2021-2022學年山東省威海市乳山大孤山鎮初級中學高

三數學理模擬試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.直線1：2x+by+3=0過橢圓C：10(+/=10的一個焦點，則b的值是()

A.-1B.2C.-1或1D.-2或2

參考答案：

C

【考點】直線與圓錐曲線的關系.

［分析］根據期卬片10求出焦點坐標，代入直線方程2x+by+3=0即可求出b的值.

【解答】解：??T0x2+y2=10

x210=1,c=Jl。-1=3,

焦點在y軸上

焦點(0.±3)

?直線1：2x+by+3=0過橢圓C：lOxOy'lO的一個焦點

把點的坐標代入直線方程可得：b=±l,

故選：C

2.已知tan0=2,則sin20+sinecos0-2cos?6=()

4534

A.-3B.4C.-4D.5

參考答案：

D

【考點】三角函數中的恒等變換應用；同角三角函數基本關系的運用.

【專題】計算題.

【分析】利用sin26+cos29=1,令原式除以sin26+cos26,從而把原式轉化成關于tan9

的式子，把tan0=2代入即可.

【解答】解：sin20+sin6cos6-2cos~9

sin28+sin6cos9-2cos29

=sin20+cos29

tan28+tan8-2

=tan28+1

4+2-24

=4+1=5.

故選D.

【點評】本題主要考查了三角函數的恒等變換應用.本題利用了sinZ9+cos20=l巧妙的

完成弦切互化.

3.定義在R上的函數“X）滿足：/（x-l）=/a+1）=/（l-x）成立，且」（x）St-LQ]

上單調遞增，設。=/（5力=/（&）（=/（2）,貝ija、b、c的大小關系是（）

A.a>b>cB.a>c>bc.b>c>a

D.c>b>a

參考答案：

A

4.已知正項等比數列（4｝中，用為其前項和月，且的4=L5=7則品=

（）

1531

A.2B.4C.

3317

T0.~2

參考答案：

B

略

5.在直角坐標系中，直線x+島-3二。的傾斜角是（）

nn5”2”

A.6B.3c.TD.T

參考答案：

C

57r

因為直線的斜率為3，所以此直線的傾斜角為6.

6.若一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是

直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的

個數為

MMM

A.1B.2

c.3D.4

參考答案:

D

參考答案:

B

n

8.命題“若口-3,

則2”的逆否命題是

nn

a*一sina*ex——…魚

A.若3,則2B.若3,則2

nn

aw一j3也a=-

C.若2,則3D.若2,則3

參考答案：

C

9.已知命題P實數x滿足logaX>log&(lr),其中0<a<1；命題9實數x滿足

-1<X<1；則P是0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

A

K

10.將函數y二cos2x+l的圖象向右平移4個單位，再向下平移一個單位后得到y二f(x)的

圖象，則函數f(x)=()

nn

A.cos(2x+4)B.cos(2x-4)C.sin2xD.-sin2x

參考答案：

C

考點：函數y=Asin(3x+0)的圖象變換.

專題：三角函數的圖像與性質.

分析：根據三角函數的平移關系即可得到結論.

K兀

解答：解：把函數尸cos2x+l的圖象向右平移N個單位，得尸COS2(X-N)

+I=sin2x+1,

再向下平移1個單位，得y=sin2x+l-l=sin2x.

，函數f(x)=sin2x.

故選：C.

點評：本題主要考查三角函數的平移.三角函數的平移原則為左加右減上加下減，是基礎

題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知數列｛如｝的前〃項和為S,”KS-=2"，+"+1"€”求4=.

參考答案：

-J

12.已知平面向量Q=(xJ),2=(2.-2),若2〃譏則實數x的值為.

參考答案：

-I

略

13.如下圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結果是.

MdOflB

參考答案：

15

14..某大學對1000名學生的自主招生水平測試成績進行統計，

得到不合格的成績的頻率為0.4,則合格的人數是.

參考答案：

600

略

15.若在區間［0,1］上存在實數x使才(3x+a)<1成立，則a的取值范圍

是?

參考答案：

(-8,1)【知識點】函數的單調性與最值B3

2*(3x+a)VI可化為aV2r-3x,

則在區間［0,1］上存在實數x使2'(3x+a)<1成立，等價于a<(2x-3x)修，

而2r-3x在［0,1］上單調遞減，.\2f-3x的最大值為2"-0=1,

故a的取值范圍是(-°°,1).

【思路點撥】才(3x+a)<1可化為a<2=3x,則在區間［0,1］上存在實數x使才

(3x+a)<1成立，等價于a<(2s-3x)網,利用函數的單調性可求最值.

16.對于函數f(x),若?a,b,cGR,f(a),f(b),f(c)為某一三角形的三邊長，

x,.

e+t

則稱f(x)為“可構造三角形函數”，已知函數f(x)=ex+l是“可構造三角形函

數”，則實數t的取值范圍是

參考答案：

總，2]

【考點】指數函數的圖象與性質.

【分析】因對任意實數a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)為三邊長的三角形，

則f(a)+f(b)>f(c)恒成立，將f(x)解析式用分離常數法變形，由均值不等式可

得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t-1的符號決定，故分為三類討論，根據函

數的單調性求出函數的值域，然后討論k轉化為f(a)+f(b)的最小值與f(c)的最大

值的不等式，進而求出實數t的取值范圍.

【解答】解：由題意可得f(a)+f(b)>f(c)對于?a,b,c€R都恒成立，

e'+tt-1

由于f(x)=ex+l=l+ex+l,

①當t-1=0,f(x)=1,此時，f(a),f(b),f(c)都為1,構成一個等邊三角形的

三邊長，

滿足條件.

②當t-l>0,f(x)在R上是減函數，l<f(a)<l+t-l=t,

同理l<f(b)<t,l<f(c)<t,

由f(a)+f(b)>f(c),可得2Nt,解得l<tW2.

③當f(x)在R上是增函數，t<f(a)<1,

同理t<f(b)<1,t<f(c)<1,

1

由f(a)+f(b)>f(c),可得2t21,解得l>t^2.

1

綜上可得，2WtW2,

1

故實數t的取值范圍是2,2].

【點評】本題主要考查了求參數的取值范圍，以及構成三角形的條件和利用函數的單調性

求函數的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于難題.

17.（09南通交流卷）為了解一片大約一萬株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹

木的底部周長（單位：cm）.根據所得數據畫出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片

樹木中，底部周長小于110cm的株樹大約是▲

參考答案：

答案：7000

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分14分）

己知動圓C過定點〃（°工），且在X軸上截得弦長為4.設該動圓圓心的軌跡為曲線

C.

（1）求曲線C方程；

（2）點/為直線，：x-y-2二°上任意一點，過/作曲線c的切線，切點分別為

p、

Q,以產。面積的最小值及此時點A的坐標.

參考答案：

【知識點】橢圓方程直線與橢圓位置關系H5118

（1）r-4V.（2）其最小值為4,此時點/的坐標為（2°）.

（1）設動圓圓心坐標為「（XJ）,根據題意得

口'+3-2）'一辦:4,

（2分）

化簡得

JT：-4v

（2分）

（2）解法一：設直線的方程為〉=云牌，

X2=4y

由心r+A消去照得x-4H-4A0

X+X2="44

設PG，.v）,0（x,i，；），則〔XX1-4t）,且

A16*:-16A（2分）

zII/、

V.-X.y-v--r（x-x.）

以點尸為切點的切線的斜率為2其切線方程為.’2

同理過點Q的切線的方程為.2-4~

設兩條切線的交點為小丹,外）在直線x-2=°上,

解得產4，即4（況-防

則：2k|h2=0,即

A=2_”

（2分）

代入A=-32-32*-16（A-If-16>0

.1PQUJl+lr；-x,h4\：'1+/&'+b

力（衰、〃）到直線尸。的距離為

|求'+22>

（2分）

=4（*1-2A-2）2=<（*-I）1+1]2

..當A1時，S“u最小，其最小值為4,此時點力的坐標為

(2,0).（4分）

解法二：設在直線工一產一2=°上，點廣。-1'.）,。（七,上）在拋物線

X；二4y

■，I1Z

V：--x.y-y--xo

上，則以點尸為切點的切線的斜率為2I其切線方程為一02

同理以點2為切點的方程為

4

設兩條切線的均過點則一

...點己。的坐標均滿足方程

>U=2XX：~y,即直線尸。的方程為：

,=產一.%

(2分)

代入拋物線方程-4y消去y可得:

工'一次公4穌_0

?1尸。=,+I須-Wl=J+，梃：—16=

小心兒)到直線PQ的距離為

-2%

“一2一

frrr;

丫盧+1(2分)

如2

?■.S=||PO|-rf=||^-4v0|?&-4yo='(毛2-4>，0)，

工L工

1111

7

=7(仆>―43+8尸=-l(rc-2)+4廣

4w

所以當M2時，51八,最小，其最小值為4,此時點/I的坐標為

(2,0).(4分)

【思路點撥】設動圓圓心坐標為C(XJ),根據題意得Jx'+U-2)'—"爐+4化即可得

曲線C方程；直線的方程為〉=hfb,與拋物線聯立可得x-4收一480由此利

用根的判別式、韋達定理、切線方程、點到直線的距離公式能求出二叩Q面積的最小值及

此時上點的坐標.

19.2017?平頂山一模)已知函數f(x)=|x-2|+|x+l.

(I)解不等式f(x)>5：

2

(H)若f(x)>(log2a).l°g啦a對任意實數x恒成立，求a的取值范圍.

參考答案：

【考點】函數恒成立問題；絕對值不等式的解法.

【分析】(I)去掉絕對值符號，然后求解不等式即可解不等式f(X)>5；

(II)利用絕對值的幾何意義，求出f(x)的最小值，利用恒成立，轉化不等式求解即

可.

【解答】(本小題滿分10分)

(x>2

解：(I)原不等式可化為：11-2x>5或13>5或［2x-l>5.…(3分)

解得：x<-2或x>3,

所以解集為：(-8,-2)U(3,+8).…

(II)因為|x-2+|x+lI>|x-2-(x+1)|=3,(7分)

所以f(x)23,當xW-1時等號成立.所以f(x)mi?=3.

2:<,2

又(log2a)-logAy^a<3^(log2a)-21og2a-340O-l《log2a43

故28....(io分)

【點評】本題考查函數的恒成立，函數的最值的求法，絕對值不等式的幾何意義的應用,

考查轉化思想以及計算能力.

20.(本小題滿分12分)函數於)=Asin(cox+3)的部分圖象如圖所示

(1)求犬x)的解析式;

(2)設g(x)=,求函數g(x)在在上的最大值，并確定此時x的值.

參考答案:

解析：（1）由圖知A=2,

=，則=4x,3=.

又/=2sin=2sin=0,

sin=O,

???Ov0v,

?.一<（!>—<,

，0—=0,即9=,

，段）的解析式為段）=2sin.（6分）

（2）由（1）可得/=2sin

=2sin,

，g（x）==4x

=2—2cos,（8分）

,；?——<3x+<,

當3x+=兀，即X=時，g（x）max=4.（12分）

略

,,o-e.4*./V八..皿/(*)yfist.nIcosX-cos1*--_D

21.(本小題滿分12分)已知函數J-2,TxeR

(I)求函數了")的最大值和最小正周期；(H)設的內角的對邊分

別且?3,/(0=0,若S&+G=2anA求&力的值.

參考答案：

73l+cos2x1開

/(X)=——stn2x---------------------sin(2x—)-1

解析：(1)226........3分

7=至=開

則/5)的最大值為0,最小正周期是一三一..............6分

(2)/(°=Sin<2C-.)?1=0則51nQC-.)=1

vO<C<?r0<2C<2^--<2C--<—/r2C--=-C=-

666623

a_1

???sm(4+C)=2sin4由正弦定理得g=2①............................9分

由余弦定理得3即必=9②

由①②解得a=君b=243.....................................12分

22.(本小題滿分12分)

已知a是實常數，函數〃*)-*加,+。，’，

(1)若曲線￥=〃<)在x=1處的切線過點川0尸2),求實數a的值；

(2)若"Q有兩個極值點X”x2(X,<x2)

——<a<0

①求證：2;

②求證：2。

參考答案：

（1）由已知：/'（。*（?＞0）,切點

pM……1分

切線方程：?（勿.】）（"一）把（0尸2）代入得：2=

1……3分

（2）（I）依題意：/'（*）=°有兩個不等實根

設g㈤二—，則：?（*）*-?20（?＞°）

①當aNO時：gV）＞0,所以g（G是增函數，