高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

高一新生必備的（學(xué)習(xí)（方法））：提高課堂效聽課時(shí)應(yīng)保持精力

旺盛頭腦糊涂，向課堂要效率。高一的課堂教學(xué)幾乎全是新授課，每

一學(xué)科的學(xué)問都是一個(gè)體系，課堂上走神幾分鐘，往往會(huì)使學(xué)問斷鏈,

以后很難補(bǔ)上。我整理的（高一數(shù)學(xué)）學(xué)問點(diǎn)歸納（總結(jié)），盼望大

家能夠喜愛！

高一數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)1

募函數(shù)定義：

形如y=x%（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量塞為因變量，指

數(shù)為常量的函數(shù)稱為塞函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，幕函數(shù)的定義域的不憐憫況如下：假如a

為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的全部實(shí)數(shù);假如a為負(fù)數(shù)，

則x確定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必需根［據(jù)q的奇偶性來

確定，即假如同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

大于0的全部實(shí)數(shù);假如同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?

的全部實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，基函數(shù)的值域的不憐憫況如下：

在x大于。時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于。時(shí)，則只

有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才

進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

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對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種狀況來爭(zhēng)論各自的

特性：

首先我們知道假如a=p/q,q和p都是整數(shù),則x%p/q)=q次根號(hào)

(x的p次方)，假如q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R,假如q是偶數(shù)，函

數(shù)的定義域是［0,+°°)o當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)@=-1<,則x=l/(xAk),

明顯xwO,函數(shù)的定義域是卜g,0)團(tuán)(0,+8).因此可以看至I」x所受到的

限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶

數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排解了為。與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0,則a可以是任意實(shí)數(shù);

排解了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的全部實(shí)數(shù)，q不能是偶

數(shù)；

排解了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的全部實(shí)數(shù),

a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，幕函數(shù)的定義域的

不憐憫況如下：

假如a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的全部實(shí)數(shù)；

假如a為負(fù)數(shù)，則x確定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必

需依據(jù)q的奇偶性來確定，即假如同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0,

這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的全部實(shí)數(shù);假如同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)

的定義域?yàn)椴坏扔?的全部實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)、函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)一，則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

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而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出幕函

數(shù)在第一象限的各自狀況.

可以看到：

(1)全部的圖形都通過(1,1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，幕函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)一，幕函數(shù)

為單調(diào)遞減函數(shù)。

⑶當(dāng)a大于1時(shí)-，幕函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)一，基函

數(shù)圖形上凸。

⑷當(dāng)a小于0時(shí),，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點(diǎn)。

(6)明顯嘉函數(shù)

高一數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)2

1.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘了全集和空集的特別狀

況，不要遺忘了借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解.

2.在應(yīng)用條件時(shí)，易A忽視是空集的狀況

3.你會(huì)用補(bǔ)集的思想解決有關(guān)問題嗎？

4.簡(jiǎn)潔命題與復(fù)合命題有什么區(qū)分？四種命題之間的相互關(guān)系是

什么？如何推斷充分與必要條件？

5.你知道“否命題〃與“命題的否定形式〃的區(qū)分.

6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽視定義域優(yōu)先的原則.

7.推斷函數(shù)奇偶性時(shí):易忽視檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

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8.求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽視標(biāo)注該函

數(shù)的定義域.

9.原函數(shù)在區(qū)間卜a,a］上單調(diào)遞增，則肯定存在反函數(shù)，且反函數(shù)

也單調(diào)遞增;但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不肯定單調(diào).例如：.

10.你嫻熟地把握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法（取值，作差,

判正負(fù)）和導(dǎo)數(shù)法

11.求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，易錯(cuò)誤地在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)"國”

和"或〃；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.

12.求函數(shù)的值域必需先求函數(shù)的定義域。

13.如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題？①比較函數(shù)值的大

小;②解抽象函數(shù)不等式;③求參數(shù)的范圍（恒成立問題）.這幾種基本

應(yīng)用你把握了嗎？

14.解對(duì)數(shù)函數(shù)問題時(shí)，你留意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？

（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需爭(zhēng)論

15.三個(gè)二次（哪三個(gè)二次?）的關(guān)系及應(yīng)用把握了嗎？如何利用二

次函數(shù)求最值？

16.用換元法解題時(shí)易忽視換元前后的等價(jià)性，易忽視參數(shù)的范

圍。

17.〃實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解〃轉(zhuǎn)化時(shí)一，你是否留意到：當(dāng)時(shí),

"方程有解〃不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數(shù)或

二次不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為的零的情形？

18.利用均值不等式求最值時(shí)，你是否留意到："一正;二定;三等〃.

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19.肯定值不等式的解法及其幾何意義是什么？

20.解分式不等式應(yīng)留意什么問題?用"根軸法"解整式（分式）不等

式的留意事項(xiàng)是什么？

21.解含參數(shù)不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)的單調(diào)性為基

礎(chǔ)，分類爭(zhēng)論是關(guān)鍵”，留意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解

集是……〃.

22.在求不等式的解集、定義域及值域時(shí)，其結(jié)果肯定要用集合

或區(qū)間表示;不能用不等式表示.

23.兩個(gè)不等式相乘時(shí)，必需留意同向同正時(shí)才能相乘，即同向同

正可乘;同時(shí)要留意"同號(hào)可倒"即abO,a0.

24.解決一些等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題，你留意到要對(duì)公比及兩種

狀況進(jìn)行爭(zhēng)論了嗎？

25.在“已知，求”的問題中，你在利用公式時(shí)留意到了嗎?時(shí)，應(yīng)有）

需要驗(yàn)證，有些題目通項(xiàng)是分段函數(shù)。

26.你知道存在的條件嗎?（你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概

念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項(xiàng)和與全部項(xiàng)的和的不同嗎？什么樣的無

窮等比數(shù)列的全部項(xiàng)的和必定存在？

27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題?（數(shù)列是

特別函數(shù)，但其定義域中的值不是連續(xù)的。）

28.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法一要留意步驟齊全，二要留意從到過程中，

先假設(shè)時(shí)成立，再結(jié)合一些數(shù)學(xué)方法用來證明時(shí)也成立。

29.正角、負(fù)角、零角、象限角的概念你清晰嗎？，若角的終邊在

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坐標(biāo)軸上，那它歸哪個(gè)象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同

的角和相等的角的區(qū)分嗎？

30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、

正切線）的定義你知道嗎？

31.在解三角問題時(shí)，你留意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了

嗎?你留意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？

32.你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎?（切割化弦、降幕公式、用三

角公式轉(zhuǎn)化消失特別角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）

33.反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是

34.你還記得某些特別角的三角函數(shù)值嗎？

35.把握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會(huì)寫三

角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會(huì)寫簡(jiǎn)潔的三角不等式的解集嗎?（要留意數(shù)形

結(jié)合與書寫規(guī)范,可別忘了），你是否清晰函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過

怎樣的變換得到嗎？

36.函數(shù)的圖象的平移，方程的平移以及點(diǎn)的平移公式易混：

（1）函數(shù)的圖象的平移為"左+右上+下-"；如函數(shù)的圖象左移2個(gè)

單位且下移3個(gè)單位得到的圖象的解析式為，即.

（2）方程表示的圖形的平移為“左+右-,上-下+”;如直線左移2個(gè)個(gè)

單位且下移3個(gè)單位得到的圖象的解析式為，即.

（3）點(diǎn)的平移公式：點(diǎn)按向量平移到點(diǎn)，貝IJ.

37.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)，留意考慮兩方面了嗎?（先求出某一

個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍）

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38.形如的周期都是，但的周期為。

39.正弦定理時(shí)易忘比值還等于2R.

高一數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)3

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零

點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的

圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)

系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù).

1、團(tuán)0,方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2、0=0,方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一

個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3、00,方程無實(shí)根，二次函