教學(xué)目的：掌握二階常系數(shù)線性方程的求解方法教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次和非齊次線性方程的求解教學(xué)難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性方程的特解二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為這里p、q是常數(shù)，是x的已知函數(shù)．當(dāng)恒等于零時(shí)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，否那么稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．二階常系數(shù)線性微分方程證與為方程的解，則，又，，定理即為方程的解．于是在不恒等于常數(shù)的條件下，中含有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)和所以是方程的通解．定理

設(shè)與為的相互獨(dú)立的兩個(gè)特解(即不恒等于常數(shù))，為方程的通解，這里與則為任意常數(shù)．設(shè)為方程(8-22)的解，則，代入方程(8-22)得.由于，所我們把代數(shù)方程(8-23)稱為微分方程(8-22)的特征方程，特征方程的根稱為特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三種不同的情況，相應(yīng)地可得到微分方程(8-22)的三種不同形式的通解．以有（8-23）只要r滿足(8-23)式，函數(shù)就是微分方程(8-22)的解．特征方程與特征根(i)當(dāng)時(shí)，特征方程(8-23)有兩個(gè)不相等的實(shí)根和，此時(shí)可得方程(8-22)的兩個(gè)特解：，(ii)當(dāng)時(shí)，特征方程(8-23)有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)得微分方程(8-22)的一個(gè)特解且常數(shù)，故是方程(8-22)的通解．為求(8-22)的通解，還需求出與相互獨(dú)立的另一解.特征方程與特征根不妨設(shè)，則，，．將及代入方程(8-22)，得將上式約去并合并同類項(xiàng)，得由于是特征方程(8-23)的二重根，因此，且于是得不妨取由此得到微分方程(8-22)的另一個(gè)特解且常數(shù)，從而得到微分方程(8-22)的通解為即證明(iii)當(dāng)時(shí)，特征方程(8-23)有一對(duì)共軛復(fù)根將和改寫成于是得到兩個(gè)新的實(shí)函數(shù)故微分方程(8-22)的通解為于是得到微分方程(8-22)的兩個(gè)特解但它們是復(fù)數(shù)形式，為應(yīng)用方便，利用歐拉公式可以驗(yàn)證它們?nèi)允?8-22)的解，且常數(shù)，證明綜上所述，求微分方程通解的步驟可歸納如下： 第一步寫出微分方程(8-22)的特征方程，求第二步根據(jù)特征根的不同形式，按照下表寫出微分方程出特征根；(8-22)的通解：表6-1

求通解步驟例1求微分方程的通解．解所給微分方程的特征方程為特征根為于是，所求微分方程的通解為例2求微分方程的滿足初始條件解所給微分方程的特征方程為特征根．故所求微分方程的通解為求導(dǎo)得將初始條件及代入以上兩式求得的特解．例題故所求特解為例3設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿足試求函數(shù).解由上述方程知．方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得由此可得．上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得這是二階常系數(shù)齊次線性方程，其特征方程為特征根于是，所求微分方程的通解為例題由此得由，得所以本節(jié)介紹的求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高階的常系數(shù)齊次線性方程．例4求四階微分方程的通解．解所給微分方程的特征方程為，即其特征根為于是得方程的通解例題二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程從第二節(jié)的討論知，一階非齊次線性微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和．而二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有相類似的性質(zhì)．定理2設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，而為對(duì)應(yīng)于方程(8-24)的齊次線性微分方(8-24)為方程(8-24)的通解．程的通解，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程由此結(jié)論可知，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解，可按下面三個(gè)步驟來求：②求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解③原方程的通解為求其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解Y二階非齊次方程解題步驟(i)其中是常數(shù)，是的次多項(xiàng)式:求齊次線性微分方程的通解Y的方法前面已討論過，所以只要研究一下如何求非齊次方程的一個(gè)特解就行．限于篇幅,這里只討論f(x)為以下兩種形式的情形．多項(xiàng)式，其中有一個(gè)可為零．、(ii)，其中和是常數(shù)，分別是的次和次特解的求法中的待定系數(shù)．代入到原方程中，確定對(duì)于以上兩種情形，下面用待定系數(shù)法來求方程的一個(gè)特解，其根本思想是：先根據(jù)的特點(diǎn)，確定特解的類型，然后把Ⅰ.型因?yàn)榉匠?8-24)右端是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，而多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)仍然是同一類型的函數(shù)，因此，我們推測(cè)(其中是某個(gè)多項(xiàng)式)可能是方程(8-24)的一個(gè)解，把、及代入方程(8-24)，求出的系數(shù)，使?jié)M足方程(8-24)即可．，

為此將待定系數(shù)法代入方程(8-24)并消去，得．(8-25)如果不是方程(8-24)的特征方程的根，由于是一個(gè)次多項(xiàng)式，要使方程(8-25)的兩端恒等，可令為另一個(gè)次多項(xiàng)式，即設(shè)為其中為待定系數(shù)，將代入(8-25)，比較等式兩端同次冪的系數(shù)，可得含有的個(gè)方程的聯(lián)立方程．得到所求特解組，解出第一講初等函數(shù)并且可用同樣的方法確定的系數(shù)．如果是特征方程的重根，即且要使兩端恒等，必須是次多項(xiàng)式，此時(shí)可令并且利用同樣的方法確定的系數(shù)．特征方程要使兩端恒等，如果是特征方程的單根，即，但必須是次多項(xiàng)式，此時(shí)可令l綜上所述，我們有以下結(jié)論：同次(m次)的多項(xiàng)式，而k按不是特征方程的根、解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且右端，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方如果的特解；其中是與程(8-24)具有形如是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2.例5求方程的通解．，其中函數(shù)形如先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，其特征方程是特征方程特征根對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因?yàn)椴皇翘卣鞲蚨蠓匠逃行稳绲奶亟猓捎趯⑺鼈兇朐匠讨斜容^上式兩端的同次冪的系數(shù)可得解方程組得故所求方程的一個(gè)特解為從而所求方程的通解為得恒等式特解類型1解所求方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且右端函，其中所求解的方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為由于是二重特征根，所以設(shè)所求方程有形如的特解．將它代入所求方程可得比較等式兩端x的同次冪的系數(shù)，得于是得所求方程的一個(gè)特解為最后得所求方程的通解為例6求方程的通解．?dāng)?shù)形如例題可以推證，如果那么二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(8-24)的特解可設(shè)為其中是m次多項(xiàng)式，而k按不是特征