3.1函數的概念及表示（精講）考點一區間的表示【例1-1】(2023·全國·高一專題練習）將下列集合用區間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．【例1-2】(2023廣東）若函數的定義域為，值域為，則a的取值范圍是________.【【方法總結】用區間表示數集的原則有①數集是連續的；②左小右大；③區間的一端是開或閉不能弄錯；用區間表示數集的方法：區間符號里面的兩個數字(或字母)之間用“，”隔開；（3）用數軸表示區間時，要特別注意實心點與空心點的區別．【一隅三反】1．(2023·全國高一課時練習）用區間表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．2．(2023·江蘇·高一）下列集合不能用區間的形式表示的個數為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．52．(2023·安徽）已知為一個確定的區間，則a的取值范圍是________.考點二函數概念的辨析【例2-1】(2023·湖南·高一課時練習）設集合，，那么下列四個圖形中，能表示集合到集合的函數關系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【例2-2】(2023·四川省）下列是從集合A到集合B的函數的是（

）A．，對應法則B．，，對應法則C．，對應法則D．，，對應法則【一隅三反】1．(2023·全國·高一專題練習）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數圖象的是（

）A． B．C． D．2．(2023·江蘇·高一）如圖，設，，表示A到B的函數的是__________填序號．3．(2023·云南）有對應法則f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能構成從集合A到集合B的函數的有________(填序號)．考點三函數的定義域【例3-1】(2023·江蘇·高一）函數的定義域為（

）．A． B．C． D．【例3-2】(2023·廣東）（1）已知的定義域為，求函數的定義域；（2）已知的定義域為，求的定義域；（3）已知函數的定義域為，求函數的定義域．(4）已知函數的定義域為，則函數的定義域為【例3-3】（1）(2023·新疆）若函數的定義域為R，則a的范圍是（

）A．B．C．D．（2）(2023·廣東·廣州市白云中學高一期中）已知的定義域是R，則實數a的取值范圍是(

)A． B．【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）函數的定義域為（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高一階段練習）函數的定義域為（

）A． B． C． D．3．(2023·江蘇·高一）已知函數的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高一）已知函數的定義域為，則函數的定義城是________.5．(2023·江蘇·高一）已知函數的定義域為，則函數的定義域為_________.6．(2023·江蘇）已知函數，若的定義域為，則的取值范圍是________．7．(2023·湖南）函數的定義域為，若，則的取值范圍是__________．8．(2023·青海）已知函數的定義域為，求實數的取值范圍.考點四函數的表示方法【例5-1】(2023·全國·專題練習）已知函數，部分與的對應關系如表：則（

）A． B． C． D．【例5-2】(2023·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數的解析式；（3）已知是二次函數，且滿足，，求函數的解析式；（4）已知，求函數的解析式；（5）已知是上的函數，，并且對任意的實數x，y都有，求函數的解析式．【例5-3】(2023·黑龍江）作出下列函數的大致圖像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【一隅三反】1．(2023·河南）已知函數，用列表法表示如下：則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高一專題練習）根據下列條件，求函數的解析式；（1）已知是一次函數，且滿足；（2）已知函數為二次函數，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式對一切實數?都成立，且；（5）知函數滿足條件對任意不為零的實數恒成立；（6）已知，求的解析式．3．(2023·全國·高一課時練習）把下列函數寫成分段函數的形式，求出定義域和值域并作出函數圖像：（1）；（2）.考點五相等函數的判斷【例5】(2023·全國·高一專題練習）下面各組函數中是同一函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【一隅三反】1(2023·云南）下列四組函數中，表示相等函數的一組是（

）A．， B．，C．， D．，2．(2023·全國·高一）下列函數中與函數是同一函數的是（

）A． B．C． D．3．(2023·江蘇·高一）下列各組函數的圖象相同的是（

）A． B．

C． D．考點六分段函數【例6-1】(2023·江蘇·高一）函數f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【例6-2】(2023·新疆）已知函數，若，則a的值是（）A．3或 B．或4 C． D．3或或4【一隅三反】1．(2023·河南信陽）已知函數(1)求的值；(2)若，求x的值.2．(2023·浙江）已知（1）畫出的圖象；（2）若，求x的取值范圍；（3）求的值域.3(2023·江西）已知函數（1）在坐標系中作出函數的圖象；（2）若，求a的取值集合.3.1函數的概念及表示（精講）考點一區間的表示【例1-1】(2023·全國·高一專題練習）將下列集合用區間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．答案:(1)；(2)；(3)；(4).解析：(1)用區間表示為；(2)用區間表示為；(3)用區間表示為；(4)或用區間表示為.【例1-2】(2023廣東）若函數的定義域為，值域為，則a的取值范圍是________.答案:解析：由區間的定義知，解得.【【方法總結】用區間表示數集的原則有①數集是連續的；②左小右大；③區間的一端是開或閉不能弄錯；用區間表示數集的方法：區間符號里面的兩個數字(或字母)之間用“，”隔開；（3）用數軸表示區間時，要特別注意實心點與空心點的區別．【一隅三反】1．(2023·全國高一課時練習）用區間表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．答案:（1）（2）（3）解析：（1）根據集合與區間的改寫，可得．（2）由或．（3）由或．2．(2023·江蘇·高一）下列集合不能用區間的形式表示的個數為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5答案:D解析：區間形式可以表示連續數集，是無限集①②是自然數集的子集，③是空集為有限集，都不能用區間形式表示，④是圖形的集合，不是數集，等邊三角形組成的集合．⑥Q是有理數，數軸上大于1的有理數不是連續的，故只有⑤可以，區間形式為，故答案為：D.2．(2023·安徽）已知為一個確定的區間，則a的取值范圍是________.答案:.解析：由為一個確定的區間知，解得，因此a的取值范圍是.故答案為：考點二函數概念的辨析【例2-1】(2023·湖南·高一課時練習）設集合，，那么下列四個圖形中，能表示集合到集合的函數關系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②答案:C解析：由題意，函數的定義域為，對于①中，函數的定義域不是集合，所以不能構成集合到集合的函數關系；對于②中，函數的定義域為集合，值域為集合，所以可以構成集合到集合的函數關系；對于③中，函數的定義域為集合，值域為集合，所以可以構成集合到集合的函數關系；對于④中，根據函數的定義，集合中的元素在集合中對應兩個函數值，不符合函數的定義，所以不正確.故選：C【例2-2】(2023·四川省）下列是從集合A到集合B的函數的是（

）A．，對應法則B．，，對應法則C．，對應法則D．，，對應法則答案:B解析：A：當，，但，所以集合A中的一個元素在集合B中沒有元素和它對應，不是函數，故A錯誤；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一對應，是函數，故B正確；C：集合A中的負數在集合B中沒有元素和它對應，不是函數，故C錯誤；D：集合A中元素為0時，其倒數不存在，所以在集合B中五對應元素，不是函數，故D錯誤；【一隅三反】1．(2023·全國·高一專題練習）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數圖象的是（

）A． B．C． D．答案:B解析：B中，當時，有兩個值和對應，不滿足函數y的唯一性，A，C，D滿足函數的定義，故選：B2．(2023·江蘇·高一）如圖，設，，表示A到B的函數的是__________填序號．答案:④解析：根據函數的定義，在③中，存在一個x對應兩個y，③不是函數；①，②中函數的值域不是，故排除①②③；可知④符合題意.故答案為：④．3．(2023·云南）有對應法則f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能構成從集合A到集合B的函數的有________(填序號)．答案:（1）(4)解析：（1）由函數的定義知，正確；（2）當x＝0時，B中不存在數值與之對應，故錯誤；（3）當x＝0時，B中不存在數值與之對應，故錯誤；（4）由函數的定義知，正確；（5）因為集合A不是數集，故錯誤；故答案為：（1）(4)考點三函數的定義域【例3-1】(2023·江蘇·高一）函數的定義域為（

）．A． B．C． D．答案:D解析：要是函數有意義，必須，解之得則函數的定義域為故選：D【例3-2】(2023·廣東）（1）已知的定義域為，求函數的定義域；（2）已知的定義域為，求的定義域；（3）已知函數的定義域為，求函數的定義域．(4）已知函數的定義域為，則函數的定義域為答案:（1）；（2）；（3）.(4)解析：（1）∵中的的范圍與中的x的取值范圍相同．∴，∴，即的定義域為．（2）由題意知中的，∴.又中的取值范圍與中的x的取值范圍相同，∴的定義域為．（3）∵函數的定義域為，由，得，∴的定義域為．又，即，∴函數的定義域為.（4）由題函數的定義域為，在中，所以，在中，所以.【例3-3】（1）(2023·新疆）若函數的定義域為R，則a的范圍是（

）A．B．C．D．（2）(2023·廣東·廣州市白云中學高一期中）已知的定義域是R，則實數a的取值范圍是(

)A． B．C． D．答案:（1）D（2）D解析：（1）若的定義域為R，則當時，滿足題意；當時，，解得：；當時，無法滿足定義域為R．綜上所述：，D正確．故選：D（2）由題意可知，的解集為，①當時，易知，即，這與的解集為矛盾；②當時，若要的解集為，則只需圖像開口向上，且與軸無交點，即判別式小于0，即，解得，綜上所述，實數a的取值范圍是.故選：D.【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）函數的定義域為（

）A． B． C． D．答案:D解析：使得函數的表達式有意義，則且，解得故選：D2．(2023·全國·高一階段練習）函數的定義域為（

）A． B． C． D．答案:C解析：要使函數有意義，則有，解得且，所以其定義域為．故選：C.3．(2023·江蘇·高一）已知函數的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．答案:B解析：因為函數的定義域為，所以，則，所以，解得，所以的定義域為，故選：B4．(2023·全國·高一）已知函數的定義域為，則函數的定義城是________.答案:解析：因為函數的定義域為，所以要使函數有意義，只需，即，所以函數的定義城是.故答案為：5．(2023·江蘇·高一）已知函數的定義域為，則函數的定義域為_________.答案:解析：函數的定義域為，即，所以，所以，即，所以函數的定義域為.故答案為：.6．(2023·江蘇）已知函數，若的定義域為，則的取值范圍是________．答案:解析：由已知得對恒成立，即，∴.故答案為：.7．(2023·湖南）函數的定義域為，若，則的取值范圍是__________．答案:解析：由于，所以解得或.所以的取值范圍是.故答案為：8．(2023·青海）已知函數的定義域為，求實數的取值范圍.答案:解析：由題意，函數的定義域為，即在上恒成立，當時，對任意恒成立；當時，要使恒成立，即方程無實根，只需判別式，解得，綜上，實數的取值范圍是.考點四函數的表示方法【例5-1】(2023·全國·專題練習）已知函數，部分與的對應關系如表：則（

）A． B． C． D．答案:D解析：由表知，，則．故選：D．【例5-2】(2023·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數的解析式；（3）已知是二次函數，且滿足，，求函數的解析式；（4）已知，求函數的解析式；（5）已知是上的函數，，并且對任意的實數x，y都有，求函數的解析式．答案:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解析：（1）∵，∴．（2）設，則，，即，∴，∴．（3）∵是二次函數，∴設．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，則，∴．【例5-3】(2023·黑龍江）作出下列函數的大致圖像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答案:見解析解析：（1），圖象如圖所示：（2），圖象如圖所示：（3），圖象如圖所示：（4），圖象如圖所示：（5），【一隅三反】1．(2023·河南）已知函數，用列表法表示如下：則（

）A． B． C． D．答案:B解析：由列表可知.故選：B.2．(2023·全國·高一專題練習）根據下列條件，求函數的解析式；（1）已知是一次函數，且滿足；（2）已知函數為二次函數，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式對一切實數?都成立，且；（5）知函數滿足條件對任意不為零的實數恒成立；（6）已知，求的解析式．答案:（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．解析：（1）設，則所以解得：所以；（2）設，解得：（3），令，由雙勾函數的性質可得或，，或（4）因為對一切實數?都成立，且令則，又因為所以，即（5）將代入等式得出，聯立，變形得：，解得（6）由題意得：定義域為設，則

．3．(2023·全國·高一課時練習）把下列函數寫成分段函數的形式，求出定義域和值域并作出函數圖像：（1）；（2）.答案:（1）定義域為，值域為，圖像見解析；（2）定義域為，值域為，圖像見解析.解析：（1），定義域為，值域為，圖像如圖所示：（2）定義域為，值域為.圖像如圖所示：考點五相等函數的判斷【例5】(2023·全國·高一專題練習）下面各組函數中是同一函數的是（

）A．與B．與C．與D．與答案:C解析：A．函數的定義域為，，兩個函數的對應法則不相同，不是同一函數，B．，定義域為，函數的定義域不相同，不是同一函數C．兩個函數的定義域和對應法則相同，是同一函數D．由得得，由得或，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數，故選：C．【一隅三反】1(2023·云南）下列四組函數中，表示相等函數的一組是（

）A．， B．，C．， D．，答案:A解析：對于A，與定義域均為，，與為相等函數，A正確；對于B，定義域為，定義域為，與不是相等函數，B錯誤；對于C，定義域為，定義域為，與不是相等函數，C錯誤；對于D，定義域為，定義域為，與不是相等函數，D錯誤.故選：A.2．(2023·全國·高一）下列函數中與函數是同一函數的是（

）A． B．C． D．答案:D解析：函數的定義域為R.對于A：的定義域為，故與函數不是同一函數.故A錯誤；對于B：的定義域為，故與函數不是同一函數.故B錯誤；對于C：的定義域為R，但是，故與函數不是同一函數.故C錯誤；對于D：的定義域為R，且，故與函數是同一函數.故D正確.故選：D.3．(2023·江蘇·高一）下列各組函數的圖象相同的是（

）A． B．

C． D．答案:B解析：若函數與的圖象相同則與表示同一個函數，則與的定義域和解析式相同.A：的定義域為，的定義域為，故排除A；B：，與的定義域、解析式相同，