3.1.2函數的表示法

一、單選題

1.（2020?廣西高二學業考試）2015年以來，我國的年度GDP數據如下表:

時間（年）20152016201720182019

GDP（萬億元）68.550674.412782.712191.928199.0865

設時間為“，與其對應的年度GDP為"")，那么/(2018)=()

A.68.5506B.74.4127C.82.7121D.91.9281

【答案】D

【分析】

直接由表格中的數據得答案

【詳解】

解：由題意可得“2018）=91.9281,

故選：D

2.（2021?浙江高二期末）函數/"）=兇」的圖象大致是（）

2元

c.D.

o\\xO\fX

【答案】D

【分析】

代特值結合函數圖像即可得到答案.

【詳解】

函數定義域不含0,排除A；

/停斗2==排除B,C.

故選：D.

3.（2021?江蘇高二期末）若函數小）=歸'°；：<；貝（1/吟）=O.

f（x-2）,x>2V4J

A.-B.yC.—D.-

4222

【答案】B

【分析】

根據題意，由函數的解析式可得忌）=/（22）=尼），計算可得答案.

444

【詳解】

>fx,0<x<2

解：根據題意，函數”x）h

/(x-2),x>2

則心=/（"）=心=’鴻,

故選：B.

4.(2021?寧夏長慶高級中學高二期末(文))設函數/(外='則/(/(〃2)))=()

A.0B.1C.2D.桓

【答案】B

【分析】

由內而外依次求解即可.

【詳解】

由題意,/(2)=72^1=1,/(/(2))=/(I)=g=0,/(/((2)))=/(0)=1,

故選B.

5.(2020?廣東東莞一中高一月考)已知f(4+l)=x+2五，則/(x)=()

A.x2-l(x>0)B.x/x+l(x>l)C.x2D.x/x-l(x>0)

【答案】C

【分析】

令f=?+l,/Nl，利用換元法求函數解析式.

【詳解】

令f=?+l,Z>1.則尸=(4+1)，=x+24+1,

由f(6+l)=x+2五得，/?)="一1,t>\,

BP/(x)=x2-l,x>l.

故選：C.

6.（2020?西安市第八十三中學高一月考）已知函數/（匕）=2--3肛則"2）等于（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

令二=2,求得x得值，代入=即可得出答案.

X+l1%+U

【詳解】

4

解：令--7=2,則x=l,

x+1

所以"2）=7（哥=2-3=-l.

故選：A.

7.（2021?浙江高一期末）如圖，設有圓。和定點C,當/從4開始在平面上繞。勻速旋轉（旋轉角度

不超過90。）時，它掃過圓內陰影部分面積S是時間t的函數，它的圖像大致是如下哪一種（）

【答案】c

【分析】

先分析直線/從初始位置4轉到經過點c時陰影部分面積的變化情況，再分析i從過點c的位置轉至結

束時陰影部分面積的變化情況，由此確定出大致圖像.

【詳解】

當直線/從初始位置％轉到經過點c的過程中陰影部分面積增加的越來越快，圖像越來越“陡峭"；

/從過點c的位置轉至結束時陰影部分面積增加的越來越慢，圖像越來越"平緩"，

故選：C.

8.（2021?貴州高一期末）黔東南電信公司為迎接2021年元旦，推出兩種手機收費方式：A種方式是

月租20元，8種方式是月租0元.一個月的本地網內打出電話時間/（分鐘）與打出電話費S（元）的函數關

系如圖，A種方式對應的函數解析式為工=制+20（加為常數），B種方式對應的函數解析式為邑

為常數），當通話50分鐘時，這兩種方式產生的電話費相差是。

一一一40-

A.10兀B.20兀C.30%D.3■兀

【答案】A

【分析】

根據，=100時，\=邑可得〃="+（,再根據『=50時，$2可解得結果.

【詳解】

由圖可知，f=100時，耳=邑，所以100〃?+20=100”,即

所以當t=50時.，S,-S2=50切+20-50"=50膽+20-50膽-m=10元.

所以當通話50分鐘時，這兩種方式產生的電話費相差是10元.

故選：A

9.(2021?重慶市清華中學校高三月考)已知函數“力=?-I一，則不等式/(x)>"l)的解集

x+6,x<0

是O

A.(-3,1)U(3,m)B.(Y,-1)U(2,3)

C.(-1,1)U(3,4W)D.(-W,-3)U(1,3)

【答案】A

【分析】

利用分段函數，將不等式化為具體不等式，即可得出結論.

【詳解】

解：/(1)=1-4+6=3,

當x.O時，X2-4X+6>3,所以04x<l或x>3；

當x<0時，x+6>3,所以一3Vx<0,

所以不等式⑴的解集是(-3,1)=(3,+8),

故選：A.

f3x+1x(1

10.(2021?云南高三二模(文))已知函數/(*)=,,'-，，若"相，且/(〃)=/(⑼，設右〃一叫

[廠_1,x>]

則。

A.f沒有最小值B.f的最小值為石-1

C.f的最小值為:D.f的最小值為￡

【答案】B

【分析】

先作出分段函數圖象，再結合圖象由/(〃)=/(用)，得到m與n的關系，消元得關于n的函數，最后求

最值.

【詳解】

如圖，作出函數/(x)的圖象，

,.?/(")=/(加)且"〉加，貝1」機￡1,且〃>1,

:.3m+\=?72-1-即m=-——-.

3

叫[n>\解得1<〃4l6

n2-21...IF,3.117

n-m=n----------=——(n2-3n-20)=——(n——)2+—,

333L2J12

X1<n<A/5,，當〃=百時，(7?-zn)m，n=V5-1.

故選：B.

【點睛】

(1)分段函數的圖象一般分段來畫，在畫各段圖象時要注意端點實虛.

(2)多變量問題研究的核心就是要減少變量，將多變量問題化歸于單變量問題.根據變量間的關系消元

或整體換元將多變量化歸單變量是解決此類問題的常用方法.

二、解答題

11.(2022?全國高三專題練習)已知函數/(x)的圖象如圖所示，其中)軸的左側為一條線段，右側為

某拋物線的一段.

(1)寫出函數/(X)的定義域和值域；

(2)求/"(一切的值.

【答案】(L)定義域為-2,3],值域為[-2,2J；(2)-1.

【分析】

(1)由圖像直接得到定義域和值域；

(2)先求出解析式，再直接代入求/"(T)]的值.

【詳解】

解：(1)由圖象可知，函數JU)的定義域為[-2,3],值域為[-2,2];

(2)當xe[-2,0]時，設/(x)=fct+2(辦0),

\-2k+b=0

將(-2,0),(0⑵代入可得廠c,

[o=2

解得4=1,b=2,

即f(x)=x+2,

當xw(0,3]時，設/(幻=心-2產-2,將點(3,-1)代入可得-1=03-2)2-2,解得。=1,

.1.f(x)=(x-2)--2=X?—4x+2,

、[x+2,-2M0

f(x)=<,,

|/-4x+2,0<%,3

=-1+2=1,

?./[/(-1)]=/(1)=I2-4+2=-1.

12.(2021?安徽省泗縣第一中學高二開學考試(文))已知〃x)+2/(_x)=3x-2,求.f(x)的解析式.

2

【答案】f(x)=-3x-；

【分析】

用T代換X,構造新方程，與原方程聯立，即可解得TV)的解析式.

【詳解】

因為〃x)+2f(-x)=3x—2,用t代替x可得/(—x)+2/(x)=-3x—2,

=消去/(一)，解得，(x)=-3xg,

由

[/(-x)+2/(x)=-3x-23

?

所以f(x)=-3x-§.

13.(2021?全國高一課時練習)已知函數f(x)=|x+l|+k-2|,g(x)=|x-3|.

(1)在平面直角坐標系里作出了(X)、g(x)的圖象.

(2)VxeR,用min(x)表示〃x)、g(x)中的較小者，記作min(x)={/(x),g(x)},請用圖象法和解析

法表示min(x)；

(3)求滿足〃x)>g(x)的x的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)(田,-2)U(O,物).

【詳解】

2x-l,x>2

x-3,x>3

(1)/(JC)=|X+1|+|X-2|=-3,-l<x<2,g(x)=|x-3|=

3-x,x<3

I—2x,xK—1

則對應的圖象如圖:

(2)函數min(x)的圖象如圖:

3-x,x<-2或0<x<3

l-2x,-2<x<-l

解析式為min(x)=,

3,-1<x<0

x-3,x>3

(3)若〃x)>g(x),

則由圖象知在A點左側，B點右側滿足條件，此時對應的x滿足％>0或x<-2,

即不等式〃x)>g(x)的解集為(f-2)U(O,y).

14.(2020?河北石家莊二十三中高一月考)已知/(x)=/-2x+l,g(x)是一次函數，且〃g(x)]=4x2.

(1)求g(x)的解析式;

(2)若函數/(x)的定義域為2,3],求函數〃(x)=〃x)+歷麗的值域.

「17-

【答案】⑴g(x)=2x+l或g(x)=—2x+l；(2)2,—

【詳解】

(1)設g(x)=H+b,

貝ijf[g(x)]=/(fcr+6)=(Ax+Z>)2-2(Ax+Z?)+l=4x2,

艮[Jk2^+(2kb-2k)x+b2-2b+l=4x2,

k2=4

:.-2kb-2k=0,解得％=±2力=1,

fe2-26+1=0

g(x)=2x+l或g(x)=-2x+l；

(2)=-2x+l=(x-l)2,

當x=l時，〃X)取得最小值為0,當x=3時，〃X)取得最大值為4,

???/(x)在[0,3]的值域為[0,4],

令f=則fe[0,2],〃同=4-2,

則6(x)=f(x)+j4-f(x)等價于y=-『+|+4=-[r-J)+*fe[0,2].

117

當，=耳時，y^=—<當r=2時，>'min=2,

~17

所以/?(x)的值域為2,-.

15.(7.5港口水深的變化與三角函數(基礎練)-2020-2021學年高一數學十分鐘同步課堂專練(蘇

教版2019必修第一冊))如圖，已知AB=AC=5,BC=S,點P從B點沿直線8c運動到C點，

過P做BC的垂線/,記直線/左側部分的多邊形為C,設3P=x,Q的面積為S(x),Q的周長為〃x).

(1)求S(x)和。x)的解析式;

(2)記氣》)=翌，求F(x)的最大值.

3,

-x2(0<x<4)3JC(0<X<4)

L(x)=h

【答案】(1)S(x)="(2)6-277.

3-x+6(4<x<8)

--x2+6x-12(4<x<8)

8

【分析】

53

(1)作IBC的高AD,當0<xW4時，根據△ABD?JWBP,計算得到=：元與PM二二x；從而計算S(x)

44

35

和￡(x)；當4<xK8時根據△AQC?△MPC,計算得到PM=/8r),AM=5--(8-x),從而計算S(x)和

44

L(x)；(2)根據(1)的結果分別計算0vxW4和4<xW8時尸(x)的最值，再比較大小可得.

【詳解】

(1)作△ABC的高AO,AB=AC=5,BC=8,A￡)=3,

當0<%K4,△AB￡)?AMSP,所以PM=-X,S(x)=-BPMP=—x—x=-x2,

442248

35

L(x)=x+—x+—x=3x.

44