Page9山東省煙臺市2024-2025學年高一數學上學期期中學業水平診斷試卷第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知x，，則“x和y均為有理數”是“xy為有理數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列各組函數中，表示同一函數的是（）A.， B.，C， D.，4.下列命題中，正確的是（）A.若，則.B.若，則.C.若，則.D.若，則.5.已知函數，若，則是（）A.奇函數，在和單調遞增B.奇函數，在和單調遞減C.偶函數，在單調遞增，在單調遞減D.偶函數，在單調遞減，在單調遞增6.已知函數，若，則（）A-4 B.-1 C.-4或-1 D.-4或7.定義在R上的函數滿意：①，②，③，則不等式的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或8.已知，，且，若不等式恒成立，則實數m的取值范圍為（）A. B.C或 D.或二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.滿意集合，且，則集合（）A. B. C. D.10.已知函數，，設函數則（）A.是偶函數B.方程有四個實數根C.在區間上單調遞增D.有最大值，沒有最小值11已知，，且，則（）A. B.C. D.12.已知函數的定義域為R，對隨意的實數x，y，有，且當時，，則（）A.B.對隨意的，恒成立C.函數在上單調遞增D.若，則不等式的解集為第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知集合，，則B中元素的個數為______．14.若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是__________．15.已知，且，則的最小值為______．16.高斯是德國聞名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，函數稱為高斯函數，其中，表示不超過x的最大整數，例如：，．①若函數，則的值域為______；②若函數，則方程全部的解為______．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數的定義域為集合A，集合．（1）求集合A；（2）請在下面這兩個條件中任選一個，補充在橫線處，并給出問題的解答．①充分條件，②必要條件．是否存在實數m，使得是的______？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.已知是定義在R上的偶函數，當時，．（1）求解析式；（2）求不等式的解集．19.已知函數，二次函數滿意，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）設，依據定義證明：在上為增函數．20.已知某企業原有職工500人，每人每年可為企業創利6.5萬元．為應對新冠疫情給企業帶來的不利影響，該企業確定實施減員增效策略，分流出一部分職工待崗，待崗人數不超過原有職工的4%，并且每年給每位待崗職工發放生活補貼0.5萬元．據評估，當待崗職工人數x不超過原有職工2%時，留崗職工每人每年可為企業多創利萬元；當待崗職工人數x超過原有職工2%時，留崗職工每人每年可為企業多創利0.96萬元．設該企業實施減員增效策略后，年利潤為y（單位：萬元）．．（1）求y關于x的函數關系式；（2）為使企業的年利潤y最大，應支配多少職工待崗？21.已知函數的定義域為R，且對隨意的實數x，y，滿意．（1）證明：；（2）聞名數學家柯西在十九世紀上半葉探討過上述函數的性質，且證明白當該函數的圖象在R上連綿不斷時，．若函數的圖象在R上連綿不斷，對隨意x，，，．設．①證明：；②已知，求在上的最小值．22.給定，若存在實數使得成立，則定義為的點．已知函數．（1）當，時，求的點；（2）設，，若函數在上存在兩個相異的點，求實數t的取值范圍；（3）對于隨意的，總存在，使得函數存在兩個相異的點，求實數t的取值范圍．

答案1-8BADDCAAB9.AC10.ABD11.ACD12.BCD13.314.15.16.17.（1）函數有意義，，解得，所以集合.（2）選擇①：是的充分條件，則，由（1）知，，解得，所以實數m的取值范圍為.選擇②：是的必要條件，則，由（1）知，，解得，所以實數m的取值范圍為．18.（1）當時，有，而是偶函數，則，所以函數的解析式是.（2）依題意，函數在上單調遞增，而是偶函數，由得：，于是得，即有，整理得：，解得，所以不等式的解集為.19.（1）依題意，，因此，設二次函數，不等式為：，則是關于x的一元二次方程的兩個實根，且，于是得，即，又，解得，，，于是得，所以，.（2）由（1）知，，任取，且，因，有，，，則，因此，所以函數在上為增函數．20.（1）依題意，，，即有且，當待崗人數不超過2%，即時，，當待崗人數超過2%，即時，，所以y關于x的函數關系式是.（2）當且時，，當且僅當，即時取等號，當時，為減函數，而，則當時，，因為，因此當時，，所以為使企業年利潤最大，應支配5人待崗.21.（1）令，得．（2）①因為，且，所以．②因為的圖象在R上連綿不斷，所以的圖象在R上連綿不斷，又，結合題目條件可知，．又，所以．從而．的對稱軸為．當時，在上單調遞減，所以，當時，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當時，；綜上，當時，取最小值，當時，取最小值．22.（1）當，時，，依題意，，即，解得或，所以當，時，的點為1和3.（2）當，時，，依題意，在上有兩個不同實數解，即在上有兩個不同實數解，令，因此函數在上有兩個零點，而，因此，解得，所以實數t的取值范圍是