},鈍角90°<β<180°.所以β與α的大小不能確定,與k的正負有關.故A,C,D錯誤,B正確.探究點二終邊相同的角【典例2】(1)寫出與α=-1910°終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來.(2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合.【思維導引】(1)先用含k的式子寫出與α=-1910°終邊相同的角β,再解關于k的不等式,最后求出相應的角.(2)先寫出終邊落在OA,OB上的角,然后結合圖形將所求范圍內的角寫出.【解析】(1)與α=-1910°終邊相同的角的集合為{β|β=-1910°+k·360°,k∈Z}.因為-720°≤β<360°,所以-720°≤-1910°+k·360°<360°,3≤k<6.故k=4,5,6,當k=4時,β=-1910°+4×360°=-470°.當k=5時,β=-1910°+5×360°=-110°.當k=6時,β=-1910°+6×360°=250°.(2)若角α的終邊落在OA上,則α=30°+360°·k,k∈Z.若角α的終邊落在OB上,則α=135°+360°·k,k∈Z.所以,角α的終邊在圖中陰影區域內時,30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z.故角α的取值集合為{α|30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z}.

【延伸探究】

1.若本例(2)條件不變,試判斷角-1310°的終邊是否落在陰影區域內?【解析】由-1310°=-4×360°+130°,所以角-1310°與角130°的終邊相同,又30°<130°<135°,所以角-1310°的終邊落在陰影區域內.2.若將本例(2)中陰影部分改為如圖所示,則角的集合如何?

【解析】因為陰影部分含x軸非負半軸,故終邊為OA的角β=-30°+k·360°,k∈Z,終邊為OB的角γ=135°+k·360°,k∈Z,所以終邊落在陰影部分的角的集合為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.【類題通法】關于終邊相同的角的認識(1)α為任意角.(2)k·360°與α之間是“+”號,k·360°-α可理解為k·360°+(-α).(3)相等的角終邊一定相同;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數多個,它們相差360°的整數倍.(4)k∈Z這一條件不能少.【定向訓練】

(2020·濟南高一檢測)下面各組角中,終邊相同的是 (

)

A.390°,690° B.-330°,750°C.480°,-420° D.3000°,-840°【解析】選B.因為390°=360°+30°,690°=720°-30°,所以390°與690°終邊不同,A錯誤;因為-330°=-360°+30°,750°=720°+30°,所以-330°與750°終邊相同,B正確;因為480°=360°+120°,-420°=-360°-60°,所以480°與-420°終邊不同,C錯誤;因為3000°=2880°+120°,-840°=-720°-120°,所以3000°與-840°終邊不同,D錯誤.

【補償訓練】如圖所示陰影部分角的集合為

.

【解析】由題意,知S1={α|-45°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z},S2={α|135°+k·360°≤α≤225°+k·360°,k∈Z},S=S1∪S2={α|-45°+2k·180°≤α≤45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|-45°+(2k+1)180°≤α≤45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|-45°+n·180°≤α≤45°+n·180°,n∈Z}.答案:{α|-45°+n·180°≤α≤45°+n·180°,n∈Z}探究點三象限角的判斷【典例3】(1)已知角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,指出下列各角是第幾象限角,以及0°～360°范圍內與其終邊相同的角.①485°;②-35°;③770°;④-500°.(2)若β是第四象限角,試確定180°-β是第幾象限角.【思維導引】(1)先找出和該角在0°～360°范圍內終邊相同的角β,然后再根據β所在象限確定該角所在的象限.(2)根據β的范圍求出180°-β的范圍再判斷.【解析】(1)①485°=125°+360°,所以在0°～360°范圍內,與485°終邊相同的角是125°,所以485°是第二象限角.②-35°=325°-360°,所以在0°～360°范圍內,與-35°終邊相同的角是325°,所以-35°是第四象限角.③770°=50°+2×360°,所以在0°～360°范圍內,與770°終邊相同的角是50°,所以770°是第一象限角.④-500°=220°-2×360°,所以在0°～360°范圍內,與-500°終邊相同的角是220°,所以-500°是第三象限角.(2)因為β是第四象限角,所以-90°+k·360°<β<k·360°(k∈Z),所以-k·360°<-β<90°-k·360°(k∈Z),所以180°-k·360°<180°-β<270°-k·360°(k∈Z),所以180°-β是第三象限角.【類題通法】象限角判斷的兩種方法(1)根據圖形判定,在直角坐標系中作出角,角的終邊落在第幾象限,此角就是第幾象限角.(2)根據終邊相同的角的概念,把角轉化到0°～360°范圍內,轉化后的角在第幾象限,此角就是第幾象限角.

【知識延拓】已知α所在象限,確定所在的象限可以由象限等分得到:將每一個象限二等分,從x軸正半軸起按照逆時針順序在各等分區域標上數字1,2,3,4,1,2,3,4,若α是第一象限角,則就在標有數字1的區域,若α是第二象限角,則就在標有數字2的區域,若α是第三象限角,則就在標有數字3的區域,若α是第四象限角,則就在標有數字4的區域,如圖所示.【定向訓練】若φ是第二象限角,那么和90°-φ都不是 (

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】選B.因為φ是第二象限角,所以k·360°+90°<φ<k·360°+180°,k∈Z,所以k·180°+45°<<k·180°+90°,k∈Z,即是第一或第三象限角,而-φ顯然是第三象限角,所以90°-φ是第四象限角.

【補償訓練】已知角α是第三象限角,則角是 (

)A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角【解析】選D.方法一:取α=220°,則=110°為第二象限角;再取α=580°,則=290°為第四象限角.方法二:因為α是第三象限角,所以k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),所以k·180°+90°<<k·180°+135°(k∈Z).當k=2n(n∈Z)時,n·360°+90°<<n·360°+135°(n∈Z),所以是第二象限角;當k=2n+1(n∈Z)時,n·360°+270°<<n·360°+315°(n∈Z),所以是第四象限角.綜上所述,是第二或第四象限角.【課堂小結】7.1.2弧度制及其與角度制的換算

1.(1)在角度制中,把圓周等分成360份,其中的一份是多少度?提示:周角為360°,均分成360份,則每份為1°.(2)半徑為1的圓的周長是2π,即周長為2π時,對應的圓心角為360°,那么弧長為π時,對應的圓心角是多少?提示:因為圓的周長為2π,故弧長為π時,對應的圓心角為180°.(3)在給定半徑的圓中,弧長一定時,圓心角確定嗎?提示:確定,圓心角|α|=.2.(1)半徑為r的圓中,1°的圓心角所對的弧長是多少?所得的扇形面積是多少?提示:因為半徑為r的圓的周長為2πr,面積是πr2,故1°的圓心角所對的弧長是:l=,扇形的面積是:S=.(2)若扇形的圓心角為α(0<α<2π),如何由角度制下的扇形的弧長和面積公式得出弧度制下的公式?提示:由α=,所以n=,所以l=×=αr.S=×=α·r2=lr.【概念生成】1.角度制與弧度制的定義(1)角度制:用度作單位來度量角的制度稱為_______.角度制規定60分等于1度,60秒等于1分.(2)弧度制:長度等于_______的圓弧所對的_______為1弧度的角,記作_____.以_____為單位來度量角的制度稱為弧度制.2.角的弧度數的計算在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對圓心角為αrad,則α=____.角度制半徑長圓心角1rad弧度3.弧度制與角度制的換算4.一些特殊角與弧度數的對應關系5.角度制和弧度制下扇形的弧長和面積公式若扇形的半徑為R,弧長為l,弧所對圓心角為α,則:探究點一弧度制的概念【典例1】下列命題中,假命題是 (

)A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1°的角是周角的,1rad的角是周角的C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關【思維導引】由題目可獲取以下主要信息:各選項中均涉及角度與弧度,解答本題可從角度和弧度的定義著手.【解析】選D.根據角度和弧度的定義可知,無論是角度制還是弧度制,角的大小與圓的半徑長短無關,而是和弧長與半徑的比值有關,所以D項是假命題,A,B,C項均為真命題.【類題通法】弧度制與角度制的區別與聯系區別①單位不同,弧度制以“弧度”為度量單位,角度制以“度”為度量單位;②定義不同.聯系不管是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的定值.【定向訓練】下列各說法中,錯誤的是 (

)A.半圓所對的圓心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度【解析】選D.根據1弧度角的定義可知選項C正確,D錯誤;由半圓和周角概念及角度與弧度換算可知A,B項正確.【補償訓練】判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)1弧度是1度的圓心角所對的弧. (

)(2)1弧度是長度為半徑的弧. (

)(3)1弧度是1度的弧與1度的角之和. (

)(4)1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角,它是角的一種度量單位. (

)【解析】根據弧度制的定義知(4)正確.答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√探究點二弧度制與角度制的換算【典例2】(1)將下列角度與弧度進行互化:①20°.②-15°.③.④-.(2)把-1480°寫成2kπ+α(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π,并判斷它是第幾象限角?【思維導引】(1)根據互化公式1°=rad和1rad=°進行換算.(2)先將-1480°化成弧度,再寫成2kπ+α(k∈Z)的形式.【解析】(1)①20°=π=.②-15°=-15×=-.③=105°.④-π=°=-396°.(2)-1480°=-1480×=-=-10π+.因為是第四象限角,所以-1480°是第四象限角.【延伸拓展】若本例(2)的條件不變,在[-4π,4π)范圍內找出與α終邊相同的角的集合.【解析】與α終邊相同的角為2kπ+π(k∈Z).由-4π≤2kπ+π<4π知k=-2,-1,0,1.所以所求角的集合為.【類題通法】角度制與弧度制互化的關鍵與方法(1)關鍵:抓住互化公式πrad=180°是關鍵.(2)方法:度數×=弧度數;弧度數×°=度數.提醒:(1)角度化為弧度時,應先將分、秒化成度,再化成弧度.(2)角度化為弧度時,其結果寫成含π的形式,不必把π寫成小數.(3)用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時,其中2kπ是π的偶數倍,而不是整數倍.還要注意角度制與弧度制不能混用.【定向訓練】設α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.(1)將α1、α2用弧度制表示出來,并指出它們各自所在的象限.(2)將β1、β2用角度制表示出來,并指出它們各自所在的象限.【解析】(1)因為180°=πrad,所以-570°=-=-,所以α1=-=-2×2π+,α2=750°==2×2π+.所以α1在第二象限,α2在第一象限.(2)β1=×180°=108°,β2=-=-60°,所以β1在第二象限,β2在第四象限.探究點三弧長公式與扇形面積公式的應用【典例3】(1)設扇形的周長為8cm,面積為4cm2,則扇形的圓心角的弧度數是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知扇形的周長為20cm,當它的半徑和圓心角各取什么值時,才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?【思維導引】(1)可由扇形周長和面積建立方程組,通過解方程組求得;(2)可通過建立扇形面積的目標函數來求解.【解析】(1)選B.設扇形半徑為r,弧長為l,由題意得解得則圓心角α==2rad.(2)設扇形的半徑為r,弧長為l,面積為S.則l=20-2r,所以S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25(0<r<10).所以當半徑r=5cm時,扇形的面積最大,為25cm2.此時α==2rad.所以當它的半徑為5cm,圓心角為2rad時,扇形面積最大,最大值為25cm2.【延伸探究】用30cm長的鐵絲圍成一個扇形,應怎樣設計才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?【解析】設扇形的圓心角為α,半徑為r,面積為S,弧長為l,則有l+2r=30,所以l=30-2r,從而S=·l·r=(30-2r)·r

=-r2+15r=-.所以當半徑r=cm時,l=30-2×=15(cm),扇形面積的最大值是cm2,這時α==2rad.所以當扇形的圓心角為2rad,半徑為cm時,面積最大,為cm2.【類題通法】弧度制下解決扇形相關問題的步驟:

(1)明確弧長公式和扇形的面積公式:l=αr,S=αr2和S=lr;(這里α必須是弧度制下的角)(2)分析題目中的已知量和待求量,靈活選擇公式;(3)根據條件列方程(組)或建立目標函數求解.【補償訓練】已知扇形面積為25cm2,當扇形的圓心角為多大時,扇形的周長取最小值?【解析】設扇形的半徑是R,弧長是l,扇形的周長為y,則y=l+2R.由題意得lR=25,則l=,故y=+2R(R>0).利用函數單調性的定義,可以證明當0<R≤5時,函數y=+2R是減函數;當R>5時,函數y=+2R是增函數.所以當R=5時,y取最小值20,此時l=10,α==2,即當扇形的圓心角為2時,扇形的周長取最小值.【課堂小結】7.2.1三角函數的定義

7.2.2單位圓與三角函數線7.2.3同角三角函數的基本關系式7.2.4誘導公式(一)7.2.4誘導公式(二)

7.2任意角的三角函數1.使銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,在終邊上任取一點P,作PM⊥x軸于M,設P(x,y),|OP|=r,據此回答下列問題:(1)角α的正弦、余弦、正切分別等于什么?提示:sinα=

,cosα=

,tanα=

.(2)對于確定的角α,sinα,cosα,tanα是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變?提示:sinα,cosα,tanα只與α的大小有關,而與點P的位置無關.2.三角函數值的符號與誰有關?提示:角α的三角函數值的符號與點P的坐標x,y的正負有關.【概念生成】1.任意角的三角函數在平面直角坐標系中,設α的終邊上任意一點P的坐標是(x,y),它與原點O的距離是 .正弦:sinα=

;余弦cosα=

;正切tanα=

.2.(1)三角函數的定義域、值域三角函數定義域值域sinα{α|α∈R}[-1,1]cosα{α|α∈R}[-1,1]tanα

R(2)三角函數值的符號如圖所示:正弦:_____象限正,_____象限負;余弦:_____象限正,_____象限負;正切:_____象限正,_____象限負.簡記口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.一二三四一四二三一三二四探究點一任意角三角函數的定義及應用【典例1】(1)若sinα=,cosα=-,則在角α終邊上的點有(

)A.(-4,3) B.(3,-4)C.(4,-3) D.(-3,4)(2)若α=-,則sinα=

,cosα=

,tanα=

.

(3)已知角α的終邊過點P(-3a,4a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.【思維導引】(1)由定義確定終邊位置,結合函數值求解.(2)在α終邊上取一點,利用定義求解.(3)分a>0,a<0兩種情況分別求解.【解析】(1)選A.由sinα,cosα的定義知x=-4,y=3,r=5時,滿足題意.(2)在角-的終邊上取一點P ,則r=1,所以sinα=-,cosα=,tanα=-.答案:

(3)因為r= =5|a|,①若a>0,則r=5a,角α在第二象限.sinα=

=

=

,cosα=

=

=-

,所以2sinα+cosα=

-

=1.②若a<0,則r=-5a,角α在第四象限,sinα=

=-

,cosα=

=

,所以2sinα+cosα=-

+

=-1.綜上2sinα+cosα=±1.【類題通法】由角α終邊上任意一點的坐標求其三角函數值的步驟:1.已知角α的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種:①先利用直線與單位圓相交,求出交點坐標,然后再利用正、余弦函數的定義求出相應三角函數值;②在角α的終邊上任選一點P(x,y),P到原點的距離為r(r>0),則sinα=,cosα=.已知α的終邊求α的三角函數時,用這幾個公式更方便.2.當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時,一定要注意對字母正、負的辨別,若正、負未定,則需分類討論.【定向訓練】已知角θ的終邊經過點P(a,a)(a≠0),求sinθ,cosθ,tanθ.【解析】當a>0時, ,得 , , ;當a<0時, ,得

, , .即a>0時, , , ;a<0時, , , .【補償訓練】已知角α的終邊落在直線y=2x上,求sinα,cosα,tanα的值.【解析】當角α的終邊在第一象限時,在角α的終邊上取點P(1,2),由 ,得當角α的終邊在第三象限時,在角α的終邊上取點Q(-1,-2),由 得探究點二三角函數值符號的判斷【典例2】(1)設θ是第三象限角,且滿足 則在第

象限.

(2)判斷下列各式的符號:①tan120°sin269°;②cos4tan

.【思維導引】(1)由θ是第三象限角,得所在象限,再由從而確定所在象限.(2)首先確定每個角所在的象限,再判斷每個三角函數值的符號.【解析】(1)因為θ是第三象限角,所以2kπ+π<θ<2kπ+π,k∈Z,所以所以在第二、四象限內,又所以sin<0.所以為第四象限角.答案:四(2)①因為120°角是第二象限角,所以tan120°<0.因為269°角是第三象限角,所以sin269°<0.所以tan120°sin269°>0.②因為 所以4弧度角是第三象限角,所以cos4<0,因為所以 是第一象限角,所以所以【類題通法】判斷三角函數值正負的兩個步驟(1)定象限:確定角α所在的象限.(2)定符號:利用三角函數值的符號規律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”來判斷.提醒:若sinα>0,則α的終邊不一定落在第一象限或第二象限內,有可能終邊落在y軸的非負半軸上.【定向訓練】1.若sinαtanα<0,且<0,則角α是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】選C.由sinαtanα<0可知sinα,tanα異號,則α為第二象限角或第三象限角,由<0可知cosα,tanα異號,則α為第三象限角或第四象限角.綜上可知,α為第三象限角.2.確定下列各三角函數值的符號.(1)sin182°.(2)cos(-43°).(3)tanπ.【解析】(1)因為182°是第三象限角,所以sin182°是負的.(2)因為-43°是第四象限角,所以cos(-43°)是正的.(3)因為是第四象限角,所以是負的.【補償訓練】判斷下列式子的符號:sin320°·cos385°·tan155°·tan(-480°).【解析】270°<320°<360°,360°<385°<450°,90°<155°<180°,-540°<-480°<-450°,則320°為第四象限角,385°為第一象限角,155°為第二象限角,-480°為第三象限角,所以sin320°<0,cos385°>0,tan155°<0,tan(-480°)>0,所以sin320°·cos385°·tan155°·tan(-480°)>0,即符號為正.探究點三三角函數的定義域【典例3】求下列函數的定義域:(1)(2)【思維導引】(1)在保證正切函數有意義的前提下滿足分式的分母不等于0.(2)由根號下代數式大于等于0,列出不等式組求交集.【解析】(1)要使函數有意義,需tanx≠0,所以x≠kπ+,k∈Z且x≠kπ,k∈Z,所以x≠,k∈Z.于是函數的定義域是(2)要使函數有意義,需得解得2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.所以函數的定義域是【類題通法】三角函數的定義域的求法求函數的定義域,就是求使函數解析式有意義的自變量x的取值范圍,注意求解結果應用區間或集合形式表示.【定向訓練】求函數 的定義域.【解析】由題意知由y=16-x2的圖像解得16-x2≥0的解集為[-4,4].sinx≥0的解集為[2kπ,2kπ+π],k∈Z.結合數軸知函數定義域為[-4,-π]∪[0,π].【補償訓練】函數 的定義域是

.

【解析】要使函數有意義,則需即x≠kπ+π(k∈Z).答案:

7.2.2單位圓與三角函數線1.如圖,設角α為第一象限角,其終邊與單位圓的交點為P(x,y),則sinα=y,cosα=x都是正數,你能分別用一條線段表示角α的正弦值和余弦值嗎?提示:過角α的終邊與單位圓的交點P,向x軸作垂線,垂足為M,則|MP|=y=sinα,|OM|=x=cosα.2.若角α為第三象限角,其終邊與單位圓的交點為P(x,y),則sinα=y,cosα=x都是負數,此時角α的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示?提示:過角α的終邊與單位圓的交點P,向x軸作垂線,垂足為M,則-|MP|=y=sinα,-|OM|=x=cosα.3.由上面1,2知|MP|=|y|=|sinα|;|OM|=|x|=|cosα|,則怎樣規定一個適當的方向使線段OM,MP的取值與點P的坐標一致?提示:因為直角坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關,所以可以以坐標軸的方向來規定線段OM,MP的方向,當OM,MP的方向與坐標軸的方向相同時,規定為正值;當OM,MP的方向與坐標軸的方向相反時,規定為負值.這樣不論P,M的位置在何處,都有其值與點P的坐標一致.4.如何在單位圓中找像OM,MP這樣的線段來表示角α的正切?提示:如圖,過點A(1,0)作單位圓的切線,與角α的終邊或反向延長線交于點T,根據相似三角形的知識知:【概念生成】1.單位圓(1)一般地,在平面直角坐標系中,坐標滿足x2+y2=1的點組成的集合稱為_______.(2)角α的_____和_____分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標.單位圓余弦正弦2.三角函數線

【思考】三角函數線的方向是怎樣確定的?提示:三角函數線的方向,即規定的有向線段的方向:凡三角函數線與x軸或y軸同向的相應三角函數值為正值,反向的為負值._______、_______、_______都稱為三角函數線.正弦線余弦線正切線探究點一三角函數線的作法【典例1】在單位圓中作出滿足cosα=的角α的終邊,并作出其正弦線、余弦線和正切線.【思維導引】由cosα=,可作直線x=,與單位圓的交點即為角α的終邊與單位圓的交點,然后根據三角函數線的定義得出正弦線、余弦線和正切線.【解析】如圖①,作直線x=交單位圓于點P,Q,則OP,OQ為角α的終邊.如圖②所示,當α的終邊是OP時,角α的正弦線為,余弦線為,正切線為.當α的終邊為OQ時,角α的正弦線為,余弦線為,正切線為.【延伸探究】1.將本例中條件“cosα=”改為“sinα=”,其他條件不變,結論如何?【解析】如圖①作直線y=,交單位圓于P,Q,則OP,OQ為角α的終邊.如圖②所示,當α的終邊是OP時,角α的正弦線為,余弦線為,正切線為.當α的終邊為OQ時,角α的正弦線為,余弦線為,正切線為.2.將本例中條件“cosα=”改為“cosα≥”,其他條件不變,則角α的終邊落在什么范圍?【解析】結合典例1的解析可知,當cosα≥時,角的終邊與相交,角α的終邊落在 內.【類題通法】1.單位圓中求作角的終邊的方法(1)若sinα=m,作出直線y=m與單位圓相交,得交點.若cosα=m,作出直線x=m與單位圓相交,得交點.(2)將原點與交點連線所得射線即為所求角的終邊.2.三角函數線的畫法(1)作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點,然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足,從而得正弦線和余弦線.(2)作正切線時,應從A(1,0)點引單位圓的切線,交角的終邊或終邊的反向延長線于一點T,即可得到正切線AT.【知識延拓】利用三角函數線解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法對于sinα≥b,cosα≥a(sinα≤b,cosα≤a),求解關鍵是恰當地尋求點,只需作直線y=b或x=a與單位圓相交,連接原點與交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據方向即可確定相應的范圍.②正切型不等式的解法對于tanα≥c,取點(1,c)連接該點和原點并反向延長,即得角的終邊所在的位置,結合正切線可確定相應的范圍.【定向訓練】分別作出和 的正弦線、余弦線和正切線.【解析】(1)在直角坐標系中作單位圓,如圖甲,以Ox軸為始邊作角,角的終邊與單位圓交于點P,作PM⊥Ox軸,垂足為M,由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線,與OP的反向延長線交于T點,則即的正弦線為,余弦線為,正切線為.(2)同理可作出的正弦線、余弦線和正切線,如圖乙.

即-π的正弦線為,余弦線為,正切線為.探究點二利用三角函數線比較大小【典例2】利用三角函數線比較下列各組數的大小.(1)sinπ與sinπ.(2)tanπ與tanπ.(3)cosπ與cosπ.【思維導引】在直角坐標系中的單位圓中畫出所給角的三角函數線,利用三角函數線比較三角函數值的大小時,一看三角函數線的長度,二看正負.【解析】如圖所示,畫出π與π的正弦線、余弦線、正切線,由圖觀察可得又(1)sinπ>sinπ.(2)tanπ<tanπ.(3)cosπ>cosπ.【類題通法】利用三角函數線比較函數值大小的關鍵及注意點:(1)關鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數線.(2)注意點:比較大小,既要注意三角函數線的長短,又要注意方向.【定向訓練】已知sinα>sinβ,那么下列命題成立的是 (

)A.若α,β是第一象限角,則cosα>cosβB.若α,β是第二象限角,則tanα>tanβC.若α,β是第三象限角,則cosα>cosβD.若α,β是第四象限角,則tanα>tanβ【解析】選D.如圖(1),α,β的終邊分別為OP,OQ, ,此時所以cosα<cosβ,故A錯;如圖(2),OP,OQ分別為角α,β的終邊,sinα= =sinβ,此時 ,因為tanα=- ,tanβ=-||,所以tanα<tanβ,故B錯;如圖(3),角α,β的終邊分別為OP,OQ,

則sinα>sinβ,此時因為cosβ=-||,cosα=-||,所以cosβ>cosα,故C錯.【補償訓練】比較cos和cos的大小.【解析】如圖,分別為角 的余弦線,由 且與x軸正向相反知cos>cos.探究點三利用單位圓解三角不等式【典例3】在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.(1)sinα≥

.(2)cosα≤-

.【思維導引】作出滿足sinα=,cosα=-的角的終邊,然后根據已知條件確定角α終邊的范圍.【解析】(1)作直線y=,交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍.故滿足條件的角α的集合為.(2)作直線x=-,交單位圓于C,D兩點,連接OC與OD,則OC與OD圍成的區域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍.故滿足條件的角α的集合為.【類題通法】1.通過解答本題,我們可以總結出用三角函數線來解基本的三角不等式的步驟:(1)作出取等號的角的終邊.(2)利用三角函數線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍.(3)將圖中的范圍用不等式表示出來.2.求與三角函數有關的定義域時,先轉化為三角不等式(組),然后借助三角函數線解此不等式(組)即可得函數的定義域.【定向訓練】利用三角函數線,寫出滿足|cosα|>|sinα|的角α的集合.【解析】如圖,作出單位圓.

所以滿足|cosα|>|sinα|的角α的集合為 .【課堂小結】7.2.3同角三角函數的基本關系式sinαcosαtanαsin2α+cos2α

30°

45°60°1.寫出下列各角的三角函數值,觀察它們的值,猜想它們之間的聯系.提示:下列角的三角函數值為:sinαcosαtanαsin2α+cos2α

30°

1

45°

11160°

1

由表可看出:sin230°+cos230°=1,

=tan30°,sin245°+cos245°=1,

=tan45°,sin260°+cos260°=1,

=tan60°.2.設角α的終邊與單位圓交于點P(x,y),根據三角函數的定義知y=sinα,x=cosα,

=tanα.(1)能否根據x,y的關系得到sinα,cosα,tanα的關系?提示:sin2α+cos2α=1,tanα=

.(2)公式sin2α+cos2α=1與tanα=

對任意角都成立嗎?提示:sin2α+cos2α=1對任意角α均成立,當α≠kπ+

,k∈Z時,tanα=

成立.【概念生成】1.同角三角函數的基本關系式(1)平方關系:__________________

(2)商數關系:__________sin2α+cos2α=1.2.常用的等價變形探究點一根據同角三角函數關系求值【典例1】(1)已知sinα=,α是第二象限角,求cosα,tanα.(2)已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求tanθ與sinθ-cosθ的值.【思維導引】(1)先由平方關系sin2α+cos2α=1,結合α所在象限求cosα,然后由tanα=,求tanα.(2)通過平方求出sinθ·cosθ,再由sinθ-cosθ=得到sinθ-cosθ的值,與sinθ+cosθ=聯立,可求得sinθ,cosθ,進而求得tanθ.【解析】(1)因為sin2α+cos2α=1,α是第二象限角,所以 ,故 .(2)由sinθ+cosθ=平方得1+2sinθcosθ=,所以sinθ·cosθ=-,因為θ∈(0,π),所以cosθ<0,sinθ>0,所以sinθ-cosθ= ,與sinθ+cosθ=聯立解得,sinθ=,cosθ=-,所以tanθ= .【類題通法】1.求同角三角函數值的一般步驟(1)根據已知三角函數值的符號,確定角所在的象限.(2)根據(1)中角所在象限確定是否對角所在的象限進行分類討論.(3)利用兩個基本公式求出其余三角函數值.2.已知sinα±cosα的求值問題的解法對于已知sinα±cosα的求值問題,一般利用整體代入的方法來解決,其具體的解法為:(1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα),代入sin2α+cos2α=1,根據角α的終邊所在的象限解二次方程得sinα的值(或cosα的值),再求其他,如tanα(體現方程思想).(2)利用sinα±cosα及sin2α+cos2α=1,先求出sinαcosα的值,然后結合sinα±cosα的值求解sinα,cosα的值,最后求其他.【定向訓練】1.(2020·柳江高一檢測)已知sinθ-cosθ=,則sinθcosθ的值是

.

【解析】由sinθ-cosθ=,兩邊平方可得sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=1-2sinθcosθ=.解得sinθcosθ=.答案:

2.已知sinα=,求cosα,tanα的值.【解析】因為sinα=>0,所以α是第一或第二象限角.當α為第一象限角時, , ;當α為第二象限角時,cosα=,tanα=-.探究點二化簡三角函數式【典例2】化簡與求值:(1)(2)【思維導引】(1)把二次根式中的被開方式化為完全平方式.(2)中所含角α的三角函數次數相對較高,且分子、分母含常數“1”.解答本題中的(1)、(2)時應充分利用“sin2α+cos2α=1”這一條件.【解析】(1)原式=(2)方法一:原式方法二:原式【類題通法】三角函數式的化簡過程中常用的方法(1)化切為弦,即把非正弦、非余弦的函數都化成正弦、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化簡的目的.(2)對于含有根號的,常把根號下式子化成完全平方式,然后去根號,達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數式,往往借助因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數次數,達到化簡的目的.【定向訓練】化簡下列各式:(1) (α是第二象限角).(2)【解析】(1)tanα·

=tanα·

=tanα·

=

.因為α為第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以原式=

(2)

探究點三三角恒等式的證明【典例3】求證:【思維導引】【解析】方法一:因為右邊==左邊,所以原等式成立.方法二:因為左邊=右邊=所以左邊=右邊,原等式成立.【類題通法】證明三角恒等式的基本思路(1)從左向右推導或從右向左推導,一般由繁到簡.(2)左右歸一,即證明左右兩邊都等于同一個式子.(3)化異為同法,即針對題設與結論間的差異,有針對地變形,以消除差異.(4)變更命題法,如要證明,可證ad=bc或證等.(5)比較法,即設法證明“左邊-右邊=0”或“=1”.【定向訓練】證明下列三角恒等式:【解析】左邊=右邊,所以原等式成立.【課堂小結】7.2.4誘導公式(一)1.取角α分別為30°,390°,-330°,它們的三角函數值是什么關系?為什么?提示:它們的同名三角函數值相等,因為三個角的終邊相同.2.觀察單位圓及角的終邊,回答下面的問題:(1)角α與角α+π,-α,π-α的終邊有怎樣的對稱關系?提示:角α與角α+π的終邊關于原點對稱.角α與角-α的終邊關于x軸對稱.角α與角π-α的終邊關于y軸對稱.(2)角α,角π+α,角-α,角π-α的終邊與單位圓的交點分別為P,P1,P2,P3,則P與P1,P與P2,P與P3的坐標有怎樣的關系?提示:P與P1的橫坐標,縱坐標都互為相反數,P與P2的橫坐標相同,縱坐標互為相反數,P與P3的橫坐標互為相反數,縱坐標相同.【概念生成】1.誘導公式①終邊相同的角的同名三角函數值相等.即:cos(α+k·2π)=_______,sin(α+k·2π)=______,

tan(α+k·2π)=______.(k∈Z)

其作用是把絕對值大于2π的任意角的三角函數值轉化為[0,2π)上的角的三角函數值.cosαsinαtanα2.誘導公式②角-α與角α的終邊關于____對稱,cos(-α)=______,sin(-α)=_______,tan(-α)=_______.

其作用是把任意負角的三角函數值轉化為正角的三角函數值.x軸cosα-sinα-tanα3.誘導公式③角π-α與角α的終邊關于____對稱,sin(π-α)=_______,

cos(π-α)=________,

tan(π-α)=________.

y軸sinα-cosα-tanα4.誘導公式④角π+α與角α的終邊關于_____對稱,sin(π+α)=________,cos(π+α)=________.

tan(π+α)=_______.

公式③、公式④的作用是把鈍角或大于180°的角的三角函數值轉化為0°～90°之間的角的三角函數值.原點-sinα-cosαtanα【特別提醒】1.公式①～④中的角α是任意角.2.公式①②③④都叫做誘導公式,它們可概括如下:(1)記憶方法:2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的三角函數值,等于α的同名函數值,前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號,可以簡單地說成“函數名不變,符號看象限”.(2)解釋:“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名;“符號”是指等號右邊是正號還是負號;“看象限”是指假設α是銳角,要看原三角函數值是取正值還是負值,如sin(π+α),若把α看成銳角,則π+α是第三象限角,故sin(π+α)=-sinα.探究點一利用誘導公式解決給角求值問題【典例1】求下列各三角函數值:(1)sinπ.

(2)cos(-765°).

(3)tan(-750°).【思維導引】用誘導公式將負角化為正角,進而再轉化為銳角三角函數求值.【解析】(1)

(2)cos(-765°)=cos765°=cos(2×360°+45°)=cos45°=

.(3)tan(-750°)=-tan750°=-tan(2×360°+30°)=-tan30°=.【類題通法】利用誘導公式求任意角的三角函數的步驟(1)“負化正”——用公式①或②來轉化;(2)“大化小”——用公式①將角化為0°到360°間的角;(3)“小化銳”——用公式③或④將大于90°的角轉化為銳角;(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值.【定向訓練】1.cos510°= (

)A. B. C. D.【解析】選C.cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-.2.求值:(1)(2)【解析】(1)

(2)【補償訓練】求下列三角函數值:(1)sin960°.

(2)cos.【解析】(1)sin960°=sin(960°-720°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-.(2)探究點二利用誘導公式解決化簡問題【典例2】化簡:(1)sin(-α)cos(-α-π)tan(2π+α).(2)【思維導引】先觀察角的特點,選用恰當的誘導公式化簡,然后依據同角關系式求解.【解析】(1)原式=(-sinα)·cos(π+α)·tanα=-sinα·(-cosα)·

=sin2α.(2)原式=【類題通法】利用誘導公式解決三角函數式的化簡方法(1)利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.(2)常用“切化弦”法,即通常將表達式中的切函數化為弦函數.(3)注意“1”的變形應用,即1=sin2α+cos2α=tan.【知識延拓】(1)四組誘導公式的記憶方法:函數名不變,符號看象限(2)0～2π之間的角轉化成銳角的方法:

～π轉化π-α;π～π轉化π+α;π～2π轉化2π-α.【定向訓練】設k為整數,化簡:【解析】當k為偶數時,不妨設k=2m(m∈Z),則原式=當k為奇數時,可設k=2m+1(m∈Z),同理,可得原式=-1.故對任意整數k都有原式=-1.探究點三利用誘導公式解決給值(式)求值問題【典例3】(1)若cos(2π-α)=且α∈,則sin(π-α)= (

)A. B. C.-

D.±(2)已知cos,求cos的值.【思維導引】(1)先對已知式子化簡,再用同角三角函數基本關系式及誘導公式求解問題.(2)先找出已知和問題中兩個角的關系,再用誘導公式求值.【解析】(1)選B.因為cos(2π-α)=cosα=,α∈,所以則sin(π-α)=sinα=-.(2)【延伸探究】1.若本例(2)中的條件不變,如何求cos?【解析】2.若本例(2)中的條件不變,求的值.【解析】因為所以【類題通法】解決條件求值問題策略(1)解決條件求值問題,要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名及有關運算之間的差異及聯系.(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化,也可以將所求式進行變形向已知式轉化.總之,設法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問題的關鍵.【定向訓練】1.在平面直角坐標系中,若角α的終邊經過點P(,1),則sin(π-α)= (

)A. B. C. D.-【解析】選A.由角α的終邊經過點P(,1),可得r=|OP|=2.根據三角函數的定義有:2.若 則sin(2π+α)等于 (

)A. B.± C. D.【解析】選D.由cos(π+α)=-,得cosα=,所以 (α為第四象限角).【補償訓練】若sin(π-α)=log8,且α∈,則cos(π+α)的值為 (

)A.

B.-

C.±

D.以上都不對【解析】選B.因為sin(π-α)=sinα=所以cos(π+α)=-cosα【課堂小結】7.2.4誘導公式(二)

觀察如圖單位圓及角α與-α的終邊.1.角α的終邊與-α的終邊有何關系?提示:它們的終邊關于y=x對稱.2.若設任意角α的終邊與單位圓的交點P1的坐標為(x,y),那么角-α的終邊與單位圓的交點P2的坐標是什么?提示:由于角α的終邊與角-α的終邊關于y=x對稱,所以P2與P1關于y=x對稱,所以P2點的坐標為(y,x).3.結合問題1,2思考-α與α的正弦、余弦值有何關系?提示:sin

=cosα,cos

=sinα.4.你能利用sin

=cosα,cos

=sinα推導出sin

與cosα,cos

與sinα的關系式嗎?提示:sin

=

=cos(-α)=cosα,cos

=cos

=sin(-α)=-sinα.【概念生成】1.誘導公式⑤sin=_______,cos=_______.

2.誘導公式⑥sin=_______