安徽省六區聯考2025屆九上數學期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖所示，將一個含角的直角三角板繞點逆時針旋轉，點的對應點是點，若點、、在同一條直線上，則三角板旋轉的度數是（）A． B． C． D．2．如圖，、兩點在雙曲線上，分別經過點、兩點向、軸作垂線段，已知，則()A．6 B．5 C．4 D．33．已知點在同一個函數的圖象上，這個函數可能是（）A． B． C． D．4．如圖，在△ABO中，∠B=90o，OB=3,OA=5，以AO上一點P為圓心，PO長為半徑的圓恰好與AB相切于點C，則下列結論正確的是（）．A．⊙P的半徑為B．經過A，O，B三點的拋物線的函數表達式是C．點（3，2）在經過A，O，B三點的拋物線上D．經過A，O，C三點的拋物線的函數表達式是5．商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為0.01”．下列說法正確的是（）A．抽101次也可能沒有抽到一等獎B．抽100次獎必有一次抽到一等獎C．抽一次不可能抽到一等獎D．抽了99次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎6．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．5、6、﹣8B．5，﹣6，﹣8C．5，﹣6，8D．6，5，﹣87．一組數據3，7，9，3，4的眾數與中位數分別是（）A．3，9 B．3，3 C．3，4 D．4，78．中，，是邊上的高，若，則等于（）A． B．或 C． D．或9．對于兩個不相等的實數，我們規定符號表示中的較大值，如：，按照這個規定，方程的解為（）A．2 B．C．或 D．2或10．若△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的面積比是，則△ABC與△DEF對應中線的比為（）A． B． C． D．11．如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°，得到△AB1C1，若點B1在線段BC的延長線上，則∠BB1C1的大小為()A．70° B．80° C．84° D．86°12．一元二次方程的解是（）A．5或0 B．或0 C． D．0二、填空題（每題4分，共24分）13．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝_____.14．若，，則______.15．五角星是我們生活中常見的一種圖形，如圖五角星中，點C，D分別為線段AB的右側和左側的黃金分割點，已知黃金比為，且AB＝2，則圖中五邊形CDEFG的周長為________．16．如圖，在半徑為5的⊙中，弦，是弦所對的優弧上的動點，連接，過點作的垂線交射線于點，當是以為腰的等腰三角形時，線段的長為_____．17．把拋物線的頂點E先向左平移3個單位，再向上平移4個單位后剛好落在同一平面直角坐標系的雙曲線上，那么=__________18．已知關于x的二次函數y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的圖象與x軸的一個交點坐標為（m，0）．若2＜m＜5，則a的取值范圍是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）（1）計算：．（2）用適當的方法解下列方程；①；②．20．（8分）已知關于x的方程.（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.21．（8分）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點．（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）直接寫出的面積．22．（10分）如圖將小球從斜坡的O點拋出，小球的拋出路線可以用二次函數y=ax2+bx刻畫，頂點坐標為（4，8），斜坡可以用y=x刻畫．（1）求二次函數解析式；（2）若小球的落點是A，求點A的坐標；（3）求小球飛行過程中離坡面的最大高度．23．（10分）如圖，將△ABC繞點B旋轉得到△DBE，且A，D，C三點在同一條直線上。求證：DB平分∠ADE．24．（10分）某數學小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗．如圖，兩臺測角儀分別放在A、B位置，且離地面高均為1米（即米），兩臺測角儀相距50米（即AB=50米）．在某一時刻無人機位于點C(點C與點A、B在同一平面內），A處測得其仰角為，B處測得其仰角為．（參考數據：，，，，）（1）求該時刻無人機的離地高度；（單位：米，結果保留整數）（2）無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達點F（點F與點A、B、C在同一平面內），此時于A處測得無人機的仰角為，求無人機水平飛行的平均速度．（單位：米/秒，結果保留整數）25．（12分）如圖1，已知二次函數y=mx2+3mx﹣m的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），頂點D和點B關于過點A的直線l：y=﹣x﹣對稱．（1）求A、B兩點的坐標及二次函數解析式；（2）如圖2，作直線AD，過點B作AD的平行線交直線1于點E，若點P是直線AD上的一動點，點Q是直線AE上的一動點．連接DQ、QP、PE，試求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，請說明理由：（3）將二次函數圖象向右平移個單位，再向上平移3個單位，平移后的二次函數圖象上存在一點M，其橫坐標為3，在y軸上是否存在點F，使得∠MAF=45°？若存在，請求出點F坐標；若不存在，請說明理由．26．在正方形和等腰直角中，，是的中點，連接、.（1）如圖1，當點在邊上時，延長交于點.求證：；（2）如圖2，當點在的延長線上時，（1）中的結論是否成立？請證明你的結論；（3）如圖3，若四邊形為菱形，且，為等邊三角形，點在的延長線上時，線段、又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的結論，并畫出論證過程中需要添加的輔助線.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據旋轉角的定義，兩對應邊的夾角就是旋轉角，即可求解．【詳解】解：旋轉角是故選：D.【點睛】本題考查的是旋轉的性質，掌握對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角是解題的關鍵．2、C【解析】欲求S1+S1，只要求出過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段與坐標軸所形成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線的系數k，由此即可求出S1+S1．【詳解】解：∵點A、B是雙曲線上的點，分別經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，

則根據反比例函數的圖象的性質得兩個矩形的面積都等于|k|=2，

∴S1+S1=2+2-1×1=2．

故選：C．【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質及任一點坐標的意義，有一定的難度．3、D【解析】由點的坐標特點，可知函數圖象關于軸對稱，于是排除選項；再根據的特點和二次函數的性質，可知拋物線的開口向下，即，故選項正確．【詳解】點與點關于軸對稱；由于的圖象關于原點對稱，因此選項錯誤；由可知，在對稱軸的右側，隨的增大而減小，對于二次函數只有時，在對稱軸的右側，隨的增大而減小，選項正確故選．【點睛】考查正比例函數、反比例函數、二次函數的圖象和性質，可以采用排除法，直接法得出答案．4、D【分析】A、連接PC，根據已知條件可知△ACP∽△ABO，再由OP=PC，可列出相似比得出；B、由射影定理及勾股定理可得點B坐標，由A、B、O三點坐標，可求出拋物線的函數表達式；C、由射影定理及勾股定理可計算出點C坐標，將點C代入拋物線表達式即可判斷；D、由A，O，C三點坐標可求得經過A，O，C三點的拋物線的函數表達式．【詳解】解：如圖所示，連接PC，∵圓P與AB相切于點C，所以PC⊥AB，又∵∠B=90o，所以△ACP∽△ABO，設OP=x，則OP=PC=x，又∵OB=3，OA=5，∴AP=5-x，∴，解得，∴半徑為，故A選項錯誤；過B作BD⊥OA交OA于點D，∵∠B=90o，BD⊥OA，由勾股定理可得：，由面積相等可得：∴，∴由射影定理可得，∴∴，設經過A，O，B三點的拋物線的函數表達式為；將A(5,0)，O(0,0)，代入上式可得：解得，，c=0,經過A，O，B三點的拋物線的函數表達式為，故B選項錯誤；過點C作CE⊥OA交OA于點E，∵，∴由射影定理可知，∴，所以，由勾股定理得，∴點C坐標為，故選項C錯誤；設經過A，O，C三點的拋物線的函數表達式是，將A(5,0)，O(0,0)，代入得，解得：，∴經過A，O，C三點的拋物線的函數表達式是，故選項D正確．【點睛】本題考查相似三角形、二次函數、圓等幾何知識，綜合性較強，解題的關鍵是要能靈活運用相似三角形的性質計算．5、A【分析】根據概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現進行解答即可．【詳解】解：根據概率的意義可得“抽到一等獎的概率為為0.01”就是說抽100次可能抽到一等獎，也可能沒有抽到一等獎，抽一次也可能抽到一等獎，抽101次也可能沒有抽到一等獎．故選：A．【點睛】本題考查概率的意義，概率是對事件發生可能性大小的量的表現．6、C【解析】根據一元二次方程的一般形式進行解答即可.【詳解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，它的二次項系數是5，一次項系數是﹣6，常數項是8，故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．7、C【分析】由題意直接根據眾數和中位數的定義進行分析求解判斷即可．【詳解】解：將數據重新排列為3，3，4，7，9，∴眾數為3，中位數為4.故選：C．【點睛】本題主要考查眾數、中位數，熟練掌握眾數、中位數的定義是解題的關鍵．8、B【分析】根據題意畫出圖形，當△ABC中為銳角三角形或鈍角三角形兩種情況解答，結合已知條件可以推出△ABD∽△BCD，即可得出∠ABC的度數．【詳解】（1）如圖，當△ABC中為銳角三角形時，

∵BD⊥AC，∴△ABD∽△BCD，

∵∠A=30°，

∴∠ABD=∠C=60°，∠A=∠CBD=30°，

∴∠ABC=90°．

（2）如圖，當△ABC中為鈍角三角形時，

∵BD⊥AC，∴△ABD∽△BCD，

∵∠A=30°，

∴∠ABD=∠DCB=60°，∠A=∠DBC=30°，

∴∠ABC=30°．

故選擇B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，將三角形分銳角三角形和鈍角三角形分別討論是解題的關鍵．9、D【分析】分兩種情況討論：①，②，根據題意得出方程求解即可．【詳解】有意義，則①當，即時，由題意得，去分母整理得，解得經檢驗，是分式方程的解，符合題意；②當，即時，由題意得，去分母整理得，解得，，經檢驗，，是分式方程的解，但，∴取綜上所述，方程的解為2或，故選：D．【點睛】本題考查了新型定義下的分式方程與解一元二次方程，理解題意，進行分類討論是解題的關鍵．10、D【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，再結合相似三角形的對應中線的比等于相似比解答即可．【詳解】∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比是，∴△ABC與△DEF的相似比為，∴△ABC與△DEF對應中線的比為，故選D．【點睛】考查的是相似三角形的性質，相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比．11、B【分析】由旋轉的性質可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，從而可求得∠BB1C1＝80°.【詳解】由旋轉的性質可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，∴∠B＝∠BB1A＝40°.∴∠AB1C1＝40°.∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.故選B.【點睛】本題主要考查的是旋轉的性質，由旋轉的性質得到△ABB1為等腰三角形是解題的關鍵.12、B【解析】根據因式分解法即可求出答案．【詳解】∵5x2=x，∴x(5x﹣1)=0，∴x=0或x．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程，解答本題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】已知配方方程轉化成一般方程后求出m、n的值，即可得到結果．【詳解】解：由（x+m）2=3，得：

x2+2mx+m2-3=0，

∴2m=4，m2-3=n，

∴m=2，n=1，

∴（n﹣m）2020=（1﹣2）2020=1，

故答案為：1．【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．14、28【分析】先根據完全平方公式把變形，然后把，代入計算即可.【詳解】∵，，∴(a+b)2-2ab=36-8=28.故答案為：28.【點睛】本題考查了完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本題的關鍵.15、【分析】根據點C，D分別為線段AB的右側和左側的黃金分割點，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根據CD=BD-BC求出CD的長度，然后乘以5即可求解．【詳解】∵點C，D分別為線段AB的右側和左側的黃金分割點，∴AC=BD=AB=，BC=AB，∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，∴五邊形CDEFG的周長=5（2﹣4）=10﹣1．故答案為：10﹣1．【點睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，則這個點叫這條線段的黃金分割點．16、8或【解析】根據題意，以為腰的等腰三角形有兩種情況，當AB=AP時，利用垂徑定理及相似三角形的性質列出比例關系求解即可，當AB=BP時，通過角度運算，得出BC=AB=8即可．【詳解】解：①當AB=AP時，如圖，連接OA、OB，延長AO交BP于點G，故AG⊥BP，過點O作OH⊥AB于點H，∵在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，∴，由垂徑定理可知，∴，在Rt△OAH中，在Rt△CAP中，，且∴，在Rt△PAG與Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，∴Rt△PAG∽Rt△PCA∴，則，∴；②當AB=BP時，如下圖所示，∠BAP=∠BPA，∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，∴BC=AB=8故答案為8或【點睛】本題考查了圓的性質及圓周角定理、相似三角形的性質、等腰三角形的判定等知識點，綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是靈活運用上述知識進行推理論證．17、﹣1【分析】根據題意得出頂點E坐標，利用平移的規律得出移動后的點的坐標，進而代入反比例函數即可求出k的值.【詳解】解：由題意可知拋物線的頂點E坐標為（1，-2），把點E（1，-2）先向左平移3個單位，再向上平移1個單位所得對應點的坐標為（-2，2），∵點（-2，2）在雙曲線上，∴k=-2×2=-1.故答案為：-1．【點睛】本題考查二次函數圖象與幾何變換和二次函數的性質以及待定系數法求反比例函數的解析式，根據題意求得平移后的頂點坐標是解題的關鍵．18、＜a或﹣5＜a＜﹣1．【分析】首先可由二次函數的表達式求得二次函數圖象與x軸的交點坐標，可知交點坐標是由a表示的，再根據題中給出的交點橫坐標的取值范圍可以求出a的取值范圍．【詳解】解：∵y＝ax1+（a1﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴當y＝0時，x＝﹣a或x＝，∴拋物線與x軸的交點為（﹣a，0），（，0），由題意函數與x軸的一個交點坐標為（m，0）且1＜m＜5，∴當a＞0時，1＜＜5，即＜a；當a＜0時，1＜﹣a＜5，即﹣5＜a＜﹣1；故答案為＜a或﹣5＜a＜﹣1．【點睛】本題綜合考查二次函數圖象與與x軸的交點坐標以及一元一次不等式的解法，熟練掌握二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法以及一元一次不等式的解法是解題關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）1；（2）①x1＝﹣2，x2＝6；②x1＝，x2＝．【分析】（1）根據二次根式的乘法公式、30°的余弦值、60°的正切值和乘方的性質計算即可；（2）①利用直接開方法解一元二次方程即可；②利用公式法：解一元二次方程即可【詳解】（1）﹣2cos30°﹣tan60°+（﹣1）2018＝（2）①∵（x﹣2）2﹣16＝0，∴（x﹣2）2＝16，∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，解得：x1＝﹣2，x2＝6；②∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，∴△＝b2-4ac=22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，則=＝，即x1＝，x2＝．【點睛】此題考查的是含特殊角的銳角三角函數值的混合運算和解一元二次方程，掌握二次根式的乘法公式、30°的余弦值、60°的正切值、乘方的性質和利用直接開方法和公式法解一元二次方程是解決此題的關鍵．20、（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據一元二次方程根與系數的關系列方程組求解即可.（2）要證方程都有兩個不相等的實數根，只要證明根的判別式大于0即可.試題解析：（1）設方程的另一根為x1，∵該方程的一個根為1，∴.解得.∴a的值為，該方程的另一根為.（2）∵，∴不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.考點：1.一元二次方程根與系數的關系；2.一元二次方程根根的判別式；3.配方法的應用.21、（1）y=﹣x+5，y=；（2）【分析】（1）由點B在反比例函數圖象上，可求出點B的坐標，將點A的坐標代入反比例函數即可求出反比例函數解析式；將點A和點B的坐標代入一次函數y=k1x+b即可求出一次函數解析式；（2）延長AB交x軸與點C，由一次函數解析式可找出點C的坐標，通過分割圖形利用三角形的面積公式即可得出結論；【詳解】⑴解：將A（1,4）代入y=，得k2=4，∴該反比例函數的解析式為y=，當x=4時代入該反比例函數解析式可得y=1，即點B的坐標為（4，1），將A（1，4）B（4，1）代入y=k1x+b中，得，解得k1=﹣1，b=5，∴該一次函數的解析式為y=﹣x+5；（2）設直線y=﹣x+5與x軸交于點C，如圖，當y=0時，?x+5=0，解得：x=5，則C（5，0），∴S△AOB=S△AOC?S△BOC=×5×4?×5×1=．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積公式以及解二元一次方程組，掌握知識點是解題的關鍵．22、（1）y=﹣x2+4x（2）（7，）（3）當小球離點O的水平距離為3.5時，小球離斜坡的鉛垂高度最大，最大值是【分析】（1）由拋物線的頂點坐標為（4，8）可建立過于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值即可；（2）聯立兩解析式，可求出交點A的坐標；（3）設小球飛行過程中離坡面距離為z，由（1）中的解析式可得到z和x的函數關系，利用函數性質解答即可．【詳解】（1）∵拋物線頂點坐標為（4，8），∴，解得：，∴二次函數解析式為：y=﹣x2+4x；（2）聯立兩解析式可得：，解得：或，∴點A的坐標是（7，）；（3）設小球離斜坡的鉛垂高度為z，則z=﹣x2+4x﹣x=﹣（x﹣3.5）2+，故當小球離點O的水平距離為3.5時，小球離斜坡的鉛垂高度最大，最大值是．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，理解坡面的高度是解題關鍵，注意掌握配方法求二次函數最值得應用，難度一般．23、證明見解析.【分析】根據旋轉的性質得到△ABC≌△DBE，進一步得到BA=BD，從而得到∠A=∠ADB，根據∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，從而證得結論．【詳解】證明：∵將△ABC繞點B旋轉得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA=BD．∴∠A=∠ADB．∵∠A=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE．∴DB平分∠ADE．【點睛】本題考查了旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前、后的圖形全等．也考查了鄰補角定義．24、（1）無人機的高約為19m；（2）無人機的平均速度約為5米/秒或26米/秒【分析】（1）如圖，過點作，垂足為點，設，則．解直角三角形即可得到結論；（2）過點作，垂足為點，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖，過點作，垂足為點．∵，∴．設，則．∵在Rt△ACH中，，∴．∴．解得：∴．答：計算得到的無人機的高約為19m．（2）過點F作，垂足為點．在Rt△AGF中，．FG=CH=18,∴．又．∴或.答：計算得到的無人機的平均速度約為5米/秒或26米/秒．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．25、（1）A（﹣，0），B（，0）；拋物線解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）【分析】（1）在y=mx2+3mx﹣m中令y=0，解方程求得x的值即可求得A、B的坐標，繼而根據已知求出點D的坐標，把點D坐標代入函數解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系數法求得m即可得函數解析式；（2）先求出直線AD解析式，再根據直線BE∥AD，求得直線BE解析式，繼而可得點E坐標，如圖2，作點P關于AE的對稱點P'，作點E關于x軸的對稱點E'，根據對稱性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，從而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，可知當D，Q，E'三點共線時，DQ+PQ+PE值最小，即DQ+PQ+PE最小值為DE'，根據D、E'坐標即可求得答案；（3）分情況進行討論即可得答案.【詳解】（1）∵令y=0，∴0=mx2+3mx﹣m，∴x1=，x2=﹣，∴A（﹣，0），B（，0），∴頂點D的橫坐標為﹣，∵直線y=﹣x﹣與x軸所成銳角為30°，且D，B關于y=﹣x﹣對稱，∴∠DAB=60°，且D點橫坐標為﹣，∴D（﹣，﹣3），∴﹣3=m﹣m﹣m，∴m=，