高等數學第二冊

第七章空間解析幾何及向量代數

在這一章中,首先建立空間直角坐標系,引進自由向量,并以坐標和向量為

根底?用代數的方法探討空間的平面和直線?在此根底上?介紹一些常用的空間

曲線及曲面。通過這一章的學習，培育空間想象實力?嫻熟的向量代數的計算實

力和推理'演繹的邏輯思維實力。也為學習多元微積分做打算。

重點：曲面方程，曲線方程

難點：較深入地理解曲面（平面）'曲線（直線）方程，并能把握方程所表示

的圖形的特征。

（—）

1?空間笛卡爾坐標系的構成：空間的一個定點。-連同三個兩兩互相垂直的

有序向量組1稱為笛卡爾坐標系。當G，02，03的互相關系和右手拇指'食指'

中指一樣時，稱為右手坐標系。在通常的探討中-常用右手笛卡爾坐標系。關于

一般的坐標系稱為仿射坐標系'有爰好的同學可參閱《空間解析幾何》這類專業

教材。

2?空間向量可以從兩個途徑來相識：

①由定義：具有大小和方向的量稱為向量，因此可由方向（可由方向角來確

定）連同大小（模長）來確定（留意，這樣定義的向量稱為自由向量，簡稱向量?

自由向量及起點和終點無關）。書上往往用黑體字母表示，手寫時用黑體并不便

利，常在字母上面加一個箭頭表示，例：AB，M等。

②可由向量的坐標來把握向量。必需分清向量坐標及點坐標這兩個概念'—

般狀況下，設“=｛x,y,z｝的始點的坐標分別為（玉，%2，%3），（%，為，＞3）,則

a=｛x2%一-zj,即向量的坐標及向量的起點及終點的坐標間有下列關

系：

x=0-七，丁=乃-M，z=Z2-4。因此，若確定了向量的坐標，則這個向量就確

定了。

當向量的起點及坐標系的原點重合時'向量的坐標及向量的終點的坐標在

數值上相等。

3?在學習向量的代數運算時，利用幾何或物理模型比擬簡潔駕馭。如求向量

的加法和減法可以平行四邊形或以力的相加或相減為模型，求兩向量的數量積可

以求力在某段路程上所作的功為模型?求兩向量的向量積可以求力關于某點的力

矩為模型?并要嫻熟駕馭每種運算的算律。

4?一個平面具有各種形式的方程，如點法式?三點式?截距式?一般式。在

學習平面的各種形式的方程時，對方程中常數的幾何意義應引起充分的留意。如：

平面方程Ax+為+Q+D=°,則｛ABC｝為平面的一個法向量-建立平面的方程時

應依據條件敏捷處理。點法式方程是應用較便利?常用的方程類型?這是因為在

探討平面問題時，平面的法向量常常起著關鍵性的作用。

5?確定空間一條直線的方法許多，在《高等數學》中把它歸結為由直線上的

一個定點和及直線平行的一個非零向量來確定，或將它看成兩個平面的交線。空

間直線的標準式方程及參數式方程，二維空間中的直線均有對應的形式?但要留

意?只有空間直線可看成兩個平面的交線。

6-在《高等數學》中，常用的曲面方程為：

橢球面方■當。=6或b=c或c=a時為旋轉橢球面，當a=/?=c時，

程為球面方程。

雙曲面方

程

X2y2Z2

錐面方程---11-0,cibcw0

a--b---c

22

二+二,橢圓拋物面

拋物面方pq

2z=<

22

程2-二，雙曲拋物面

PQ，其中pq>°

M，z)=o,母線平行于x軸的柱面方程

柱面方程

M》,z)=o,母線平行于y軸的柱面方程

旋轉面方，繞z軸旋轉所得旋轉面方程f±4-￥2+y2,z1=0

\/x2+z2j

、繞y軸旋轉所得旋轉面方程f=0

程母線V土

(二)

1?向量在軸上的投影是個常用的概念，要留意向量在軸上的投影是一個數量

而不是一個向量，也不是一個線段。

設向量,其中投影軸為/,點A,3在軸上的投影分別為4，B',若取及

軸同方向的單位向量為，則有葡=也稱X為癡在軸/上的投影。因此向量前在

軸上的投影不是有向線段軸-而是一個數值，記為P門而，易知

Prj,AB=\AB\cos（p,其中。為蕊及軸/的夾角。

2?向量在坐標軸上的投影稱為向量的坐標。

3?向量的數量積，向量積一覽表：

a-baxb

—??—*（f人—、*

axb=\a\\b\sinab,

1）?其中

a-b=\a\\b\b

〃。是同時垂直于M的單位

定義4

向量，且a，B，〃。按右手系

排列

坐標表a=\ax,ay,az\,b=\bx,by,bz}a=\ax,ay,az],b=\bx,by,bz}

示a-b=axbx+ayby+azbz

特征性a.Lba-b=0allb==6

質即4b*+ayby+azbz=0即

點峪到平面萬的間點M（X|，%，zJ到直線/的間隔

隔為1，（*D，其為d^/oXM；必I,（*2）,其中/（）

幾何應中公為平面〃的單位法向為直線/上的單位向量-M。

用量，%是萬上的任一點?當是直線/上的任一點。當d=0

2=0時，（*1）式給出動點M時，（*2）式給出動點監所滿

所滿意的平面的方程。意的直線的方程。

4?要嫻熟駕馭平面，直線的各種形式的方程互化，關鍵在于明確在各種形式

的方程中?各個量（常量'變量）的幾何意義以及它們之間的笑系?在此根底上，

互化是簡潔做到的。如建立平面的三點式方程時?若硬記公式則不簡潔記牢的?

但從三個向量共面的角度去思索就能牢牢地記住。

5?要深入理解空間直角坐標系下平面的方程是一個關于％-，，z的一次方

程。反之，任何一個關于大，，，z的一次方程都表示一個平面。

6?平面及平面'直線及直線、平面及直線間的位置關系均是通過平面的法向

量間，直線的方向向量間，或平面法向量及直線的方向向量間的位置關系來探討?

因此可歸結為向量問題來解決。如：兩個平面間的夾角問題通過它們的法向量的

夾角來解決。

7?常用的曲面方程見（A）中6，要真正駕馭這些曲面的形態、特征?可以

用"平行平面截割法"，也就是用一族平行平面（一般平行于坐標面）來截割曲

面，探討所截得的一族曲線是怎樣變更的?從這一族截線的變更狀況即可推想出

所表示的曲面的整體形態?這是相識曲面的重要方法?它的根本思想是把困難的

空間圖形歸結為比擬簡潔相識的平面曲線。

8?空間曲線一般由兩個曲面相交而得，這樣的曲面有無窮多個，若曲線的形

態不易把握時，可先將兩個曲面方程通過消去未知數的方法得兩個過曲線的射影

柱面的方程，而射影柱面的形態是較簡潔把握的。

9?空間曲面和曲線除了利用圖形上的點的坐標所滿意的關系建立方程外，還

常用參數方程來表示。參數方程的特征是方程中既有表示坐標的變量，也有坐標

以外的其他變量（稱參數），且坐標變量X-y，z分別可以表示成參數的函數。

10?曲線（直線）的參數方程均含一個參數，曲面（平面）的參數方程含兩

個參數。簡潔的參數方程消去參數后可化得一般方程，但并不是全部的參數方程

都能化成一般方程的。

（=）

1.三個向量相乘有混合積仿義而々和雙重向量積仿義而義3,其中雙重向量積的

探討可見《空間解析幾何》這類專業教材，對于混合積在高等數學中應用較多?

它具有一個非常重要的幾何意義，即當@B，亍不共面時，卜，瓦3的肯定值等于

?，B，工為棱的平行六面體的體積。因此利用混合積可以解決求一類體積的問題。

2?三個以上的向量相乘的問題總可轉化為三個向量相乘，因此可歸結為三個

向量相乘來探討。

3?混合積的坐標表示及特征性質

設）={%,%,%},3=機，々，么},c={cx,cy,cz},則

axaya.

[a,K,c]=(GxB>C=bxbyb:

cxcyc(a,^,c)=O<?a,b,5共面。

4?在學習曲面及空間曲線時?應留意兩點:

①空間曲面方程的定義及平面曲線方程的定義相類似，通常將曲面看成具有

某種特征性質的空間點的軌跡，用方程Mx,y,z）=°來表示，從集合的觀點來看，

曲面就是全部滿意方程Mx,y,z）=°的點（x,y,z）的集合。

②要充分理解空間曲線一般方程的定義。這里強調用通過空間曲線/的隨意

兩個曲面的方程來表示?即用通過空間曲線/的兩個曲面方程聯立起來表示空間

曲線。若由方程乙（%?*）=。和F2（x,，z）=0表示的兩個曲面，除去曲線/:上的點是

它們的公共點外，再也沒有別的公共點?則用表示它們交線的方程。但要留意-

聯立隨意的兩個曲面方程，它們可能不表示任何空間曲線，例如，從代數上看這

是一個沖突方程組?不存在解；從幾何上看?這是兩個同心的球面?它們沒有任

何的公共點。

第八章多元函數微分法及其應用學習指導

-'學問脈絡

二'重點和難點

1?重點：求極限'求偏導數'求全微分'求極值。

2?難點：極限存在、連續、偏導數存在、可微之間的關系?復合函數求偏導

數。

三、問題及分析

1-及戶沿某盤超于/僅當前者存在時，才相等。

2-二重極限、連續、偏導數存在、可微間的關系

3?多元函數中極限、連續'偏導數

的運算法則、一階微分形式的不變性、

初等函數的連續性、最值定理、介值定

理均及一元函數中相應內容和結論對

應。存在

4-二重極限及二次極限是本質不同的兩個概念。

(1)當動點「(％丁)沿隨意途徑趨于a。，〉。)時，若/卜丁)都以同一數值為其極限，

則這樣得到的極限為二重極限;當X，y先后相繼地趨于X。，時的極限為二次

極限。

(2)兩個二次極限存在且相等-不能得出二重極限存在。

例如：，簡潔驗證兩個二次極限吧吧"羽"=吧吧，但是不存在。

(3)二重極限存在，不能得出二次極限存在。

例如：，因為/(%?)在不含有兩個坐標軸的平面點集上

有定義?當尸&丁)一(。，0)時,有x+yf0。由于有界變量及無窮小量的乘積仍是無

lim/(x,y)=lim(x+)?)sin—sin—=0

窮小量，可得^^oL九丁」，對隨意給定的嚴。，由于，而不

存在?所以不存在。因此先對X后對y的二次極限吧吧/8”不存在。同理

吧吧了(%廣)也不存在。

5?學習二次極限應留意以下三個問題:

(1)兩個二次極限分別存在時不能保證它們肯定相等，因此不能隨意地交換

求極限的先后依次。

.limlimfix.y)=-1limlimfix.y)=1

例/ril:■則niyf0x—>0'，0yf0'

(2)二次極限中一個存在，另一個可以不存在。

例:■簡潔驗證

limlimf(x,y)=1y)

yfOxfO，、，〃,而X-OyfO,'不存在O

(3)兩個二次極限都可以不存在。

f(x,y)=(%+y)sin—sin—

例：xy。簡潔驗證

y->0Ifo，，，，)及1-0y->0/('，)都不存在。

6-學習多元復合函數的求導應留意的問題:

求多元復合函數的導數，關鍵是搞清各個變量之間的復合笑系，常用一種〃樹

形圖"的圖形直觀地給出因變量'中間變量及自變量的關系，扶植我們記憶公式?

以便進展正確運算。

例如：z=/(%?)，U=u{x,y),v=v(x,y)

畫出"樹形圖"

則

7?學習方向導數應留意的問題

df-----------------

(1)須是單側極限。因為。=J(&y+(Ay)2，所以夕一。事實上是Qf0+。

dfdfdf

（2）dx是雙側極限。AxfO時-Ax可正、可負-因此。=0時，樹及Ox不肯

dfdf

定相等，時，記及瓦也不肯定相等。

g/Uy）=［笠巨1

（3）梯度J是一個向量，當/的方向及梯度方向一樣時，方向

生

導數樹到達最大值1g%網光,力。

8?最小二乘法在數學建模中有廣泛的應用，要留意領悟其精神本質。

四、解題示范

例1:求

=lim廠—=--

解：原式，孫（2+J孫+4）?2+“y+44

一般地?用定義證明二重極限不存在有二種途徑：

（1）找到兩條特別的途徑?得出（x，“沿這兩條途徑趨于（%。，%）時-/（%，丁）的板

限值不等；

（2）找到一條特別的途徑證明■，”沿此途徑趨于（X。，為）時，/（%，丁）的極限不存

在。

例2:求

解：當動點尸（％y）沿丁=%趨于（°，°）時，則

當動點p（x，y）沿y=2x趨于（o,o）時,則

故原極限不存在。

例3：求2=加(1+/+/)當％=i,片2時的全微分。

解：因

故。

例4：求M=/(x，肛，肛3的一階偏導數，其中/具有一階連續偏導數。

解：將三個中間變量按依次編為1，2，3號，畫出〃樹形圖"

分7/

故裝

/xQ)

例5：求函數”=正在點(5,1,2'j、"的方向導數。

u=f\xy(2)

解：/=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12)

xyz(3)

dududu萬du

——=——cosa+——cosB+——cosy

因為0/drdydz

du」2+、0+25=電

所以譏(5.1.2)13131313

例6?設，，取〃-v作為新自變量，試變換方程。

dzdzdxdzdydzdzdzdzdxdzdydzdz

---------1------It---FV---------1-----——V---FU

解：0〃dxdudydudxdytdvdxdvdydvdxdy

22

dzdz222+v2)z=0

即而+而+"+a(u

7?設z=z(x,y)由z+Mz-Jyd”=°確定，求私/。

解：由z+Mz-J,“力=0兩邊對％求導.

從而⑴

原式兩邊對，求導

從而⑵

Q）式兩邊對，求導

將（2）代入得：

第九章重積分學習指導

-'學問脈絡

二''重點和難點

1?重點：求二重積分'求三重積分

2?難點：將二重積分化為二次積分-將三重積分化為三次積分

三、問題及分析

1?重積分中有4個矣鍵步驟：①隨意分割積分區域；②在分割后的小區域

中隨意取點；③求和；④求極限；

2?計算重積分的關鍵是化為累次積分，依據詳細題目，要能正確選擇坐標系

以及要正確考慮積分的先后次序；

3?二重積分的幾何意義：①當時，表示以曲面z=/（"）為頂，以。

為底的曲頂柱體體積；②當/（x，y）三1時，的面積；

4?二重積分的物理意義：當/（》?）表示平面薄片。的面密度時，表示。的質

量；

5?三重積分的物理意義：當/(x，y，z)表示空間立體Q的體密度時，表示。的

質量。

四、計算二重積分時?應留意的問題

1?選系：當積分區域是圓域或圓域的一局部'被積分函數含有必+V或兩個

yX

積分變量之比最，不時，一般可選用板坐標系來計算；

2?選序：中選用直角坐標系時-要考慮積分次序?先對哪個變量積分較好;

3?積分區域的對稱性及被積函數的奇偶性的正確協作，例如當積分區域關于

X軸對稱時■應協作被積函數欠于y的奇偶性；

4?特例：當被積分函數的變量可分別，并且積分區域為兩鄰邊分別及兩坐標

軸平行的矩形時?則二重積分可化為兩個定積分的乘積。

五、解題示范

例1：變更二次積分［。6I；八%”公的積分次序。

解：積分區域。：改寫為。：

y)dx=J：f(x,y)dy

故》2。

例2：計算-其中。是由直線丁=%及拋物線x=F所圍成的區域。

解：積分區域。為「于是

留意：假如先對，后對1積分，此時。為-于是。

siny

由于y的原函數不能用初等函數表示，積分難以進展，故本積分不能按此

次序。

例3:計算?其中。為V+。

解：用極坐標-此時。為：

I=ffe'rdrdO=\doVerrdr=?[1—

于是吊JoJoIe)

注：如用直角坐標?則由于卜“公不能用初等函數表示,積分就難以進一步

計異。

例4:計算?其中。為平面x=0.y=o,z=o，x+y+z=i所圍成的四面體。

解：積分區域。為-于是

f17f1-X7f1~x~ydz

原式-oX°y°(1+x+y+z)3

例5：求，其中。是由曲面“乒笆手及Z=/+y2所圍成的區域。

解：積分區域Q為-于是

原式=1。珠叫L*zdz

例6：求，其中。由不等式/+V+(z—44/，/+/WZ2所確定。

解：直角坐標變換為球面坐標,于是Q為

=[[[rcos(p-r2sin(pdrd(pd3

故原式也

第十章曲線積分及曲面積分學習指導

—'內容提要

（-）對弧長的曲線積分

1?定義：?2=罌宮"'血）”，其中品（』，2,一、”）表示第i個小弧段的

弧長人盥+2，｝。

2?性質：具有及定積分類似的性質。如線性性質，對積分途徑的可加性等。

3?計算：

（1）若曲線L的界數方程為x=M。，y=且x3，y?）在［a,四上連

續，/（x，y）在L上連續，則

（2）若曲線L的方程為'r/（。"。舊了⑺在卜㈤連續，/（x,ML上連續，

則

（3）若曲線L的板坐標方程為P=。⑻”"，"巧?且。'⑹在上陽上連續，/（X）

在L上連續，則

（4）若空間曲線L的方程為,如「3在|?,例上連續/（*/*）在心上連續，

則

（二）對坐標的曲線積分

1?定義："其物理意義是變務

1=尸（羽獷+。（蒼沙沿有向弧段4所作的功，即

2?性質：除了及弧長的曲線積分一樣的性質外，應留意方向性

3?計算：

（1）若曲線L的參數方程為x=M）=，且曲線L的起點和終點所對應的才

的值為a和"‘又x'”），丁3在同用或股可上連續，「（%?），。（%,丁）在L上連續，

則

（2）若曲線L的直角坐標方程為丁=丁（犬），且曲線心的起點和終點所對應的1的

值為a和萬，又y'G）在［。，一或［瓦司上連續，則

（3）若空間曲線L的參數方程為x=x"）-1州-z=z"）,且曲線L的起點和

終點所對應的/的值為a和夕?又，z，”）在［%例或［夕㈤上連續，則

（三）格林公式?曲線積分及途徑無關的條件

1?格林公式

設P（x,y）和。（x,y）及一階導數在閉區域。上連續，則有

其中分段光滑曲線L是區域。的正向邊界。

2?四個等價命題

若p（x,y）,Q（x，y）在單連通區域。內有一階連續偏導數,則在。內下列四個命

題互相等價：

（1）曲線積分+及途徑無關其中L是。中分段光滑曲線；

（2）沿D中任一分段光滑閉曲線L有￡尸卜"公+。卜丁）力=0。

（3）對。內的任一點有。

（4）在。內存在一函數。（羽力使dU=P（x,y）dx+Q（x,y）dy,則有

3.兩種曲線積分之間的笑系Jj（x，y）dx+Q（x,"dy=L（Pcosa+Qcos⑶ds其中

cos?,cos分是L上任一點L方向上的切向量的方向余弦。

（四）對面積的曲面積分

IT/（羽y,z）dx=limy/恁,7,）A5.

1?定義：25臺■其中品（”1,2是曲面塊￡上的

第，個塊的面積八慳。

物理意義是密度，（x，y，z）的曲面塊S的質量當/（x,y,z）=l時為面積。

2?計算

若曲面E可用單值函數z=z（x,y）表示設%,為在WY平面上的投影區域.則

若曲面Z的方程為單值函數片心㈤若股仙㈤，設'和。"為￡在W平面和wz

平面上的投影，則曲面積分可類似地化成重積分：

JJ/（x,yz）ds=jjf[x,y（x,z）,4yl+yt+yldxdz

DDXZ

（五）對坐標的曲面積分

JJP（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dxdz+R（x,y,z）dxdy

1?定義：

其中（維）》表示z的第i子塊他在皿y平面上的投影,（加）一加入含義類似

2=『ax?的直徑｝。

物理意義：設流體密度為1-流速為市,y,z）=P（x,y,z）:+Qa，y,z）］+Mx,%z1

則單位時間內流進有向曲面E指定一側的流量為

2?計算

JJp（x,y,z）dydz=±jj7?[x,y,Z（X,y}\dxdy

若曲面Z的方程為2=2（用力，則E%（當Z為曲面

的上、下側時分別取正'負號）

,、ri'P（x,y,z）dydz=±ffP[x（y,z\y,z\dydz

類似地，若曲面E的方程為x=x（y,z）則？Z（當E為

曲面的前、后側時分別取正、負號）

/、[[Q（x,y,z）dxdz=±[[。[羽y（x,z）,z]dxdz

若曲面E的方程為尸心,z）則？夕「（當Z為曲面的

右、左側時分別取正、負號）

3?兩類曲面積分的關系

其中cosc.cos分,cos7是有向曲面E上點（x,y,z）處的法向量的方向余弦。

（六）高斯公式

設空間閉區域。由分片光滑的閉曲面E所圍成?函數尸（x，y，z）'Q（x,y,z）、

R（x,y,z）在Q上是有一階連續偏導數,則

其中E中。的整個邊界的外側。

（七）斯托克斯公式

設「為分段光滑的有向空間閉曲線，E為以「為邊界的分片光滑的有向曲

面，丁的正向及E的側符合右手法則-函數P（x，y）'Q（x，，z）'R（x,y,z）在包含曲面

E在內的一個空間區域內是有一階連續偏導數'則有

（八）通量及散度'環量及流量

設向量場l（x，％z）=P（x,y,z）：+Q（x,y,z）］+Mx,y,z）G通量（或流量）,其中

元={cosaCOSB，cos/}為E上點（x,y，z）處的單位法向量。

散度：

對坐標的曲面積分及Z的形態無關的充要條件是散度為零。

1Jk

一SS。

rota=——————

dxdydz

旋度：PQR

環流量：向量場法沿有向閉線「的環流量為,「Pdx+Qdy+Rdz

二、根本要求

（-）理解曲線'曲面積分的定義-駕馭曲線'曲面積分的計算方法;

（二）駕馭第二類曲線、曲面積分及途徑'形態無關的條件及其推斷方法;

（三）理解通量及環流量及旋度的概念?并駕馭它們的計算方法；

（四）駕馭各類曲線'曲面積分之間的關系;

（五）駕馭曲線'曲面的積分的有關應用（求面積'求曲線段和曲面塊的重心

坐標等）;

（六）駕馭高斯公式和斯托克斯公式及其應用。

三、留意的幾點

（-）第一類曲線積分的計算應駕馭弧長微分的根本公式辦=而萬南全

部形式的計算公式均可由此推出，第一類曲面積分也有類的公式。

（二）第二類曲線積分及積分曲線的方向有笑

第二類曲面積分及曲面空間有笑

（三）第一類曲面積分的計算時?應留意"一投'二代'三換"以及利用積

分區域的對線性和被積函數的第二類曲面積分的計算應留意"一投'二代'三定

aII

F°

（四）利用第二類曲線積分求平面圖形面積是格林公式的一個簡潔應用可利

下面各式計算

面積：A=必=小力=『必。

（五）利用格林公式時，要留意條件：

1?曲線是閉曲線?錄不封閉則應添加曲線使其封閉；

2-函數尸（%丁）和。&y）在封閉曲線圍成的區域。內應具有一階連續偏導數；

3?曲線積分的方向是正向?即逆時針方向。

利用高斯公式時也應留意類似問題。

（六）有關重心公式

線度夕的空間曲線r的重心公式

面度為P的空間曲面E的重心坐標

第十一章無窮級數學習指導

重點：數項級數、函數項級數的根本概念和根本性質?數項級數收斂性、函

數項級數收斂域的探討-函數的帚級數綻開及其應用

難點：數項級數收斂性的推斷，函數項級數收斂域的探討、一樣收斂性的推

斷，將函數綻開為募級數，求函數項級數的和函數，將周期函數綻開為傅里

葉級數

（—）

00

譏.1+沅2T---------卜T----

A1無窮級數是形如占=-的無窮和式，簡稱級數。其中明

稱為級數的一般項或通項。若"〃（〃=12…）都是數，則稱級數為數項級數；若

M〃=""（X）U=L2,…）,都是定義在某個區間/上的函數，則稱級數為函數項

級數。

A2級數（）的前〃項的和：

稱為數項級數（函數項級數）的局部和。對于數項級數?若

哽=s（有限值），則稱級數收斂，并稱s為級數的和，記為s=，并稱級數為級

數第〃項后的余項。若吧S〃不存在，則稱級數發散。對于函數項級數,若

“。C/使函數項級數對應的數項級數收斂（發散），則稱％。為函數項級數的收

斂點（發散點）；一切收斂（發散）點的集合-叫做函數項級數的收斂（發散）域。

在收斂域上，記義力=吧5〃（%），稱為函數項級數的和函數，并稱扁（%）=為函

數項級數的余項。

A3數項級數斂散性的推斷是本章的重點，簡潔證明數項級數收斂的必要條

件是級數的通項/滿意，"，因此若通項不趨于零，則級數必發散。

除了定義，以下根本性質也有助于我們判別數項級數的斂散性。

（1）若收斂，則亦收斂，且=；

（2）若及均收斂，則亦收斂，且=±;

（3）在級數前面添加或去掉有限項后所得的級數及原級數的斂散性一樣;

（4）收斂級數的各項按規則加括號后所得的級數仍舊收斂o按某規則加括

號后所得的級數發散?則原級數發散；

（5）柯西收斂原則。

A4以下幾個重要的數項級數，其斂散性已經明確：

(1)等比級數，當時<1時收斂，當M卻時發散；

(2)調和級數17發散；

(3)p-級數，當°<。《1時發散；時收斂；

(4)倒階乘級數自獲收斂.

A5函數項級數收斂域的探討也是本章的重點之一。本章我們著重探討兩種函

數項級數：募級數和傅里葉級數。帚級數是形如的級數。帚級數的收斂域，除端

點外是關于X。對稱的區間(X。一氏/+R)，兩端點處是否收斂需單獨檢驗，其中R稱

為收斂半徑。帚級數我們著重探討與二°的狀況-即級數?因為帚級數一般形式

可以通過變量交換X=x-%化為。此級數收斂區間的求法為：先求，則收斂半徑;

再檢驗兩端點處是否收斂，從而收斂域二(%—氏/+氏)。收斂的端點。

A6駕馭函數項級數一樣收斂的定義及其判別方法，最常用的方法是維爾斯特拉

斯判別法：設函數項級數定義在數集D上，是收斂的正項級數，若對一切xe。,有

<-則一樣收斂。其它還有阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。一樣收斂的函數項

級數'逐項微分或逐項積分運算后的函數項級數-其和函數等于原函數項級數和

函數的微分或積分。此性質在求函數項級數的和函數及函數的帚級數綻開中有著

重要應用。

(二)

B1正項級數就是通項%>°的級數。它是數項級數中比擬簡潔的一類級數?

其收斂的充要條件是局部和S”有上界。推斷正項級數的斂散性-除了上述收

斂的充要條件?還有如下常用方法：

(1)比擬法：

若乙4%-而收斂?則收斂；若V"*…而發散,貝|」發散。

比擬法的極限形式如下：

若(0</<+8),則及同時收斂或同時發散。

在比擬法中，正項級數的斂散性常借助于一些已知的正項級數的斂散性

來推斷。如已知Ui發散，由此推得若吧〃""="(。<"+8),則發散。又如已知

P-級數，當。〉1時收斂，由此推得若吧〃I""(0〈/<+8),且。〉1,則收斂。

(2)比值法

若，當時■則

(3)根值法

若蚓瘋當時，則

B2關于帚級數的代數運算，設及的收斂半徑分別為R和*，則在W<.{尺夫’}

內有

其中cn=aobn+a"+…+凡％。

在比N<min{R,R'}可能小得多的區間內有

其中%=為1+bl*+…+2/。

B3帛級數在其收斂域內還可以進展逐項微分和逐項積分運算，例如在收斂

域(-氏&內，對5(%)=進展逐項微分可得新的帚級數；逐項積分可得新的募

00c

￡一尤"+i=f's（x）dx

級數占〃+1

注1'在收斂域(一氏切內對帚級數逐項微分或逐項積分后所得新的帚級數，

其收斂半徑及原級數一樣，但在收斂域兩端點處的斂散性有可能變更。

注2'逐項微分和逐項積分法是求帚