2019-2020學年下學期高一數學第二學期期中模擬測試卷

數學(提高卷)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：2019版人教A第二冊第一章平面向量第二章復數

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.若復數(l-i)(a+i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數。的取值范圍是

A.(-co,1)B.(-oo,-1)

C.(1,+co)D.(―1,+oo)

【答案】B

【解析】設Z=(l—i)(a+i)=(a+l)+(l—a)i,因為復數對應的點在第二象限，所以「“〉。，解得：

a<-l,故選B.

2.已知i是虛數單位，給出下列命題，其中正確的是()

A.滿足|z—/]=[z+z]的復數z對應的點的軌跡是圓

B.若加GZ,Z2=-1,則r+嚴1+B+2+B+3=0

C.復數z=a+初(其中。、Z?eR)的虛部為i

D.在復平面內，實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示虛數

【答案】B

【解析】對于A,設z=x+yi(x,yGR),由|z—z]=|z+z[可得￡+(,一以=尤2+(,+])?,

化簡得y=0,所以，復數z對應的點的軌跡是實軸，不是圓，A錯誤；

對于B,若加eZ,『=—1，則泮+嚴〔+嚴2+嚴3=泮(1+,_1—)=0,B正確；

對于C,復數z=。+初（其中。、ZJGR）的虛部為6,i是虛數單位，C錯誤；

對于D,在復平面內，實軸上的點都表示實數，虛軸上的點除原點外都表示虛數，D錯誤.

故選:B.

3.設非零向量a,匕滿足卜+N=卜—可，貝U（）

A.albB.|a|=WC.allbD.|a|>|^|

【答案】A

【解析】由卜+可=|a-W的幾何意義知，以向量匕為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以a,匕.

故選：A.

4.已知。卜20,卜=3,p,4的夾角為:，則以a=5p+2q/=p—3q為鄰邊的平行四邊形的一條對

角線長為（）

A.15B.V15C.14D.16

【答案】A

【解析】因為p|=20,|q=3,p,4的夾角為工，所以p-q=20><3><cos巴=6,

1144

22

因為|a+例2=\（）p—q|=36/?+/-12p-q=36x8+9-12x6=9x25.'.|?+/2|=15,

\a—b^=|4〃+5q『=16p2+25/+40/9-q=16x8+25x9+40x6=593.，.卜-加二^/^^因此一條對角

線長為15,選A.

5.已知復數4=一1+2,，z2=l-z,z3=3-4z,它們在復平面九。y上所對應的點分別為A,B,C.若

OC=AOA+juOB（九〃wH）,其中。為原點，則X+〃的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

.,.3=—X+LIX=—1

3—41=2（—1+2z）+//（I—z）=><=>J=>X+//=1,選A.

[-4=22-//=2，

6.如圖，在平行四邊形A5CD中，對角線AC與5D交于點。，且AE=2EO,則（）

D

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

【答案】C

【解析】畫出圖形，如下圖.

nil

選取4&勢￡)為基底，則AE=§AO=§AC=5(A3+AD1

1Q1

/.ED=AD-AE=AD——(AB+AD\=-AD--AB.

3、733

故選C.

QDF)

7.在邊長為1的正AA3C中，點D在邊BC上，點E是AC中點，若ADBE=—3,貝!|叱=()

16BC

1137

A.—B.—C.—D.—

4248

【答案】C

【解析\】設AB=ci，AC=b，BD=ABC，則—AB+BD=a+X(b—a)=(1—X)a+Ab,

AD-BE=\[\-A)a+Xb\\-b-a\=^(\-3X)a-b+^-\}a1+-Ab2

BE=AE-AB=-b-a,貝ij(2)22

=^(1-32)+(2-1)+12=|(2-1)=_^

3RD3

故/l=—,即——=工故選c。

4BC4

8.設在AABC中，角A民C所對的邊分別為。，4c,若入cosC+ccos3=asinA,則AABC的形狀為

()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】B

【解析】因為》85。+。858=。5垣4,

所以由正弦定理可得sin3cosC+sinCeos3=sin?A，

sin(B+C)=sin2A=>sinA=sin2A,

TT

所以sinA=l,A=—,所以是直角三角形.故選B。

2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.已知i為虛數單位，下列說法中正確的是()

A.若復數z滿足|z-i|=行，則復數z對應的點在以(1,0)為圓心，出為半徑的圓上

B.若復數z滿足z+|z|=2+8"則復數z=15+足

C.復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模

D.復數Z]對應的向量為OZ],復數Z2對應的向量為az?，若[z]+z2|=|z「z?|,則OZi'OZ?

【答案】CD

【解析】滿足|z-的復數z對應的點在以(0,1)為圓心，石為半徑的圓上，A錯誤；

在B中，設2=4+砥a/eR),則|z|=住z+|z|=2+87,得三+次++加=2+雙,

a+\lci~+b~=2a=-15.

7'解得，o.-.z=-15+8z.B錯誤；

6=8,也=8,

由復數的模的定義知C正確；

由[z]+Z2|=|z「z?|的幾何意義知，以QZ],OZ2為鄰邊的平行四邊形為矩形，從而兩鄰邊垂直，D正確.

故選：CD

10.AABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足AB=2a，AC=2a+0，則下列結論中正確的是

()

A.〃為單位向量B.。為單位向量C.a±bD.(4a+/?)±BC

【答案】AD

［解析】?/等邊三角形ABC的邊長為2,=2。，；?|A31=21a|=2,|a|=1,故A正確;

1?,AC=AB+BC=2a+BC'-=人，；?21=2,故B錯誤；

由于AB=2a,3c=匕，；.a與b的夾角為120。,故C錯誤;

又V(4a+b),BC=4a力+|Z?『=4xlx2x+4=0,(4a+加上BC,故D正確.

故選:AD.

11.點。在AABC所在的平面內，則以下說法正確的有（）

A.若Q4+OB+OC=0,則點O為AA5C的重心

、/

ACBA

B.若04普=OB.總=0,則點。為AABC的垂心

國kUUBCI阿

C.若(。4+OB)-AB=(OB+(9C)BC=0，則點O為AABC的外心

D.若。4?。8=。8。。=0。04,則點0為兒45。的內心

【答案】AC

【解析】解：選項A,設。為的中點，由于。1=—（03+0。）=—20。，所以。為邊上中線的三

等分點（靠近點〃），所以。為AABC的重心；

選項B,向量」工,——分別表示在邊AC和A3上的單位向量，設為AC和A8'，則它們的差是向量

|AC|\AB\

（ACAB）

B'C則當04---------------=0,即OALB'C：時，點。在NS4c的平分線上，同理由

[\AC\\AB\）一

0B,-：--------=0,知點。在NA5C的平分線上，故。為AA5c的內心；

115cl\BA\）

選項C,04+。8是以。4,08為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，而|A目是該平行四邊形的另一條對角

線，43?（。4+03）=0表示這個平行四邊形是菱形，即|。4|=|。8|,同理有|。3|=|。。|,于是。為

AABC的外心；

選項D,由QA-08=03?OC得。8—。8?OC=0，

AOB(OA-OC)=0,即0504=0，???03_LCA.同理可證OA_LC8,OC_LAB，

：.OBLCA,OA±CB,OC.LAB,即點O是AABC的垂心；

故選：AC.

12.在AIBC中，分別是角A氏C的對邊，C為鈍角，且c—>=2》cosA，則下列結論中正確的

是()

911

A.Q=b(b+c)B.A=26C.0<cosA<—D.0<sinB

【答案】ABD

^22_2

【解析】因為c—〃=2》cosA,所以由余弦定理得c—8=2。?匕二~,

2bc

因此c(c-A)=b2+C1一/,整理得/=6(8+c),故A選項正確;

因為c—〃=2〃cosA,所以由正弦定理得sinC—sin5=2sin5COSA,

即sin(A+5)-sin5=2sin5COSA,所以sinAcosB+sinBcosA-2sinBcosA=sinB,

所以sinAcosB-sinBcosA=sin5,所以sin(A-6)=sin6,由于C是鈍角，

所以A—5=8即A=25,故B選項正確；

由于A=2瓦且C>90°,所以0°vA+5<90。,所以0°<3<30°,0°<4<60°,

因此0<sin3<工，cosA〉」,故C選項錯誤,D選項正確

22

故選:ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

1-7_

13.已知復數2=——(i為虛數單位，〃￡尺)是純虛數，則I的虛部為.

a+i

【答案】1

1-i

【解析】因為2=——,故2=

a+i(〃+，)(〃-，)6/2+1

因為z為純虛數，故。=1,所以z=-i,故z=i，故三的虛部為1.

故答案為：1.

14.已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與。4—相等的向量有.

①CT；②A。；③ZM；④BE；⑤CE+BC；?CA-CD⑦AB+AE-

【答案】①

【解析】化簡。4—OC+CD=CA+CD=CF，①合題意；

由正六邊形的性質，結合圖可得向量A。、。4、32與向量方向不同，

根據向量相等的定義可得向量AD、DA>BE與向量CT不相等，

②③④不合題意；

因為++"=，⑤不合題意；

CA—CD=DAHCF，⑥不合題意；

AB+AE=AD^CF-⑦不合題意，故答案為①.

15.如圖，已知A5c的面積為14cm2,D,E分別為邊A3,上的點，且AD:DB=BE:EC=2:1,

AE,CD交于點P,則△APC的面積為cm2.

【答案】4

2-.1--

【解析】設=8。=人，以°,b為一組基底，則AE=a+DC=§a+4

???點AP,E與煎D,P,。分別共線，

21

...存在實數力和〃，使AP=4AE=Xa+§/l沙DP=/^DC=—/Lia+/Lib.

又,/AP=AD+DP=[g+；〃卜+,

21

A=—+一〃,

337

解得

I24

SS22

^AB=^MBC=14x1=8（cm）,5APBC=14x^1-^=2（cm）,

2

???^c=14-8-2=4（cm）.

______兀

16.如圖，在z\A8c中，M為邊BC上一點，BC=4BM，ZAMC=—,AM=2,AABC的面積

為貝1J|CM|=；cosZfiAC=.（本題第一空2分，第二空3分）

【答案】6—上

7

3

【解析】BC=4BM，；-CM=—CB,

又△ABC的面積為46，,3廠，

SAAMC=zSAABC=303

ii/?解得|CM|=6,

S^^-AM-CM-smZAMC^-x2-CM-^-=3yJ3

CB=8,BM=2,

在A4CM中，由余弦定理得，

AC=y/AM2+CM--2AM-CM-cosZAMC=J22+62-2X2X6X13=2^,

27r

在八/如以中，-7i-ZAMC=—,由余弦定理得,

AB=VAM2+BM2-2AM-BM-cos2后

△ABC中，由余弦定理得,

V21

cosABAC-

2ABAC2x20x2小~r

故答案為：6；

7

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）己知，為虛數單位，關于尤的方程（6+i）x+9+切=0（aeR）有實數根b.

（1）求實數。，6的值；

⑵若復數z滿足歸―a—沅卜2忖=0,求z為何值時，忖有最小值，并求出目的最小值.

【答案】（1）a=b=3-,（2）Izl.=0

IImin

【解析】（1）b是方程d—（6+i）x+9+az,=0（aeR）的實數根,

6b+9=o

1

{b-6Z?+9)+(a-Z?)，=0,解得a=Z?=3.

a=b

⑵設z=x+W(x,yeR),由其一3—34=2忖，得(x—3y+[—(丁+3)丁=4(/+y2

即J(x+l)2+(y—l)2=20,它表示復數z對應的點Z到點(-1,1)的距離為20，

構成的圖形是以&（-1,1）為圓心，2&為半徑的圓，如圖所示.

當點Z在。a所在的直線上時，目有最大值或最小值，|。?|=四，半徑「=2及，

二當z=l-z?時，目有最小值，且目

18.（12分）在平面直角坐標系中，已知a=（l,—2）,b=（3,4）.

（I）若（3a叫〃（a+妨），求實數人的值;

（II）若（a—仍），入求實數f的值.

【答案】（I）—；（II）—.

35

【解析】（I）Q?=（l,-2）,1=（3,4）,...3￡—〃=3（1,—2）—（3,4）=（0,—10）,

〃+左5=（1,—2）+左（3,4）=（3左+1,4左一2）,

（3。一/?）〃（〃+左b）,「.一10（3左+1）=0,解得左二一；；

（II）u—tb-（1,—2）—，（3,4）=（1-3，,-2-4%）,

（a-tb）_Lb,「.（a—仍）,/?=3x（1—3%）+4x（―2—4%）=—25/—5=0,角軍得1=—g.

a:

19.（12分）在銳角AAHC中，。、b、。分別為角A、B、C所對的邊，且示1=—

（1）確定角。的大小.

（2）若c=J>,且A46c的面積為孚，求的值.

JT

【答案】（1）c=—；（2）13

3

【解析】（1）號=—=:，；.sinC=3，

sinAsmC2

??,0<NC=90。，???NC=60。.

/c、1，c〃2+/一不]

（2）i3._9at）—o?cosCz---------------——,

SMBC=-absinC=-^32ab2

?**a2+Z?2=13.

20.（12分）設兩個向量萬，彳滿足同=2,g=l.

⑴若伍+涕）但求彳與1r的夾角；

(2)若方與3的夾角為60°,向量45+75與5+區的夾角為鈍角，求實數f的取值范圍.

(后、

【答案】(1)120°；(2)-7,--

<2)2

【解析】⑴由伍+亦=可得：,+司陣OS&r-2忖=1

整理得：cos(a,^--,又向量夾角為[0,180°],故左與后的夾角為120°.

(2)因為2疝+7獷與彳+齒"的夾角為鈍角，

故：同+7?啊+冊<0。即：2M+7村+（*+7）|司限0

整理得：2i'+l5f+7<0，解得：-7<f<--

2

又當2疝+7,與彳+點共線時，

⑵=4,、

設25+7,=周（?+芬）,（4<0）。‘7="'解得"=7?

.當t=一時,女方+7方與彳+曲的夾角為1加"

2

-向量以5+7,與彳+區的夾角為鈍角時，

f的取值范圍是-7.-

22）

21.（12分）如圖，有一位于A處的雷達觀察站發現其北偏東45°，與A相距20匹海里的3處有一貨船正

勻速直線行駛，20分鐘后又測得該船位于A點北偏東45°+0（其中cose=^5），且與A相距5屆海

（1）求該船的行駛速度；

（2）在A處的正南方向20海里E處有一暗礁（不考慮暗礁的面積）.如果貨船繼續行駛，它是否有觸礁的

危險？說明理由.

【答案】（1）156海里/小時；（2）有.

【解析】（1）由題意，AB=20A/2,AC=5^3,ABAC=0

COSe=-^=,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABxACcos6=125,/.BC=575

726

??.航行時間為20分鐘。.?.該船的行駛速度口=半=15際（海里/小時）;

3

(2)