Page20Page20湖北省恩施市2024-2025學年高一數(shù)學下學期3月聯(lián)考試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，則“在區(qū)間上有零點”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用特例法結合充分條件、必要條件的定義推斷可得出結論.【詳解】已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，若在區(qū)間上有零點，不妨取，則，即“在區(qū)間上有零點”“”；另一方面，若，不妨取，則在上無零點，即“在區(qū)間上有零點”“”.故“在區(qū)間上有零點”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.2.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把鄭鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，鄭鐵餅者的手臂長約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，則鄭鐵餅者雙手之間的距離約為（）A.1.01米 B.1.76米 C.2.04米 D.2.94米【答案】B【解析】【分析】先由題意求出“弓”所在的弧長所對的圓心角，然后利用三角函數(shù)求弦長【詳解】由題意得，“弓”所在的弧長為，所以其所對的圓心角的肯定值為，所以兩手之間的距離．故選：B3.數(shù)學可以刻畫現(xiàn)實世界中的和諧美，人體結構、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關．黃金分割常數(shù)也可以表示成，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)平方關系，誘導公式，二倍角公式進行求解.【詳解】故選：A4.下列關系中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性，借助臨界值可確定A錯誤；依據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)單調性可知B正確；依據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調性和對稱性，可推斷CD正誤.【詳解】對于A，，，A錯誤；對于B，在上單調遞減，，；又，，B正確；對于C，在上單調遞增，在上單調遞減，；又關于對稱，，，，，，C錯誤；對于D，在上單調遞減，在上單調遞增，；又關于對稱，，，，，，D錯誤.故選：B.5.已知，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式及指對數(shù)的性質分析分段函數(shù)的性質，求函數(shù)時對應值，應用數(shù)形結合法推斷零點個數(shù).【詳解】由題設，當時且遞減，當時且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時有一個零點，時有兩個零點，故共有3個零點.故選：C6.已知，則A.的取值范圍是 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的取值范圍是【答案】C【解析】【分析】去掉肯定值，得到，相加即可．【詳解】，

由①+②得：，

故選C．【點睛】本題考查了解肯定值不等式問題，考查三角函數(shù)，是一道基礎題．7.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，以及同角三角函數(shù)關系，整理化簡即可求得正切值.【詳解】因為，即，解得.故選：C.8.已知，給出下列結論：①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，則ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱；③若f(x)在[0，2π]上恰有7個零點，則ω取值范圍為；④若f(x)在上單調遞增，則ω的取值范圍為.其中，全部正確結論的編號是（）A.①② B.②③ C.①③ D.②④【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)化簡可得，進而結合三角函數(shù)的最值、周期性、單調性、零點、對稱性及平移變換，對四個命題逐個分析，可選出答案.【詳解】∵，∴的最小正周期為.對于①：因為f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，所以的最小正周期為T=2π，.故①錯誤；對于②：圖象變換后所得函數(shù)為，若其圖象關于y軸對稱，則，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，當k=0時，.故②正確；對于③：設，當時，.在上有7個零點，即在上有7個零點.則，解得.故③錯誤；對于④：由，得，取k=0，可得，若f(x)在上單調遞增，則，解得.故④正確.故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的恒等變形和正弦函數(shù)的單調性、周期性、奇偶性、零點等學問，解答③的關鍵是先化簡函數(shù)不等式得，設，當時，，將問題轉化為在上有7個零點.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.設，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意，又，從而即可求解.【詳解】解：因為，，所以，又，即，所以，，故選：BC.10.是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿意，，則下列結論正確的是（）A.是單位向量 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A.依據(jù)是邊長為2的等邊三角形和推斷；B.依據(jù)，，利用平面對量的減法運算得到推斷；C.依據(jù)，利用數(shù)量積運算推斷；D.依據(jù)，，利用數(shù)量積運算推斷.【詳解】A.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因為，，所以，所以，故正確；C.因為，所以，故錯誤；D.因為，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查平面對量的概念，線性運算以及數(shù)量積運算，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.11.圓的圓心坐標和半徑分別為（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解【詳解】可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為.故選：C12.函數(shù)，下列四個選項正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.的圖象關于直線，（）對稱C.當且僅當，（）時，取得最小值-1D.當且僅當，（）時，【答案】BD【解析】【分析】首先將函數(shù)的解析式化簡得到，由可推斷A，對于BD選項，因為函數(shù)的周期為，都只須要驗證函數(shù)的一個周期內成馬上可，B選項依據(jù)解析式推斷是否成立；對于D選項將分成和兩段，分別求出函數(shù)的值域；對于C選項將，分兩種狀況和，代入函數(shù)的解析式，驗證是否能夠取得函數(shù)的最小值；【詳解】因為和的周期為，所以對隨意的，恒成立所以函數(shù)的周期為，且所以函數(shù)的周期不是，故A選項錯誤；在一個周期內，當，則，，當，則，，綜上：對于隨意都成立，則函數(shù)圖像關于直線對稱，又因為函數(shù)的周期為，所以圖象關于直線對稱，故B選項正確；當，取得最小值，而當，不是最小值，故C選項錯誤；當時，當時，所以時，，又因為函數(shù)的周期為，所以當且僅當時，，故D選項正確；故答案為：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)（且）恒過定點，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)恒過定點，可得，解得，所以.故答案為：.14.如圖，在中，D是的中點，E是的中點，F(xiàn)是的中點，若，，則用，表示的結果為______．【答案】【解析】【分析】利用向量的線性運算，可得，從而可得.詳解】解：由題意，可得，是的中點，E是的中點，F(xiàn)是的中點，∴，同理，，，.故答案為：.15.已知函數(shù)對于隨意，都有成立，則______．【答案】【解析】【分析】利用協(xié)助角公式可得，其中，又對于隨意，都有成立，可得，，從而利用誘導公式即可求解.【詳解】解：，其中，因為對于隨意，都有成立，所以，所以，，即，，所以.故答案為：.16.在平面直角坐標系中，對隨意角，設的終邊上異于原點的隨意一點的坐標為，它與原點的距離是.我們規(guī)定：比值分別叫做角的正割?余割?余切，分別記作，，，把分別叫做正割函數(shù)?余割函數(shù)?余切函數(shù)，則下列敘述正確的有___________(填上全部正確的序號)①；②；③的定義域為；④；⑤.【答案】②④⑤【解析】【分析】由題設新定義知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可推斷各項的正誤.【詳解】①，故錯誤；②，故正確；③，即，有，故錯誤；④，故正確；⑤，所以，故正確故答案為：②④⑤【點睛】關鍵點點睛：新定義有，，，結合三角恒等變換推斷各項的正誤.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值取范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出；（2）由，可知，得到不等式組，即得.【小問1詳解】∵，，，或，∴或；【小問2詳解】∵，，由，得，，解得，∴實數(shù)的值取范圍為.18.如圖：四邊形ABCD是邊長為4菱形，∠ABC=，E為AO的中點，（）．（1）求；（2）求當取最小值時，的值．【答案】（1）24（2）【解析】【分析】（1）由平行四邊形法則結合數(shù)量積公式得出；（2）當時，取到最小值，再由直角三角形的邊角關系得出，進而得出的值．【小問1詳解】，【小問2詳解】當時，取到最小值，此時∴19.已知a為常數(shù)，設函數(shù)的表達式為．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)解、，且，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，利用基本不等式即可求解最小值；（2）探討，，結合的圖象與直線的交點個數(shù)及一元二次方程的韋達定理，解不等式即可得答案．【小問1詳解】解：函數(shù)，因為，，當且僅當，即時等號成立，所以，所以函數(shù)的最小值為．【小問2詳解】解：當時，在上遞增，只有一個實根，不合題意；當時，，當且僅當時，取得最小值，方程有兩個不等的實根等價為與的圖象有兩個交點．當直線與相切時，，解得；設，則，即，可得，，①且，即，由，不妨設，，，可得，即，②由①②可得，且，解得，所以的取值范圍是．20.已知函數(shù)，．（1）求；（2）若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)m的取值集合．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）結合二倍角公式、兩角和的余弦公式，協(xié)助角公式化簡可得，再代入，計算即可；（2）令，，原問題可轉化為在，上只有一個解，分析即可得解．【小問1詳解】，所以．【小問2詳解】因為，，所以，，令，則，，所以，函數(shù)只有一個零點等價于方程只有一個解，即，也即在，上只有一個解，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象，可得或，所以或故實數(shù)的取值集合為或21.如圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線，直線l與，，都垂直，垂足分別是點A、點B和點C（高速線右側邊緣），直線與，與的距離分別為1千米、2千米，點M和點N分別在直線和上，且滿意，記．（1）若，求的長度；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由題可得由，進而可得，即求；（2）由題可得，然后利用正弦函數(shù)的性質及二次函數(shù)的性質即得.【小問1詳解】由題可知，，，∴∴；【小問2詳解】由題可知，，即，∴，令，由題意可知，則，即的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的奇偶性；（2）設集合，若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析（2）【解析】【分析】（1）按參數(shù)a分類探討函數(shù)的奇偶性即可解決；（2）把已知條件轉化為成立，是本題關鍵入手點，接下來按x分類探討去肯定值符號，保證新建函數(shù)最小值非負即可.【小問1詳解】時，，對，所以是上的奇函數(shù)；當a≠0時，f(1)＝3＋3a，f(＋f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．【小問2詳解】因為，所以，即(x＋1)3＋2(x＋1)＋3a|x＋1|≥＋2x＋3a|x|，化簡得，因為，所以，所以，當時，，所以，所以；當時，，即，設，，所以，時，，的對稱軸方程為，當時，即時，在：上單調遞增，所以成立；當，即時，成立，所以