2025屆吉林省德惠市第二十九中學九上數學期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知關于x的函數y＝k（x+1）和y＝﹣（k≠0）它們在同一坐標系中的大致圖象是（）A． B．C． D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝3．圓錐的底面半徑是，母線為，則它的側面積是（）A． B． C． D．4．如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度．，在格點上，現將線段向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到線段，連接，．若四邊形是正方形，則的值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．若a、b、c、d是成比例線段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，則線段d的長為（）A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm6．如圖，已知，且，則（）A． B． C． D．7．已知關于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有實數根，則k的取值范圍是()．A．k<1 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠08．關于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一個根是1，則實數a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．39．若x1，x2是一元二次方程5x2+x﹣5＝0的兩根，則x1+x2的值是（）A． B． C．1 D．﹣110．方程的解是（）A． B． C．， D．，11．二次函數圖象如圖，下列結論正確的是（）A． B．若且，則C． D．當時，12．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB．將矩形ABCD對折，得到折痕MN，沿著CM折疊，點D的對應點為E，ME與BC的交點為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時點B的對應點為G．下列結論：①△CMP是直角三角形；②AB＝BP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若連接PE，則△PEG∽△CMD．其中正確的個數為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個二、填空題（每題4分，共24分）13．已知點與點關于原點對稱，則__________．14．如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經過點A、C、D，與BC相交于點E，連接AC、AE.若∠D＝70°，則∠EAC的度數為____________.15．把拋物線y=2x2向上平移3個單位，得到的拋物線的解析式為_______________.16．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，將△ABC繞著點A順時針旋轉40°后得到△ADE，則∠BAE＝_____．17．拋物線y＝2（x﹣1）2﹣5的頂點坐標是_____．18．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉后與△ACP′重合，若AP=1，那么線段PP′的長等于_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．

（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．20．（8分）已知在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED．（1）求證：ED＝DC；（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的長．21．（8分）如圖，四邊形中，，平分，點是延長線上一點，且.（1）證明：；（2）若與相交于點，，求的長.22．（10分）（1）如圖①，AB為⊙O的直徑，點P在⊙O上，過點P作PQ⊥AB，垂足為點Q．說明△APQ∽△ABP；（2）如圖②，⊙O的半徑為7，點P在⊙O上，點Q在⊙O內，且PQ＝4，過點Q作PQ的垂線交⊙O于點A、B．設PA＝x，PB＝y，求y與x的函數表達式．23．（10分）某店以每件60元的進價購進某種商品，原來按每件100元的售價出售，一天可售出50件；后經市場調查，發現這種商品每件售價每降低1元，其銷量可增加5件．（1）該店銷售該商品原來一天可獲利潤元．（2）設后來該商品每件售價降價元，此店一天可獲利潤元．①若此店為了盡量多地增加該商品的銷售量，且一天仍能獲利2625元，則每件商品的售價應降價多少元？②求與之間的函數關系式，當該商品每件售價為多少元時，該店一天所獲利潤最大？并求最大利潤值．24．（10分）如圖，點A，C，D，B在以O點為圓心，OA長為半徑的圓弧上，AC=CD=DB，AB交OC于點E．求證：AE=CD．25．（12分）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于A（2，2），B（n，4）兩點，連接OA、OB．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）在直角坐標系中，是否存在一點P，使以P、A、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．26．如圖，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，動點P、Q同時從點B出發，動點P沿BA以1個單位長度/秒的速度向點A移動，動點Q沿BC以2個單位長度/秒的速度向點C移動，運動時間為t秒．連接PQ，將△QBP繞點Q順時針旋轉90°得到△，設△與△ABC重合部分面積是S．（1）求證：PQ∥AC；（2）求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】先根據反比例函數的性質判斷出k的取值，再根據一次函數的性質判斷出k取值，二者一致的即為正確答案．【詳解】解：當k＞0時，反比例函數的系數﹣k＜0，反比例函數過二、四象限，一次函數過一、二、三象限，原題沒有滿足的圖形；當k＜0時，反比例函數的系數﹣k＞0，所以反比例函數過一、三象限，一次函數過二、三、四象限．故選：A．2、A【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根據銳角三角函數的定義可得答案．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sinA＝sin∠BCD＝；cosA＝cos∠BCD=;tanA＝；cosB＝；所以B、C、D均錯誤故選：A．【點睛】本題考查的是銳角三角函數定義，理解熟記銳角三角函數定義是解題關鍵，需要注意的是銳角三角函數是在直角三角形的條件下定義的．3、A【分析】根據圓錐的側面積＝底面周長×母線長計算．【詳解】圓錐的側面面積＝×6×5＝15cm1．故選：A．【點睛】本題考查圓錐的側面積＝底面周長×母線長，解題的關鍵是熟知公式的運用.4、A【分析】根據線段的平移規律可以看出，線段AB向下平移了1個單位，向左平移了2個單位，相加即可得出．【詳解】解：根據線段的平移規律可以看出，線段AB向下平移了1個單位，向左平移了2個單位，得到A＇B＇，則m+n=1．故選：A【點睛】本題考查的是線段的平移問題，觀察圖形時要考慮其中一點就行.5、C【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據定義ad=cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【詳解】已知a，b，c，d是成比例線段，根據比例線段的定義得：ad=cb，代入a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，解得：d=5.故線段d的長為5cm.故選：C.【點睛】本題主要考查成比例線段，解題突破口是根據定義ad=cb，將a，b及c的值代入計算.6、D【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解決問題．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】此題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質解決問題，記住相似三角形的面積比等于相似比的平方．7、C【解析】分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了．關于x的一元二次方程kx2-2x+1=1有實數根，則△=b2-4ac≥1．詳解：∵a=k，b=-2，c=1，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×k×1=4-4k≥1，k≤1，∵k是二次項系數不能為1，k≠1，即k≤1且k≠1．故選C．點睛：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．8、D【分析】方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數的值，把x=1代入方程，即可得到一個關于a的方程，即可解得實數a的值；【詳解】解：由題可知，一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一個根是1，將x=1代入方程得，，解得a=3；故選D.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解題的關鍵.9、B【分析】利用計算即可求解．【詳解】根據題意得x1+x2＝﹣．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是熟知一元二次方程兩根之和與兩根之積與系數之間的關系.10、C【分析】先把從方程的右邊移到左邊，并把兩邊都除以4化簡，然后用因式分解法求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，.故選C.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵.11、D【分析】根據二次函數的圖象得到相關信息并依次判斷即可得到答案.【詳解】由圖象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A選項錯誤；若且，∴對稱軸為，故B選項錯誤；∵二次函數的圖象的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點的橫坐標小于3，∴與x軸的另一個交點的橫坐標大于-1，當x=-1時，得出y=a-b+c<0，故C選項錯誤；∵二次函數的圖象的對稱軸為直線x=1，開口向下，∴函數的最大值為y=a+b+c，∴，∴，故D選項正確，故選：D.【點睛】此題考查二次函數的圖象，根據函數圖象得到對應系數的符號，并判斷代數式的符號，正確理解二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵.12、B【分析】根據折疊的性質得到，于是得到，求得是直角三角形；設AB=x，則AD=2x，由相似三角形的性質可得CP=x，可求BP=PG=x=PN，可判斷②③，由折疊的性質和平行線的性質可得∠PMF=∠FPM，可證PF=FM；由，且∠G=∠D=90°，可證△PEG∽△CMD，則可求解．【詳解】∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，∴∠DMC=∠EMC，∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，∴∠AMP=∠EMP，∵∠AMD=180°，∴∠PME+∠CME=×180°=90°，∴△CMP是直角三角形；故①符合題意；∵AD=2AB，∴設AB=x，則AD=BC=2x，∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN；∴AM=DM=AD=x=BN=NC，∴CMx，∵∠PMC=90°=∠CNM，∠MCP=∠MCN，∴△MCN∽△NCP，∴CM2=CN?CP，∴3x2=x×CP，∴CP=x，∴∴AB=BP，故②符合題意；∵PN=CP﹣CN=x-x=x，∵沿著MP折疊，使得AM與EM重合，∴BP=PG=x，∴PN=PG，故③符合題意；∵AD∥BC，∴∠AMP=∠MPC，∵沿著MP折疊，使得AM與EM重合，∴∠AMP=∠PMF，∴∠PMF=∠FPM，∴PF=FM，故④不符合題意，如圖，∵沿著MP折疊，使得AM與EM重合，∴AB=GE=x，BP=PG=x，∠B=∠G=90°∴，∵，∴，且∠G=∠D=90°，∴△PEG∽△CMD，故⑤符合題意，綜上：①②③⑤符合題意，共4個，故選：B．【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理，直角三角形的性質，矩形的性質等知識，利用參數表示線段的長度是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】直接利用關于原點對稱點的性質得出a，b的值，即可得出答案．【詳解】解：∵點P（a，-6）與點Q（-5，3b）關于原點對稱，

∴a=5，3b=6，

解得：b=2，

故a+b=1．

故答案為：1．【點睛】此題考查關于原點對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．14、【分析】根據菱形的性質求∠ACD的度數，根據圓內接四邊形的性質求∠AEC的度數，由三角形的內角和求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AD=DC,∴∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠DCA∵∠D=70°,∴∠DAC=,∴∠ACB=55°,∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠AEC+∠D=180°,∴∠AEC=180°-70°=110°，∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACB=180°-55°-110°=15°,∴∠EAC=15°.故答案為：15°【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形的內角和，圓內接四邊形的性質，熟練掌握菱形的性質和圓的性質是解答此題的關鍵．15、【解析】由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移3單位，得到的拋物線的解析式是故答案為【點睛】二次函數圖形平移規律：左加右減，上加下減.16、100°【分析】根據旋轉角可得∠CAE=40°，然后根據∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入數據進行計算即可得解．【詳解】解：∵△ABC繞著點A順時針旋轉40°后得到△ADE，

∴∠CAE=40°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．

故答案是：100°．【點睛】考查了旋轉的性質，解題的關鍵是運用旋轉的性質（圖形和它經過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角；對應線段相等，對應角相等）得出∠CAE=40°．17、(1，﹣5）【分析】根據二次函數的頂點式即可求解．【詳解】解：拋物線y＝2（x﹣1）2﹣5的頂點坐標是(1，﹣5)．故答案為(1，﹣5）．【點睛】本題考查了頂點式對應的頂點坐標，頂點式的理解是解題的關鍵18、．【解析】解：∵△ABP繞點A逆時針旋轉后與△ACP′重合，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=1，∴PP′=．故答案為.三、解答題（共78分）19、（1）y=-x2-2x+1，（-1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由見解析；（1）P1(0，0)，P2(0，?)，P1(?9，0)．【分析】（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（1）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．【詳解】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c

由拋物線與y軸交于點C（0，1），可知c=1．即拋物線的解析式為y=ax2+bx+1．

把點A（1，0）、點B（-1，0）代入，得解得a=-1，b=-2

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+1．

∵y=-x2-2x+1=-（x+1）2+4

∴頂點D的坐標為（-1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．

理由如下：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=1，OC=1，

∴BC2=OB2+OC2=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-1=1，

∴CD2=DF2+CF2=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=1-1=2，

∴BD2=DE2+BE2=20

∴BC2+CD2=BD2

∴△BCD為直角三角形．（1）①△BCD的三邊，，又，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC；

②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=1-a，，即，解得：a=-9，則P的坐標是（0，-9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=1-b，則，即，解得：b=-，故P是（0，-）時，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（d，0）．

則AP=1-d，當AC與CD是對應邊時，，即，解得：d=1-1，此時，兩個三角形不相似；

⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（e，0）．

則AP=1-e，當AC與DC是對應邊時，，解得：e=-9，符合條件．

總之，符合條件的點P的坐標為：P1(0，0)，P2(0，?)，P1(?9，0)．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質，待定系數法，勾股定理以及其逆定理的綜合應用，解題關鍵在于作輔助線.20、（1）證明見解析；（2）AB＝6．【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質得出∠DEC=∠A，根據等腰三角形的性質得出∠A=∠C，求出∠DEC=∠C，根據等腰三角形的判定得出即可；

（2）連接BD，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質求出AC長，再求出△DEC∽△BAC，得出比例式，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵A、B、E、D四點共圓，∴∠DEC＝∠A，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴ED＝DC；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AB＝BC，CD＝6，∴AD＝DC＝6，∴AC＝12，∵∠A＝∠DEC，∠C＝∠C，∴△DEC∽△BAC，∴,∴，解得：BC＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的判定和性質等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．21、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）直接利用等腰三角形的性質結合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；（2）首先過點C作CM⊥PD于點M，進而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．【詳解】解：（1）：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）過點作于點，∵，∴，∵，∴，∴，設，∵，∴，∵，∴，解得：，∴.【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質等知識，正確得出△CPM∽△APD是解題關鍵．22、（1）見解析；（2）【分析】（1）根據圓周角定理可證∠APB＝90°,再根據相似三角形的判定方法：兩角對應相等，兩個三角形相似即可求證結論；（2）連接PO，并延長PO交⊙O于點C，連接AC，根據圓周角定理可得∠PAC＝90°，∠C＝∠B，求得∠PAC＝∠PQB，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）如圖①所示：∵AB為⊙O的直徑∴∠APB＝90°又∵PQ⊥AB∴∠AQP＝90°∴∠AQP＝∠APB又∵∠PAQ＝∠BAP∴△APQ∽△ABP．（2）如圖②，連接PO，并延長PO交⊙O于點C，連接AC．∵PC為⊙O的直徑∴∠PAC＝90°又∵PQ⊥AB∴∠PQB＝90°∴∠PAC＝∠PQB又∵∠C＝∠B（同弧所對的圓周角相等）∴△PAC∽△PQB∴又∵⊙O的半徑為7，即PC＝14，且PQ＝4，PA＝x，PB＝y∴∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定及其性質，圓周角定理及其推論，解題的關鍵是綜合運用所學知識．23、（1）2000；（2）①售價是75元，②售價為85元，利潤最大為3125元．【分析】（1）用每件利潤乘以50件即可；

（2）每件售價降價x元，則每件利潤為（100-60-x）元，銷售量為（50+5x）件，它們的乘積為利潤y，

①利用y=2625得到方程（100-60-x）（50+5x）=2625，然后解方程即可；

②由于y=（100-60-x）（50+5x），則可利用二次函數的性質確定最大利潤值．【詳解】解：（1）解：（1）該網店銷售該商品原來一天可獲利潤為（100-60）×50=2000（元），

故答案為2000；（2）①解得或，又因盡量多增加銷售量，故.售價是元．答：每件商品的售價應降價25元；②，當時，售價為元，利潤最大為3125元．答：答：當該商品每件售價為85元時，該網店一天所獲利潤最大，最大利潤值為3125元．【點睛】本題考查了二次函數的應用：在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．24、證明見解析【解析】試題分析：連接OC，OD，根據弦相等，得出它們所對的弧相等，得到=,再得到它們所對的圓心角相等，證明得到又因為即可證明.試題解析：證明：方法一：連接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，，，，，，，．方法二：連接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，∴∠CAO=∠AEC，在中，∴∠ACO=∠CAO，∴∠ACO=∠AEC，，，.方法三：連接AD，OC，OD，∵AC=DB，=,∴∠ADC=∠DAB，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠DCO，∵AC=CD，AO=DO，∴CO⊥AD，∴∠ACO=∠DCO，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，∵AC=CD，∴AE=CD．25、（1）一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；（2）的面積為；（3）存在，點的坐標為（-3，-6），（1，-2）（3，6）．【分析】（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征可求出k2和n的值，可得反比例函數解析式，再利用待定系數法即可求出一次函數的解析式；（2）設一次函數與軸交于點，過點、分別向軸作垂線，垂足為點、，令x=0，可求出點C的坐標，根據即可得答案；（3）分OA、OB、AB為對角線三種情況，根據A、B坐標可得直線OA、OB的解析式，根據互相平行的兩條直線斜率相同可知直線OP、AP、BP的斜率，利用待定系數法可求出其解析式，進而聯立解析式求出交點坐標即可得答案．【詳解】（1）∵點，在反比例函數上，∴，，∴，，∴，，∵點，在一次函數上，∴，，∴，，∴，∴一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為．（2）如圖，設一次函數與y軸交于點，過點、分別向軸作垂線，垂足為點、，∵當時，，∴點的坐標為，∵，，∴，，∴，即的面積為．（3）∵